Leçon 5 — Fonctions trigonométriques

Propriétés de \(\cos\), \(\sin\) et \(\tan\) — parité, périodicité, variations, courbes représentatives

I. Les trois fonctions trigonométriques — définitions et domaines

Les fonctions cosinus, sinus et tangente sont définies à partir du cercle trigonométrique. Rappelons que le point \(M(\theta)\) sur le cercle unité a pour coordonnées \((\cos\theta\,;\,\sin\theta)\). Ces coordonnées définissent deux fonctions de \(\mathbb{R}\) vers \([-1\,;\,1]\). La tangente est leur quotient, défini là où le dénominateur est non nul.

cos — cosinus

\(f : \mathbb{R} \to [-1\,;\,1]\)
\(\theta \mapsto \cos\theta\)
Défini partout sur \(\mathbb{R}\).
C'est l'abscisse de \(M(\theta)\).

\(-1 \leq \cos\theta \leq 1\)

sin — sinus

\(f : \mathbb{R} \to [-1\,;\,1]\)
\(\theta \mapsto \sin\theta\)
Défini partout sur \(\mathbb{R}\).
C'est l'ordonnée de \(M(\theta)\).

\(-1 \leq \sin\theta \leq 1\)

tan — tangente

\(f : D \to \mathbb{R}\)
\(\theta \mapsto \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
Non défini quand \(\cos\theta = 0\).
Domaine : \(D = \mathbb{R} \setminus \!\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)

\(\tan\theta \in \mathbb{R}\)

Identité fondamentale

Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\) :
\[\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\] Car \((\cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2\) = somme des carrés des coordonnées d'un point de distance 1 de l'origine.

\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)

📐 Preuve de l'identité fondamentale \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)

Le point \(M(\theta) = (\cos\theta\,;\,\sin\theta)\) appartient au cercle de rayon 1 centré en l'origine. Par définition d'un tel cercle, la distance de \(M(\theta)\) à l'origine vaut 1 :

\(\overrightarrow{OM}^2 = (\cos\theta - 0)^2 + (\sin\theta - 0)^2 = 1^2\)

\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \quad \square\)

Cette identité est valable pour tout réel \(\theta\), sans exception. Elle est aussi appelée relation pythagoricienne trigonométrique car elle traduit le théorème de Pythagore dans le cercle unité.

Nerveux explique : Imagine les nattes tressées du marché de Pissy à Ouagadougou. Les artisanes créent des motifs en répétant exactement le même motif toutes les \(2\pi\) unités de longueur du fil. C'est exactement la propriété des fonctions \(\cos\) et \(\sin\) — elles sont périodiques de période \(2\pi\). Le motif recommence à l'identique après chaque tour complet. C'est pour ça qu'elles servent à modéliser tout ce qui oscille, tourne ou se répète : les sons, les marées, la lumière, les saisons.

II. Parité et périodicité

Les fonctions trigonométriques ont des propriétés de symétrie remarquables qui permettent de réduire considérablement les calculs. Elles découlent directement des angles associés étudiés en Leçon 1.

Propriété	\(\cos\)	\(\sin\)	\(\tan\)
Parité	Paire : \(\cos(-\theta)=\cos\theta\) — symétrie axiale / axe \(y\)	Impaire : \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\) — symétrie centrale / origine	Impaire : \(\tan(-\theta)=-\tan\theta\) — symétrie centrale / origine
Période minimale	\(2\pi\)	\(2\pi\)	\(\pi\) (deux fois plus courte !)
Traduction	\(\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta\)	\(\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta\)	\(\tan(\theta+\pi)=\tan\theta\)
Image	\([-1\,;\,1]\)	\([-1\,;\,1]\)	\(\mathbb{R}\) entier

🔍 Pourquoi \(\tan\) a-t-elle la période \(\pi\) et non \(2\pi\) ?

La tangente est définie par \(\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta\). Si on remplace \(\theta\) par \(\theta + \pi\) :

\(\tan(\theta+\pi) = \dfrac{\sin(\theta+\pi)}{\cos(\theta+\pi)} = \dfrac{-\sin\theta}{-\cos\theta} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta\)

Les signes moins s'annulent. Géométriquement : après une demi-rotation (\(\pi\) rad), le point \(M(\theta+\pi)\) est le symétrique de \(M(\theta)\) par rapport à l'origine — les deux coordonnées changent de signe, mais leur rapport est inchangé.

cos→Paire, période \(2\pi\)

sin→Impaire, période \(2\pi\)

tan→Impaire, période \(\pi\)

