I. Notion de primitive
La primitive est l'opération inverse de la dérivation. Si \( F'(x) = f(x) \), on dit que \( F \) est une primitive de \( f \). Trouver une primitive, c'est répondre à : quelle fonction, une fois dérivée, donne \( f(x) \) ?
\( F \) est une primitive de \( f \enspace \Longleftrightarrow \enspace F'(x) = f(x) \)
On note aussi : \(\displaystyle F(x) = \int f(x)\,dx\) — l'intégrale indéfinie de \(f\)
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Nerveux explique : Imagine un camion-citerne qui ravitaille les villages
du Sahel burkinabè. Sa vitesse \( v(t) \) à chaque instant est la dérivée
de la distance \( D(t) \). La primitive c'est l'opération inverse :
connaître \( v(t) \) et retrouver la distance totale parcourue. Si \( D'(t) = v(t) \),
alors \( D \) est la primitive de \( v \).
⚠ Les primitives ne sont pas uniques !
Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors \( F + C \) l'est aussi pour toute constante \( C \in \mathbb{R} \). On écrit : \(\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C\).
Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors \( F + C \) l'est aussi pour toute constante \( C \in \mathbb{R} \). On écrit : \(\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C\).
\(F'(x)=f(x)\)→\(F\) primitive de \(f\)
\(+C\)→constante d'intégration
\(\int f\,dx\)→notation intégrale
II. Table des primitives usuelles
Ces primitives sont à connaître par cœur — toujours vérifiables en dérivant \(F(x)\).
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)+C\) | Condition | Vérif. \(F'=f\) |
|---|---|---|---|
| Fonctions polynômiales | |||
| \(a\) | \(ax\) | \(a\in\mathbb{R}\) | \((ax)'=a\) ✓ |
| \(x^n,\; n\neq -1\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n\in\mathbb{R}\) | \(\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)'=x^n\) ✓ |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\) | \((\ln|x|)'=\frac{1}{x}\) ✓ |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) | \(x\geq 0\) | \(\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)'=\sqrt{x}\) ✓ |
| Exponentielle et logarithme | |||
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(x\in\mathbb{R}\) | \((e^x)'=e^x\) ✓ |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\) | \(a\neq 0\) | \(a\cdot\frac{1}{a}e^{ax+b}=e^{ax+b}\) ✓ |
| \(\ln x\) | \(x\ln x - x\) | \(x>0\) | \(\ln x+1-1=\ln x\) ✓ |
| Fonctions trigonométriques | |||
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(x\in\mathbb{R}\) | \((\sin x)'=\cos x\) ✓ |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(x\in\mathbb{R}\) | \((-\cos x)'=\sin x\) ✓ |
| \(\cos(ax+b)\) | \(\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)\) | \(a\neq 0\) | ✓ |
| \(\sin(ax+b)\) | \(-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)\) | \(a\neq 0\) | ✓ |
| Formes composées fréquentes | |||
| \(u'(x)\,e^{u(x)}\) | \(e^{u(x)}\) | \(u\) dérivable | \((e^u)'=u'e^u\) ✓ |
| \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) | \(\ln|u(x)|\) | \(u(x)\neq 0\) | \((\ln|u|)'=\frac{u'}{u}\) ✓ |
| \(u'(x)\cdot[u(x)]^n\) | \(\dfrac{[u(x)]^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq -1\) | \((u^{n+1}/(n+1))'=u'u^n\) ✓ |
III. Déterminer une primitive particulière
Pour fixer la constante \(C\), on utilise une condition initiale : une valeur connue \( F(x_0) = y_0 \).
1
Forme générale : calculer \(F(x) = G(x) + C\) depuis la table.
2
Condition : poser \(F(x_0) = y_0\) et résoudre en \(C\).
3
Conclusion : écrire \(F(x)\) avec la valeur de \(C\) trouvée.
Exemple 1 — Primitive particulière
Trouver la primitive \(F\) de \(f(x)=3x^2-2x+5\) telle que \(F(1)=4\).
Étape 1 — Forme générale :
\( F(x) = x^3 - x^2 + 5x + C \)
Étape 2 — Condition \(F(1)=4\) :
\( 1 - 1 + 5 + C = 4 \implies C = -1 \)
\( F(x) = x^3 - x^2 + 5x - 1 \)
Exemple 2 — Primitive d'une composée \(u'e^u\)
Calculer \(\displaystyle\int 6x\,e^{3x^2+1}\,dx\).
On pose \(u(x)=3x^2+1\), d'où \(u'(x)=6x\).
Le facteur \(6x\) est exactement \(u'\) — on reconnaît \(\int u'e^u\,dx\).
