I. Pourquoi les nombres complexes ?
Dans ℝ, l'équation x² + 1 = 0 n'a aucune solution : aucun réel au carré ne donne −1. Pour dépasser cette limitation, les mathématiciens ont inventé un nouveau nombre, noté i, tel que i² = −1. Cela permet de résoudre toutes les équations du second degré, et bien plus encore.
.png)
Nerveux explique : Les ingénieurs de SONABEL (la société d'électricité du
Burkina Faso) utilisent les nombres complexes chaque jour pour analyser les circuits
électriques en courant alternatif. L'impédance d'un circuit — qui combine résistance et
réactance — est un nombre complexe. Sans les complexes, pas d'électricité moderne à
Ouagadougou !
\[i^2 = -1 \qquad i = \sqrt{-1} \qquad i^3 = -i \qquad i^4 = 1\]
Les puissances de \(i\) sont cycliques de période 4 : \(i,\ -1,\ -i,\ 1,\ i,\ -1,\ \ldots\)
II. Forme algébrique
Tout nombre complexe z s'écrit sous la forme z = a + bi, où a et b sont des réels. On appelle a la partie réelle et b la partie imaginaire.
\[z = a + bi \qquad a = \text{Re}(z) \qquad b = \text{Im}(z) \qquad a, b \in \mathbb{R}\]
Si \(b = 0\) : \(z\) est réel. Si \(a = 0\) : \(z\) est imaginaire pur. \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\).
Conjugué d'un nombre complexe
Définition : Le conjugué de z = a + bi est z̄ = a − bi.
Propriétés clés :
z + z̄ = 2a = 2Re(z) | z · z̄ = a² + b² = |z|² | z̄₁ + z̄₂ = z₁ + z₂ | z̄₁ · z̄₂ = z₁ · z₂
Propriétés clés :
z + z̄ = 2a = 2Re(z) | z · z̄ = a² + b² = |z|² | z̄₁ + z̄₂ = z₁ + z₂ | z̄₁ · z̄₂ = z₁ · z₂
III. Opérations en forme algébrique
| Opération | Formule | Exemple avec z₁=2+3i, z₂=1−i |
|---|---|---|
| Addition | (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i | z₁+z₂ = 3+2i |
| Soustraction | (a+bi)−(c+di) = (a−c)+(b−d)i | z₁−z₂ = 1+4i |
| Multiplication | (a+bi)(c+di) = (ac−bd)+(ad+bc)i | z₁·z₂ = (2+3)(3+1−2)i = 5+i |
| Division | z₁/z₂ = (z₁·z̄₂)/(z₂·z̄₂) = (z₁·z̄₂)/|z₂|² | z₁/z₂ = (2+3i)(1+i)/2 = (−1+5i)/2 |
Astuce division : multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Cela rend le dénominateur réel : z₂ · z̄₂ = |z₂|² ∈ ℝ.
IV. Module d'un nombre complexe
Le module de z = a + bi est le réel positif |z| = √(a² + b²). Géométriquement, c'est la distance de l'image de z à l'origine dans le plan complexe.
\[|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad |z|^2 = z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2\]
\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\) | \(|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|\) | \(|\bar{z}| = |z|\)
V. Plan complexe et argument
À tout nombre complexe z = a + bi on associe un point M(a ; b) dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, ⃗u, ⃗v). L'axe des abscisses est l'axe réel, l'axe des ordonnées est l'axe imaginaire.
\[\arg(z) = \theta \quad \text{tel que} \quad \cos\theta = \frac{a}{|z|} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \frac{b}{|z|}\]
\(\theta\) est défini modulo \(2\pi\). \(\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1)+\arg(z_2)\) | \(\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1)-\arg(z_2)\)
Plan complexe — représentation de z = 3 + 2i
VI. Forme trigonométrique et exponentielle
Forme algébrique
\(z = a + bi\)
Idéale pour addition et soustraction
Forme trigonométrique
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
r = |z|, θ = arg(z). Idéale pour multiplication
Forme exponentielle
\(z = r \cdot e^{i\theta}\)
Formule d'Euler : e^(iθ) = cos θ + i sin θ
Formule d'Euler : \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)
Cas particuliers : \(e^{i\pi} = -1\) (identité d'Euler) | \(e^{i\pi/2} = i\) | \(e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta\)
Multiplication et division en forme trigonométrique
Multiplication : on multiplie les modules et on additionne les arguments.
z₁ · z₂ = r₁r₂ · [cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)]
Division : on divise les modules et on soustrait les arguments.
z₁/z₂ = (r₁/r₂) · [cos(θ₁−θ₂) + i sin(θ₁−θ₂)]
z₁ · z₂ = r₁r₂ · [cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)]
Division : on divise les modules et on soustrait les arguments.
z₁/z₂ = (r₁/r₂) · [cos(θ₁−θ₂) + i sin(θ₁−θ₂)]
VII. Équations du second degré dans ℂ
Tout polynôme du second degré az² + bz + c = 0 admet toujours deux solutions dans ℂ, même si le discriminant Δ = b² − 4ac est négatif.
\[\Delta < 0 : \quad z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\]
Si \(\Delta = 0\) : une solution double \(z = -b/(2a)\). Si \(\Delta > 0\) : deux solutions réelles.
