I. Le triangle rectangle — rappels et vocabulaire
Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est droit (90°). Le côté opposé à l'angle droit, le plus long des trois, s'appelle l'hypoténuse. Les deux autres côtés sont les côtés de l'angle droit, ou cathètes.
Triangle rectangle ABC avec angle droit en C, angle \(\alpha\) en A et angle \(\beta\) en B
II. Définitions — sinus, cosinus, tangente d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, les fonctions trigonométriques d'un angle aigu sont définies comme des rapports entre les longueurs des côtés. Ces rapports sont les mêmes pour tous les triangles rectangles ayant le même angle — c'est pourquoi ils caractérisent l'angle et non le triangle particulier.
Le côté adjacent à \(\alpha\) est AC = \(b\).
L'hypoténuse est AB = \(c\).
Le côté adjacent à \(\beta\) est BC = \(a\).
L'hypoténuse est AB = \(c\).
Deux triangles rectangles ayant le même angle aigu \(\alpha\) sont semblables (ils ont les mêmes angles : \(\alpha\), 90° et \(90°-\alpha\)). Les triangles semblables ont leurs côtés proportionnels : si on double la taille du triangle, tous les côtés doublent, donc le rapport côté opposé/hypoténuse reste identique. C'est précisément ce que dit la définition de \(\sin\alpha\). Ainsi, \(\sin\alpha\) est une propriété de l'angle \(\alpha\) lui-même, pas du triangle particulier dans lequel on le mesure.
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III. Valeurs remarquables — le triangle rectangle en 30-60-90 et le triangle isocèle rectangle
Deux triangles rectangles particuliers permettent de calculer les valeurs exactes des fonctions trigonométriques pour les angles 30°, 45° et 60°. Ces valeurs doivent être connues par cœur.
Les deux triangles rectangles remarquables qui génèrent toutes les valeurs exactes
| Angle | 30° = π/6 | 45° = π/4 | 60° = π/3 | 90° = π/2 |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\tan\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | indéfini |
Partons d'un triangle équilatéral de côté 2. La médiatrice d'un côté partage ce triangle en deux triangles rectangles de côtés \(1\), \(\sqrt{3}\) et \(2\) (la médiatrice mesure \(\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\) par Pythagore). L'angle au sommet est 30°, l'angle à la base est 60°.
Pour 45° : dans un carré de côté 1, la diagonale mesure \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\), formant un triangle rectangle isocèle 45°-45°-90°.
IV. Relations fondamentales dans le triangle rectangle
Dans le triangle rectangle ABC avec hypoténuse \(c\) et angle \(\alpha\) en A :
\(\sin\alpha = \frac{a}{c}\) et \(\cos\alpha = \frac{b}{c}\)
Donc : \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2+b^2}{c^2}\)
Or par Pythagore : \(a^2+b^2=c^2\), donc \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2} = \dfrac{c^2}{c^2} = 1\). \(\square\)
L'identité trigonométrique fondamentale est donc une reformulation du théorème de Pythagore — ce sont deux expressions du même fait géométrique.
V. Calcul d'un côté ou d'un angle
Connaissant un angle aigu et un côté, on peut calculer tous les autres éléments du triangle. C'est le principe de la mesure indirecte — calculer des longueurs inaccessibles à partir d'angles et de distances mesurables.
Dans un triangle rectangle, \(\alpha = 35°\) et l'hypoténuse \(c = 12\) cm. Calculer les deux cathètes.
\(a = c\sin\alpha = 12\sin35° \approx 12 \times 0{,}574 \approx 6{,}88\) cm
\(b = c\cos\alpha = 12\cos35° \approx 12 \times 0{,}819 \approx 9{,}83\) cm
Vérification Pythagore : \(6{,}88^2 + 9{,}83^2 \approx 47{,}3 + 96{,}6 \approx 143{,}9 \approx 12^2 = 144\) ✓
Dans un triangle rectangle, les cathètes mesurent 5 cm et 8 cm. Calculer les deux angles aigus.
\(\tan\alpha = \frac{5}{8} = 0{,}625 \implies \alpha = \arctan(0{,}625) \approx 32{,}0°\)
\(\beta = 90° - \alpha \approx 58{,}0°\)
Hypoténuse : \(c = \sqrt{5^2+8^2} = \sqrt{25+64} = \sqrt{89} \approx 9{,}43\) cm.
Vérification : \(\sin(32°) \approx \frac{5}{9{,}43} \approx 0{,}530\) ✓
Dans un triangle rectangle, \(\alpha = 30°\) et \(b = 6\sqrt{3}\) cm (côté adjacent). Calculer \(a\) et \(c\) exactement.
\(\tan 30° = \frac{a}{b} \implies a = b\tan 30° = 6\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 6\) cm
\(\cos 30° = \frac{b}{c} \implies c = \frac{b}{\cos 30°} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = \frac{6\sqrt{3} \times 2}{\sqrt{3}} = 12\) cm
Vérification : \(6^2 + (6\sqrt{3})^2 = 36 + 108 = 144 = 12^2\) ✓
VI. Application concrète ⭐
Un géomètre se place à 50 mètres de la base du minaret de la Grande Mosquée de Bobo-Dioulasso. Il mesure un angle d'élévation de 52° avec un théodolite (instrument de mesure d'angles) placé à 1,6 m du sol.
- a) Schématiser la situation par un triangle rectangle.
- b) Calculer la hauteur \(h\) du sommet du minaret depuis l'instrument.
- c) En déduire la hauteur totale du minaret depuis le sol.