\(\displaystyle\int u'e^u\,dx = e^u + C\)
\(\displaystyle\int 6x\,e^{3x^2+1}\,dx = e^{3x^2+1} + C\)
IV. Intégrale définie et aire
L'intégrale définie de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est un nombre réel : l'aire algébrique entre la courbe et l'axe \(Ox\) sur \([a\,;\,b]\).
\[\int_a^b f(x)\,dx \;=\; \Big[F(x)\Big]_a^b \;=\; F(b) - F(a)\]
Théorème fondamental du calcul intégral — \(F\) est n'importe quelle primitive de \(f\)
L'intégrale définie \(\int_a^b f(x)\,dx\) = aire algébrique entre la courbe et l'axe \(Ox\)
↔ Linéarité
\[\int_a^b (\alpha f+\beta g)\,dx = \alpha\!\int_a^b f\,dx + \beta\!\int_a^b g\,dx\]
✂ Relation de Chasles
Pour tout \(c\in[a,b]\) :
\[\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\]
🔄 Inversion des bornes
\[\int_a^b f = -\int_b^a f\]
Inverser les bornes change le signe.
📐 Positivité
Si \(f(x)\geq 0\) sur \([a,b]\) :
\[\int_a^b f(x)\,dx \;\geq\; 0\]
V. Exemples de calcul d'intégrales définies
Exemple 3 — Intégrale d'un polynôme
Calculer \(\displaystyle\int_0^2 (x^2+2x-1)\,dx\).
Primitive : \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}+x^2-x\)
\(F(2)=\dfrac{8}{3}+4-2=\dfrac{8}{3}+2=\dfrac{14}{3}\)
\(F(0)=0\)
\(\displaystyle\int_0^2(x^2+2x-1)\,dx = \dfrac{14}{3}\)
Exemple 4 — Intégrale avec \(e^x\)
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 (2e^x+3)\,dx\).
Primitive : \(F(x)=2e^x+3x\)
\(F(1)=2e+3 \quad;\quad F(0)=2\)
\(\displaystyle\int_0^1(2e^x+3)\,dx = 2e+1 \approx 6{,}44\)
Exemple 5 — Intégrale avec \(\sin\) et \(\cos\)
Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\cos x+\sin x)\,dx\).
Primitive : \(F(x)=\sin x-\cos x\)
\(F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1-0=1 \quad;\quad F(0)=0-1=-1\)
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\cos x+\sin x)\,dx = 1-(-1) = 2\)
✅ Réflexes corrects
- \(\displaystyle\int x^4\,dx = \frac{x^5}{5}+C\)
- \(\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C\)
- \(\displaystyle\int e^x\,dx = e^x+C\)
- \(\displaystyle\int \cos(3x)\,dx = \frac{\sin 3x}{3}+C\)
❌ Erreurs fréquentes
- \(\int x^{-1}dx \neq \frac{x^0}{0}\) — règle invalide pour \(n=-1\) !
- \(\int f\cdot g\,dx \neq \!\left(\int\!f\right)\!\left(\int\!g\right)\)
- Oublier \(+C\) dans une intégrale indéfinie
- \(\int_0^2 f \neq \int_2^0 f\) — changer les bornes change le signe
Exploration interactive
Visualise l'aire sous une courbe — explore les intégrales
✏️ Exercices d'application
Exercice 1 — Primitives immédiates
Trouver une primitive \(F\) de chaque fonction (ne pas oublier \(+C\)) :
- a) \(f(x) = 4x^3 - 6x + 2\)
- b) \(f(x) = e^{-2x}\)
- c) \(f(x) = 3\cos x - 2\sin x\)
- d) \(f(x) = \dfrac{5}{x} + \sqrt{x}\)
a) \(F(x) = x^4 - 3x^2 + 2x + C\)
b) Forme \(e^{ax}\) avec \(a=-2\) :
\(F(x) = \dfrac{1}{-2}e^{-2x}+C = -\dfrac{1}{2}e^{-2x}+C\)
c) \(F(x) = 3\sin x + 2\cos x + C\)
d) \(F(x) = 5\ln|x| + \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C\)
b) Forme \(e^{ax}\) avec \(a=-2\) :
\(F(x) = \dfrac{1}{-2}e^{-2x}+C = -\dfrac{1}{2}e^{-2x}+C\)
c) \(F(x) = 3\sin x + 2\cos x + C\)
d) \(F(x) = 5\ln|x| + \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C\)
Exercice 2 — Primitive particulière
Trouver la primitive \(F\) de \(f(x)=2x-4\) telle que \(F(3)=1\).