VIII. Exemples détaillés
Exemple 1 — Opérations en forme algébrique
Avec z₁ = 3 − 2i et z₂ = 1 + 4i, calculer z₁ + z₂, z₁ · z₂, z₁/z₂ et |z₁|.
z₁ + z₂ = (3+1) + (−2+4)i = 4 + 2i
z₁ · z₂ = (3·1 − (−2)·4) + (3·4 + (−2)·1)i = (3+8) + (12−2)i = 11 + 10i
z₁/z₂ : conjugué de z₂ est 1−4i, |z₂|² = 1+16 = 17
z₁·z̄₂ = (3−2i)(1−4i) = (3−8) + (−12−2)i = −5 − 14i
z₁/z₂ = (−5−14i)/17 = −5/17 − 14i/17
|z₁| = √(3²+(−2)²) = √(9+4) = √13
Exemple 2 — Forme trigonométrique
Écrire z = 1 + i√3 sous forme trigonométrique puis exponentielle.
r = |z| = √(1² + (√3)²) = √(1+3) = 2
cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2 → θ = π/3
Forme trigonométrique : z = 2(cos π/3 + i sin π/3)
Forme exponentielle : z = 2 · e^(iπ/3)
Exemple 3 — Puissances de i
Calculer i¹⁷, i²⁰² et i⁻³.
Cycle de période 4 : i¹=i, i²=−1, i³=−i, i⁴=1
i¹⁷ : 17 = 4×4 + 1 → i¹⁷ = i¹ = i
i²⁰² : 202 = 4×50 + 2 → i²⁰² = i² = −1
i⁻³ = 1/i³ = 1/(−i) = i/(i·(−i)) = i/1 = i [car −i·i = i² = −1... On utilise : i⁻³ = i⁴⁻³ = i¹ = i]
Exemple 4 — Équation du second degré dans ℂ
Résoudre dans ℂ : z² − 4z + 13 = 0.
Δ = 16 − 52 = −36 < 0 → deux solutions complexes
√|Δ| = √36 = 6
z = (4 ± 6i) / 2
z₁ = 2 + 3i et z₂ = 2 − 3i (conjuguées l'une de l'autre)
Exemple 5 — Application concrète (Burkina Faso)
Un ingénieur de SONABEL modélise l'impédance d'un circuit électrique à Bobo-Dioulasso
par Z = 4 + 3i (en ohms). Calculer le module |Z|, l'argument θ et interpréter.
|Z| = √(4² + 3²) = √(16+9) = √25 = 5 ohms
cos θ = 4/5 = 0,8 et sin θ = 3/5 = 0,6 → θ = arctan(3/4) ≈ 36,87°
Forme trigonométrique : Z = 5(cos 36,87° + i sin 36,87°)
L'impédance totale du circuit est 5 Ω. Le déphasage entre tension et courant est de ≈ 37°.
L'ingénieur sait ainsi que le circuit est principalement inductif (partie imaginaire positive).