III. Variations sur \([0\,;\,2\pi]\)

Intervalle	\([0\,;\,\frac{\pi}{2}]\)	\([\frac{\pi}{2}\,;\,\pi]\)	\([\pi\,;\,\frac{3\pi}{2}]\)	\([\frac{3\pi}{2}\,;\,2\pi]\)
\(\cos\theta\)	↘ de 1 à 0	↘ de 0 à −1	↗ de −1 à 0	↗ de 0 à 1
\(\sin\theta\)	↗ de 0 à 1	↘ de 1 à 0	↘ de 0 à −1	↗ de −1 à 0
\(\tan\theta\)	↗ de 0 à \(+\infty\)	↗ de \(-\infty\) à 0	↗ de 0 à \(+\infty\)	↗ de \(-\infty\) à 0

Points remarquables : cos atteint ses extrema en 0 (\(\cos 0 = 1\) max) et \(\pi\) (\(\cos\pi = -1\) min). Sin atteint ses extrema en \(\pi/2\) (\(\sin\frac{\pi}{2} = 1\) max) et \(3\pi/2\) (\(\sin\frac{3\pi}{2} = -1\) min). La tangente est strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine, de \(-\infty\) à \(+\infty\).

IV. Courbes des fonctions trigonométriques

Les courbes de \(\cos\) et \(\sin\) sont appelées sinusoïdes. Celle de \(\sin\) est la translatée de celle de \(\cos\) d'un décalage de \(\pi/2\) vers la droite : \(\sin\theta = \cos\!\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right)\).

Courbes de \(y = \cos x\) (bleu marine) et \(y = \sin x\) (rouge) — sinusoïdes de période \(2\pi\), décalées de \(\pi/2\)

Courbe de \(y = \tan x\) (vert) — période \(\pi\), strictement croissante, asymptotes verticales en \(x = \pi/2 + k\pi\)

V. Identités trigonométriques fondamentales

De l'identité de base \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\), on déduit plusieurs relations qui permettent de transformer les expressions trigonométriques.

\[\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \qquad 1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}\] La première est universelle ; la seconde est valable pour \(\cos\theta \neq 0\)

📐 Preuve de \(1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\)

On part de \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) et on divise les deux membres par \(\cos^2\theta\) (non nul) :

\(\dfrac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} + \dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\)

\(1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} \quad \square\)

Cette identité est très utile dans les intégrales trigonométriques et le calcul différentiel. Elle donne aussi : \(\cos^2\theta = \dfrac{1}{1+\tan^2\theta}\), qui permet d'exprimer cos en fonction de tan.

Complément

\(\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \cos\theta\)
\(\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \sin\theta\)
cos et sin sont complémentaires

Demi-angle

\(\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}\)
\(\sin^2\theta = \dfrac{1-\cos 2\theta}{2}\)
Déduites de \(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\)

VI. Exemples travaillés

Exemple 1 — Calculer sin ou cos connaissant l'autre

Sachant que \(\cos\theta = \dfrac{3}{5}\) et \(\theta \in \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,0\right[\), calculer \(\sin\theta\) et \(\tan\theta\).

On utilise \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) :

\(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\)

\(\sin\theta = \pm\dfrac{4}{5}\)

Or \(\theta \in \left]-\frac{\pi}{2}\,;\,0\right[\) (quatrième quadrant) → \(\sin\theta < 0\), donc :

\(\sin\theta = -\dfrac{4}{5}\)

\(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{-4/5}{3/5} = -\dfrac{4}{3}\)

\(\sin\theta = -\dfrac{4}{5}\) | \(\tan\theta = -\dfrac{4}{3}\)

Exemple 2 — Simplifier une expression trigonométrique

Simplifier \(E = \dfrac{1 - \sin^2\theta}{\cos\theta} + \cos\theta \cdot \tan^2\theta\) pour \(\cos\theta \neq 0\).

\(E = \dfrac{\cos^2\theta}{\cos\theta} + \cos\theta \cdot \dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\)

\(= \cos\theta + \dfrac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\)

\(= \dfrac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos\theta} = \dfrac{1}{\cos\theta}\)

\(E = \dfrac{1}{\cos\theta}\)

Exemple 3 — Étudier le signe de \(\cos\) et \(\sin\) sur un intervalle

Donner le signe de \(\cos x\) et \(\sin x\) pour \(x \in \left[\dfrac{7\pi}{6}\,;\,\dfrac{4\pi}{3}\right]\).

L'intervalle \(\left[\dfrac{7\pi}{6}\,;\,\dfrac{4\pi}{3}\right]\) correspond à \([210°\,;\,240°]\), soit le troisième quadrant.

