Module VI — Trigonométrie

Calculer \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\) exactement.

\(\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}\). On applique la formule de soustraction :

\(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4} + \sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\)

\(= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{6}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)

\(\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6}\) :

\(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6} + \cos\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6}\)

\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

Remarque : \(\cos\frac{\pi}{12} = \sin\frac{5\pi}{12}\) car \(\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{2}\) ✓

Sachant que \(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\) et \(\theta \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\), calculer \(\sin 2\theta\), \(\cos 2\theta\) et \(\tan 2\theta\).

Depuis \(\sin\theta = \frac{3}{5}\) et le quadrant I : \(\cos\theta = \frac{4}{5}\), \(\tan\theta = \frac{3}{4}\).

\(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}\)

\(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}\)

\(\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} = \frac{2 \times \frac{3}{4}}{1-\frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{2} \times \frac{16}{7} = \frac{24}{7}\)

Vérification : \(\tan 2\theta = \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} = \frac{24/25}{7/25} = \frac{24}{7}\) ✓

Exprimer \(\cos\dfrac{3x}{2}\cos\dfrac{x}{2}\) comme somme.

On applique la formule de linéarisation avec \(a = \frac{3x}{2}\) et \(b = \frac{x}{2}\) :

\(\cos a\cos b = \dfrac{\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}\)

\(\cos\dfrac{3x}{2}\cos\dfrac{x}{2} = \dfrac{\cos\!\left(\dfrac{3x}{2}-\dfrac{x}{2}\right)+\cos\!\left(\dfrac{3x}{2}+\dfrac{x}{2}\right)}{2} = \dfrac{\cos x + \cos 2x}{2}\)

Écrire \(f(\theta) = \sqrt{3}\cos\theta - \sin\theta\) sous la forme \(R\cos(\theta + \varphi)\).

On développe \(R\cos(\theta+\varphi) = R\cos\theta\cos\varphi - R\sin\theta\sin\varphi\) et on identifie :

\(R\cos\varphi = \sqrt{3}\) et \(R\sin\varphi = 1\)

En élevant au carré et en additionnant :

\(R^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 \implies R = 2\)

\(\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\varphi = \frac{1}{2} \implies \varphi = \frac{\pi}{6}\)

Donc \(f(\theta) = 2\cos\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right)\).

Vérification : \(2\cos(\theta+\frac{\pi}{6}) = 2\left(\cos\theta\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin\theta\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3}\cos\theta - \sin\theta\) ✓

a) On applique la formule \(p + q = 2\cos\!\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos\!\left(\frac{p+q}{2}\right)\) avec \(p = \omega t\) et \(q = \omega t + \varphi\) :

\(A\cos(\omega t) + A\cos(\omega t+\varphi) = A \cdot 2\cos\!\left(\frac{\omega t - (\omega t+\varphi)}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\omega t + \omega t+\varphi}{2}\right)\)

\(= 2A\cos\!\left(-\frac{\varphi}{2}\right)\cos\!\left(\omega t+\frac{\varphi}{2}\right) = 2A\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cos\!\left(\omega t+\frac{\varphi}{2}\right)\) ✓

(On a utilisé \(\cos(-\varphi/2) = \cos(\varphi/2)\) car cos est paire.)

b) Pour \(\varphi = \frac{\pi}{3}\) :

Amplitude \(= 2A\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2A \times \frac{\sqrt{3}}{2} = A\sqrt{3}\)

L'amplitude est réduite par rapport à \(2A\) mais reste positive : interférence partiellement constructive.

c) Interférence destructive quand l'amplitude est nulle :

\(2A\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right) = 0 \implies \cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right) = 0 \implies \frac{\varphi}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies \varphi = \pi + 2k\pi\)

Le son s'annule pour \(\varphi = \pi\) (déphasage d'un demi-tour = sons opposés) — c'est le principe des casques anti-bruit.