Forme générale : \(F(x) = x^2 - 4x + C\)
Condition \(F(3)=1\) :
\(9 - 12 + C = 1 \implies C = 4\)
\(\boxed{F(x) = x^2 - 4x + 4}\)
Condition \(F(3)=1\) :
\(9 - 12 + C = 1 \implies C = 4\)
\(\boxed{F(x) = x^2 - 4x + 4}\)
Exercice 3 — Calcul d'intégrales définies
Calculer :
- a) \(\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx\)
- b) \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx\)
- c) \(\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx\)
a) Primitive \(F(x)=x^2+x\)
\(\Big[x^2+x\Big]_1^3 = (9+3)-(1+1) = 12-2 = \mathbf{10}\)
b) Primitive \(F(x)=-\cos x\)
\(\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = (-\cos\pi)-(-\cos 0) = 1+1 = \mathbf{2}\)
L'aire sous une demi-période de \(\sin\) vaut exactement \(2\).
c) Primitive \(F(x)=\ln x\)
\(\Big[\ln x\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1-0 = \mathbf{1}\)
\(\Big[x^2+x\Big]_1^3 = (9+3)-(1+1) = 12-2 = \mathbf{10}\)
b) Primitive \(F(x)=-\cos x\)
\(\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = (-\cos\pi)-(-\cos 0) = 1+1 = \mathbf{2}\)
L'aire sous une demi-période de \(\sin\) vaut exactement \(2\).
c) Primitive \(F(x)=\ln x\)
\(\Big[\ln x\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1-0 = \mathbf{1}\)
Exercice 4 — Application concrète : Production de coton au Burkina ⭐
La SOFITEX modélise le taux de récolte journalier de coton dans la région des Cascades par :
\[r(t) = -0{,}4t^2 + 4t + 2, \quad t\in[0\,;\,8]\] où \(t\) est le nombre de jours depuis le début de la récolte et \(r(t)\) est en tonnes/jour.
- a) Trouver une primitive \(R(t)\) de \(r(t)\).
- b) Calculer la production totale \(\displaystyle\int_0^8 r(t)\,dt\).
- c) Comparer \(\displaystyle\int_0^4 r(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_4^8 r(t)\,dt\). Quelle moitié est plus productive ?
a) \(R(t) = -\dfrac{0{,}4}{3}t^3 + 2t^2 + 2t + C = -\dfrac{2}{15}t^3 + 2t^2 + 2t + C\)
b) \(R(8) = -\dfrac{2}{15}(512) + 2(64) + 16 \approx -68{,}3 + 128 + 16 \approx 75{,}7\) t
\(R(0) = 0\)
\[\int_0^8 r(t)\,dt \approx \mathbf{75{,}7 \text{ tonnes}}\]
c) \(R(4) = -\dfrac{2}{15}(64)+32+8 \approx -8{,}5+40 \approx 31{,}5\) t
\(\displaystyle\int_0^4 r\,dt \approx \mathbf{31{,}5}\) t | \(\displaystyle\int_4^8 r\,dt = 75{,}7 - 31{,}5 \approx \mathbf{44{,}2}\) t
La seconde moitié est plus productive : \(r(t)\) est croissante sur \([0\,;\,5]\), les équipes montent en régime et le coton atteint sa maturité optimale après les premiers jours.
b) \(R(8) = -\dfrac{2}{15}(512) + 2(64) + 16 \approx -68{,}3 + 128 + 16 \approx 75{,}7\) t
\(R(0) = 0\)
\[\int_0^8 r(t)\,dt \approx \mathbf{75{,}7 \text{ tonnes}}\]
c) \(R(4) = -\dfrac{2}{15}(64)+32+8 \approx -8{,}5+40 \approx 31{,}5\) t
\(\displaystyle\int_0^4 r\,dt \approx \mathbf{31{,}5}\) t | \(\displaystyle\int_4^8 r\,dt = 75{,}7 - 31{,}5 \approx \mathbf{44{,}2}\) t
La seconde moitié est plus productive : \(r(t)\) est croissante sur \([0\,;\,5]\), les équipes montent en régime et le coton atteint sa maturité optimale après les premiers jours.
À retenir
- Primitive : \(F\) est primitive de \(f\) si \(F'(x)=f(x)\). Unique à une constante \(C\) près.
- Clés : \(\int x^n = \frac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\int e^x=e^x\) | \(\int\frac{1}{x}=\ln|x|\) | \(\int\cos=\sin\) | \(\int\sin=-\cos\)
- Composées : \(\int u'e^u=e^u\) | \(\int\frac{u'}{u}=\ln|u|\) | \(\int u'u^n=\frac{u^{n+1}}{n+1}\)
- Théorème fondamental : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)
- Géométrie : l'intégrale définie = aire algébrique sous la courbe.
- Chasles : \(\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\) | Inversion : \(\int_a^b=-\int_b^a\)
🏆
Module III — Terminé !
Tu as maîtrisé les 6 leçons du module fonctions usuelles.
Ces outils sont fondamentaux pour l'etude des fonctions.
L1 — Fonction exponentielle
L2 — Fonction logarithme népérien
L3 —Fonction sinus et cosinus
L4 — Fonction tangente
L5 — Fonctions composées et réciproques
L6 — Primitives et calcul intégral ✓