Dans le troisième quadrant : \(\cos x < 0\) et \(\sin x < 0\).

Vérification aux bornes :

\(\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} < 0\) ✓ \(\cos\!\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2} < 0\) ✓

\(\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} < 0\) ✓ \(\sin\!\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} < 0\) ✓

Sur \(\left[\frac{7\pi}{6}\,;\,\frac{4\pi}{3}\right]\) : \(\cos x < 0\) et \(\sin x < 0\).

VII. Application concrète — Modèle sinusoïdal ⭐

⭐ Situation concrète Température à Ouagadougou — modèle sinusoïdal

La température moyenne mensuelle à Ouagadougou (en °C) est modélisée par :

\(T(t) = 29 + 6\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{2\pi}{3}\right)\)

où \(t\) est le mois de l'année (\(t = 1\) = janvier, \(t = 12\) = décembre).

a) Quelle est la température maximale et en quel mois est-elle atteinte ?
b) Quelle est la température minimale ?
c) Calculer \(T(1)\), \(T(4)\), \(T(7)\) et interpréter.
d) Quelle est la période de ce modèle ? Est-elle cohérente avec un cycle annuel ?

Exemple 4 — Température à Ouagadougou

a) Maximum : \(T\) est maximale quand \(\cos(\cdots) = 1\), soit quand l'argument vaut 0 :

\(\dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{2\pi}{3} = 0 \implies t = 4\)

\(T_{\max} = 29 + 6 \times 1 = \mathbf{35°C}\) en avril (\(t=4\)).

b) Minimum : quand \(\cos(\cdots) = -1\), argument = \(\pi\) :

\(\dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{2\pi}{3} = \pi \implies \dfrac{\pi t}{6} = \dfrac{5\pi}{3} \implies t = 10\)

\(T_{\min} = 29 - 6 = \mathbf{23°C}\) en octobre (\(t=10\)).

c) Valeurs particulières :

\(T(1) = 29 + 6\cos\!\left(\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3}\right) = 29 + 6\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 29 + 0 = 29°C\) (janvier)

\(T(4) = 29 + 6\cos(0) = 35°C\) (avril — maximum confirmé)

\(T(7) = 29 + 6\cos\!\left(\frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{3}\right) = 29 + 6\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 29°C\) (juillet)

d) Période : la fonction \(\cos\!\left(\frac{\pi t}{6} - \frac{2\pi}{3}\right)\) a pour argument \(\frac{\pi t}{6}\). La période est quand l'argument avance de \(2\pi\) :

\(\dfrac{\pi T}{6} = 2\pi \implies T = 12\) mois ✓ — période annuelle, cohérente avec les saisons.

Max : 35°C en avril | Min : 23°C en octobre | Période : 12 mois

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Identité fondamentale

Dans chaque cas, calculer les valeurs des deux autres fonctions trigonométriques :

a) \(\sin\theta = \dfrac{5}{13}\) et \(\theta \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\)
b) \(\tan\theta = -2\) et \(\theta \in \left]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[\)
c) \(\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\theta < 0\)

a) \(\cos^2\theta = 1-\frac{25}{169} = \frac{144}{169}\). Quadrant I → \(\cos\theta = \frac{12}{13}\). \(\tan\theta = \frac{5}{12}\).

b) \(1+\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} \implies \cos^2\theta = \frac{1}{5}\). Quadrant II → \(\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}\).
\(\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = -2 \times (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{2\sqrt{5}}{5}\).

c) \(\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \frac{5\pi}{6}\) ou \(\frac{7\pi}{6}\). Condition \(\sin\theta < 0\) → quadrant III : \(\theta = \frac{7\pi}{6}\).
\(\sin\theta = -\frac{1}{2}\), \(\tan\theta = \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Exercice 2 — Simplifications

Simplifier les expressions suivantes (\(\cos x \neq 0\), \(\sin x \neq 0\)) :

a) \(\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x\)
b) \(\dfrac{\cos^2 x - 1}{\sin x}\)
c) \(\left(1 + \tan^2 x\right)\cos^2 x\)

a) \(\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x = 1 + 2\sin x\cos x = 1+\sin 2x\) (ou simplement \((\sin x + \cos x)^2\))

b) \(\frac{\cos^2x-1}{\sin x} = \frac{-\sin^2x}{\sin x} = -\sin x\)

c) \((1+\tan^2x)\cos^2x = \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 1\)

Exercice 3 — Lecture de courbe et période

Un phénomène physique dans un laboratoire de l'Université Joseph Ki-Zerbo de Ouagadougou est modélisé par \(f(t) = 3\sin\!\left(2t - \dfrac{\pi}{4}\right)\).