Exercices d'application
Exercice 1 — Calculs algébriques
Soit z₁ = 2 + 5i et z₂ = 3 − i. Calculer :
- a) z₁ + z₂ et z₁ − z₂
- b) z₁ · z₂
- c) z̄₁ (conjugué de z₁) et |z₁|
- d) z₁/z₂ sous forme a + bi
a) z₁+z₂ = 5+4i | z₁−z₂ = −1+6i
b) z₁·z₂ = (2·3−5·(−1)) + (2·(−1)+5·3)i = (6+5) + (−2+15)i = 11+13i
c) z̄₁ = 2−5i | |z₁| = √(4+25) = √29
d) Conjugué de z₂ = 3+i, |z₂|² = 9+1 = 10
z₁·z̄₂ = (2+5i)(3+i) = (6−5)+(2+15)i = 1+17i
z₁/z₂ = (1+17i)/10 = 1/10 + 17i/10
b) z₁·z₂ = (2·3−5·(−1)) + (2·(−1)+5·3)i = (6+5) + (−2+15)i = 11+13i
c) z̄₁ = 2−5i | |z₁| = √(4+25) = √29
d) Conjugué de z₂ = 3+i, |z₂|² = 9+1 = 10
z₁·z̄₂ = (2+5i)(3+i) = (6−5)+(2+15)i = 1+17i
z₁/z₂ = (1+17i)/10 = 1/10 + 17i/10
Exercice 2 — Puissances de i et module
- a) Calculer i²⁵, i⁴⁸, i¹⁰⁰¹
- b) Simplifier : (1+i)² et (1+i)⁴
- c) Calculer |(2+3i)(1−2i)|
a) 25 = 4×6+1 → i²⁵ = i
48 = 4×12+0 → i⁴⁸ = 1
1001 = 4×250+1 → i¹⁰⁰¹ = i
b) (1+i)² = 1+2i+i² = 1+2i−1 = 2i
(1+i)⁴ = ((1+i)²)² = (2i)² = 4i² = −4
c) |(2+3i)(1−2i)| = |2+3i| × |1−2i| = √13 × √5 = √65
48 = 4×12+0 → i⁴⁸ = 1
1001 = 4×250+1 → i¹⁰⁰¹ = i
b) (1+i)² = 1+2i+i² = 1+2i−1 = 2i
(1+i)⁴ = ((1+i)²)² = (2i)² = 4i² = −4
c) |(2+3i)(1−2i)| = |2+3i| × |1−2i| = √13 × √5 = √65
Exercice 3 — Forme trigonométrique
Écrire sous forme trigonométrique et exponentielle :
- a) z = −2 (réel négatif)
- b) z = 3i (imaginaire pur positif)
- c) z = √3 − i
a) −2 : r = 2, arg = π → z = 2(cos π + i sin π) = 2e^(iπ)
b) 3i : r = 3, arg = π/2 → z = 3(cos π/2 + i sin π/2) = 3e^(iπ/2)
c) √3 − i : r = √(3+1) = 2
cos θ = √3/2 et sin θ = −1/2 → θ = −π/6
z = 2(cos(−π/6) + i sin(−π/6)) = 2e^(−iπ/6)
b) 3i : r = 3, arg = π/2 → z = 3(cos π/2 + i sin π/2) = 3e^(iπ/2)
c) √3 − i : r = √(3+1) = 2
cos θ = √3/2 et sin θ = −1/2 → θ = −π/6
z = 2(cos(−π/6) + i sin(−π/6)) = 2e^(−iπ/6)
Exercice 4 — Équation du second degré dans ℂ ⭐
Résoudre dans ℂ :
- a) z² + 9 = 0
- b) z² + 2z + 5 = 0
- c) 2z² − 3z + 4 = 0
a) z² = −9 → z = ±√(−9) = ±3i → z₁ = 3i, z₂ = −3i
b) Δ = 4−20 = −16 < 0 ; √|Δ| = 4
z = (−2 ± 4i)/2 → z₁ = −1+2i, z₂ = −1−2i
c) Δ = 9−32 = −23 < 0 ; √|Δ| = √23
z = (3 ± i√23)/4 → z₁ = 3/4 + (√23/4)i, z₂ = 3/4 − (√23/4)i
b) Δ = 4−20 = −16 < 0 ; √|Δ| = 4
z = (−2 ± 4i)/2 → z₁ = −1+2i, z₂ = −1−2i
c) Δ = 9−32 = −23 < 0 ; √|Δ| = √23
z = (3 ± i√23)/4 → z₁ = 3/4 + (√23/4)i, z₂ = 3/4 − (√23/4)i
À retenir — Nombres complexes
- \(i^2 = -1\). Cycle de période 4 : \(i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1\).
- Forme algébrique : \(z = a + bi\) | \(\text{Re}(z) = a\) | \(\text{Im}(z) = b\).
- Conjugué : \(\bar{z} = a - bi\) | \(z \cdot \bar{z} = |z|^2\) | \(z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)\).
- Module : \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\). Propriété : \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\).
- Pour diviser : multiplier par le conjugué du dénominateur.
- Forme trigonométrique : \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r \cdot e^{i\theta}\) (formule d'Euler).
- Multiplication → modules ×, arguments + | Division → modules ÷, arguments −.
- Tout polynôme de degré 2 a toujours deux racines dans \(\mathbb{C}\) (même si \(\Delta < 0\)).
🏆
Module I — Terminé !
Tu as maîtrisé les 6 leçons fondamentales du calcul algébrique.
Ces outils sont la base de tous les modules qui suivent.
L1 — Ensembles ℕ ℤ ℚ ℝ
L2 — Valeur absolue
L3 — Calcul littéral
L4 — Polynômes
L5 — Puissances & racines
L6 — Nombres complexes ✓