I. Définition et domaine
Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Autrement dit, si ea = b, alors ln(b) = a.
La fonction ln est définie uniquement pour les réels strictement positifs :
x ↦ ln(x) ln(x) est l'exposant auquel il faut élever e pour obtenir x
Pour tout x > 0 : eln(x) = x
Pour tout x ∈ ℝ : ln(ex) = x
Ces deux relations montrent que ln et exp sont fonctions réciproques l'une de l'autre.
II. Courbe représentative
La courbe de ln est le symétrique de celle de l'exponentielle par rapport à la droite y = x. Elle passe toujours par le point (1 ; 0) et admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.
Courbe de y = ln(x) — définie sur ]0 ; +∞[, passant par (1 ; 0) et (e ; 1)
La courbe est strictement croissante sur tout son domaine. Elle tend vers −∞ quand x tend vers 0 par la droite, et vers +∞ quand x tend vers +∞.
III. Propriétés algébriques (règles de calcul)
Le logarithme transforme les produits en sommes et les puissances en produits. Ce sont les règles les plus utiles en calcul :
ln(1) = 0 | ln(e) = 1 | ln(e²) = 2 | ln(1/e) = −1 Ces valeurs sont à connaître par cœur
IV. Sens de variation et limites
La fonction ln est strictement croissante et concave (sa courbe est "tournée vers le bas") sur ]0 ; +∞[.
| Propriété | Résultat | Ce que ça signifie |
|---|---|---|
| Dérivée | (ln x)' = 1/x | Toujours positive sur ]0 ; +∞[ → ln est croissante |
| Limite en 0⁺ | lim ln(x) = −∞ | La courbe descend indéfiniment près de l'axe y |
| Limite en +∞ | lim ln(x) = +∞ | Croît vers +∞ mais très lentement |
| Croissance comparée | ln(x)/x → 0 | ln(x) est négligeable devant x en +∞ |
Pour tout x > 0 : ln(x) ≤ x − 1
Avec égalité uniquement en x = 1. Cette inégalité est souvent utilisée dans les démonstrations.
V. Exemples de calcul
Voici quelques applications directes des règles algébriques :
- ln(6) = ln(2 × 3) = ln(2) + ln(3)
- ln(e³) = 3
- ln(1/5) = −ln(5)
- ln(√7) = ½ ln(7)
- ln(e²/e) = ln(e²) − ln(e) = 2 − 1 = 1
- ln(a + b) ≠ ln(a) + ln(b)
- ln(a²) ≠ (ln a)²
- ln(−3) n'existe pas ! (négatif)
- ln(0) n'existe pas !
- 1/ln(x) ≠ ln(1/x)
✏️ Exercices d'application
Calculer sans calculatrice :
- a) ln(e⁵)
- b) ln(1)
- c) eln(7)
- d) ln(e⁻²)
b) ln(1) = 0 (valeur remarquable fondamentale)
c) eln(7) = 7 (car eln(x) = x pour x > 0)
d) ln(e⁻²) = −2 (car ln(eⁿ) = n)
Exprimer en fonction de ln(2) et ln(3) :
- a) ln(12)
- b) ln(1/6)
- c) ln(√2)
- d) ln(9)
b) ln(1/6) = −ln(6) = −ln(2 × 3) = −ln(2) − ln(3)
c) ln(√2) = ½ ln(2) = ln(2)/2
d) ln(9) = ln(3²) = 2ln(3)
Résoudre les équations suivantes (préciser les conditions sur x) :
- a) ln(x) = 3
- b) ln(2x − 1) = 0
- c) ln(x) + ln(x + 2) = ln(3)
b) ln(2x − 1) = 0 ⟹ 2x − 1 = e⁰ = 1 ⟹ 2x = 2 ⟹ x = 1
Condition : 2x − 1 > 0 ⟹ x > ½. Vérifié pour x = 1. Solution : x = 1
c) ln(x) + ln(x + 2) = ln(3) ⟹ ln(x(x+2)) = ln(3) ⟹ x² + 2x = 3 ⟹ x² + 2x − 3 = 0
Discriminant : Δ = 4 + 12 = 16 → x = 1 ou x = −3.
Conditions : x > 0 et x + 2 > 0. Seul x = 1 convient. Solution : x = 1
Étudier le signe de ln(x − 2) selon les valeurs de x.
ln(x − 2) = 0 ⟺ x − 2 = 1 ⟺ x = 3.
ln(x − 2) < 0 ⟺ 0 < x − 2 < 1 ⟺ 2 < x < 3.
ln(x − 2) > 0 ⟺ x − 2 > 1 ⟺ x > 3.
Résumé : négatif sur ]2 ; 3[, nul en x = 3, positif sur ]3 ; +∞[.
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À retenir
- ln est la réciproque de exp : ln(eˣ) = x et eln x = x pour x > 0.
- Domaine de ln : ]0 ; +∞[ — ln n'est pas défini pour les négatifs ou zéro !
- Valeurs clés : ln(1) = 0, ln(e) = 1, ln(1/e) = −1.
- Règles : ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n·ln a.
- ln est strictement croissante ; sa dérivée est (ln x)' = 1/x.
- Limites : limx→0⁺ ln(x) = −∞ et limx→+∞ ln(x) = +∞.