- d) Si l'angle d'élévation du portail (base visible du minaret) est 12°, quelle est la hauteur du portail ?
a) Le triangle rectangle a pour angle à la base \(\alpha = 52°\), le côté adjacent (distance horizontale) \(d = 50\) m, et le côté opposé (hauteur depuis l'instrument) est \(h\).
b) Hauteur depuis l'instrument :
\(\tan 52° = \dfrac{h}{50} \implies h = 50\tan 52° \approx 50 \times 1{,}280 \approx 64{,}0\) m
c) Hauteur totale depuis le sol :
\(H = h + 1{,}6 \approx 64{,}0 + 1{,}6 = \mathbf{65{,}6}\) m
d) Hauteur du portail :
\(h_{\text{portail}} = 50\tan 12° \approx 50 \times 0{,}213 \approx 10{,}6\) m + 1,6 m \(\approx\) 12,2 m
✏️ Exercices d'application
Dans un triangle rectangle ABC (angle droit en C) :
- a) \(\hat{A} = 40°\) et \(AB = 15\) cm. Calculer \(BC\) et \(AC\).
- b) \(BC = 7\) cm et \(AC = 24\) cm. Calculer \(\hat{A}\), \(\hat{B}\) et \(AB\).
- c) \(\hat{B} = 60°\) et \(BC = 5\) cm. Calculer \(AC\), \(AB\) exactement.
b) \(AB = \sqrt{7^2+24^2} = \sqrt{49+576} = \sqrt{625} = 25\) cm.
\(\tan\hat{A} = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24} \implies \hat{A} = \arctan(\frac{7}{24}) \approx 16{,}3°\) ; \(\hat{B} \approx 73{,}7°\).
c) \(AC = BC\tan60° = 5\sqrt{3}\) cm. \(AB = \frac{BC}{\cos60°} = \frac{5}{1/2} = 10\) cm.
Au site des Sculptures de Laongo, un touriste se place à 30 mètres de la base d'une sculpture et mesure un angle d'élévation de 38° au sommet (instrument à 1,5 m du sol).
- a) Calculer la hauteur de la sculpture.
- b) Depuis un autre point, l'angle est 25°. Quelle est la distance à la base ?
b) La hauteur depuis l'instrument est \(24{,}9 - 1{,}5 = 23{,}4\) m.
\(\tan25° = \frac{23{,}4}{d} \implies d = \frac{23{,}4}{\tan25°} \approx \frac{23{,}4}{0{,}466} \approx \mathbf{50{,}2}\) m.
Une route entre deux villages du Sahel burkinabè monte régulièrement. Elle fait un angle de 8° avec l'horizontale. Pour une distance parcourue sur la route de 2 kilomètres :
- a) Calculer le dénivelé (hauteur gagnée).
- b) Calculer la distance horizontale parcourue.
- c) Exprimer la pente en pourcentage (dénivelé/distance horizontale × 100).
b) Distance horizontale = \(2000\cos8° \approx 2000 \times 0{,}990 \approx \mathbf{1980}\) m.
c) Pente = \(\frac{278}{1980} \times 100 \approx \mathbf{14{,}0}\%\) (ce qui est une pente assez raide).
Le toit d'une case ronde traditionnelle du Burkina Faso est en forme de cône. Le diamètre de la base est 4 mètres et l'angle que fait le toit avec l'horizontale est 55°.
- a) Calculer la hauteur du toit (pointe du cône à la base).
- b) Calculer la longueur d'un côté incliné (générateur du cône).
- c) Calculer l'angle au sommet du cône (angle entre deux génératrices opposées).
a) \(h = r\tan55° = 2 \times 1{,}428 \approx \mathbf{2{,}86}\) m.
b) Générateur (hypoténuse) : \(g = \frac{r}{\cos55°} = \frac{2}{0{,}574} \approx \mathbf{3{,}48}\) m.
c) L'angle au sommet entre les deux génératrices opposées est \(180° - 2\times55° = \mathbf{70°}\).
Un pirogue traverse le fleuve Mouhoun perpendiculairement à la rive. Le courant la déporte de sorte qu'elle aborde l'autre rive à un point décalé de 40 mètres en aval. La largeur du fleuve est de 120 mètres.
- a) Calculer la distance réellement parcourue par la pirogue.
- b) Calculer l'angle entre la trajectoire réelle et la perpendiculaire à la rive.
- c) Si la pirogue veut arriver exactement en face, de quel angle doit-elle pointer vers l'amont pour compenser le courant ?
b) \(\tan\alpha = \frac{40}{120} = \frac{1}{3} \implies \alpha = \arctan(\frac{1}{3}) \approx \mathbf{18{,}4°}\) par rapport à la perpendiculaire (ou 71,6° par rapport à la rive).
c) Elle doit pointer vers l'amont du même angle \(\alpha \approx \mathbf{18{,}4°}\) pour que sa trajectoire résultante soit perpendiculaire à la rive.
À retenir
- SOH-CAH-TOA : \(\sin = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}\), \(\cos = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}\), \(\tan = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}\).
- Ces rapports ne dépendent que de l'angle, pas de la taille du triangle (propriété des triangles semblables).
- Valeurs exactes : \(\sin30°=\frac{1}{2}\), \(\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\) — et pour cos, l'ordre est inversé.
- Identité de Pythagore : \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) — reformulation de \(a^2+b^2=c^2\).
- Angles complémentaires : \(\sin\alpha = \cos(90°-\alpha)\) — sin et cos d'angles complémentaires s'échangent.
- Mesure indirecte : hauteur inaccessible \(h = d\tan\alpha\) où \(d\) est la distance et \(\alpha\) l'angle d'élévation.
- Calculer un angle : utiliser \(\arcsin\), \(\arccos\) ou \(\arctan\) selon les données.