a) Quelle est la valeur maximale de \(f\) ? En quelle valeur de \(t\) est-elle atteinte (pour \(t \geq 0\)) ?
b) Quelle est la période de \(f\) ?
c) Calculer \(f(0)\), \(f\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\) et \(f\!\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)\).

a) Max quand \(\sin(2t-\frac{\pi}{4})=1\), soit \(2t-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} \implies t=\frac{3\pi}{8}\).
\(f_{\max} = 3 \times 1 = \mathbf{3}\) atteint en \(t = \frac{3\pi}{8}\).

b) L'argument est \(2t\), donc la période est \(\frac{2\pi}{2} = \mathbf{\pi}\).

c) \(f(0) = 3\sin(-\frac{\pi}{4}) = 3 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} \approx -2{,}12\)
\(f(\frac{\pi}{8}) = 3\sin(2\times\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{4}) = 3\sin(0) = 0\)
\(f(\frac{3\pi}{8}) = 3\sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}) = 3\sin(\frac{\pi}{2}) = 3\)

Exercice 4 — Crue du fleuve Mouhoun

Le niveau (en mètres) du fleuve Mouhoun dans la région de la Boucle du Mouhoun suit un modèle saisonnier :

\(N(t) = 2{,}5 + 2\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{\pi}{2}\right)\)

où \(t\) est le mois (\(t=1\) = janvier).

a) Quel est le niveau minimal et en quel mois ?
b) Quel est le niveau maximal et en quel mois ? (Crue maximale)
c) Durant quels mois le niveau est-il supérieur à 3 mètres ?

a) Min quand \(\sin(\cdots)=-1\) : \(\frac{\pi t}{6}-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2} \implies t=0\), soit janvier (\(t=1\) donne un niveau proche). Plus précisément : \(\frac{\pi\times1}{6}-\frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3}\), \(\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx-0{,}866\). Le minimum exact est en \(t=0\) soit fin décembre/début janvier. \(N_{\min}=2{,}5-2=\mathbf{0{,}5}\) m.

b) Max quand \(\sin(\cdots)=1\) : \(\frac{\pi t}{6}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2} \implies t=6\) → juin. \(N_{\max}=2{,}5+2=\mathbf{4{,}5}\) m (crue de l'hivernage) ✓

c) \(N(t)>3 \implies 2\sin(\frac{\pi t}{6}-\frac{\pi}{2})>0{,}5 \implies \sin(\frac{\pi t}{6}-\frac{\pi}{2})>0{,}25\)
Le sinus dépasse 0,25 pour les angles dans \(]\arcsin(0{,}25)\,;\,\pi-\arcsin(0{,}25)[\approx]0{,}253\,;\,2{,}889[\).
\(\frac{\pi t}{6}-\frac{\pi}{2} \in ]0{,}253\,;\,2{,}889[ \implies \frac{\pi t}{6} \in ]0{,}253+\frac{\pi}{2}\,;\,2{,}889+\frac{\pi}{2}[ \approx ]1{,}824\,;\,4{,}460[\)
\(t \in ]\frac{6\times1{,}824}{\pi}\,;\,\frac{6\times4{,}460}{\pi}[ \approx ]3{,}48\,;\,8{,}52[\)
Le niveau est au-dessus de 3 m durant les mois 4 à 8 (avril à août).

Exercice 5 — Preuve d'une identité ⭐

Prouver les identités suivantes :

a) \(\dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} + \dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{2}{\sin\theta}\)
b) \(\dfrac{\tan\theta - \sin\theta}{\tan\theta + \sin\theta} = \dfrac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}\) (pour \(\tan\theta\) et \(\sin\theta\) non nuls)

a) Membre gauche, réduction au même dénominateur \(\sin\theta(1+\cos\theta)\) :
\(\dfrac{\sin^2\theta + (1+\cos\theta)^2}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \dfrac{\sin^2\theta+1+2\cos\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \dfrac{1+1+2\cos\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \dfrac{2(1+\cos\theta)}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \dfrac{2}{\sin\theta}\) ✓

b) Factoriser en divisant par \(\sin\theta\) au numérateur et dénominateur :
\(\dfrac{\tan\theta-\sin\theta}{\tan\theta+\sin\theta} = \dfrac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}-\sin\theta}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\sin\theta} = \dfrac{\sin\theta(\frac{1}{\cos\theta}-1)}{\sin\theta(\frac{1}{\cos\theta}+1)} = \dfrac{\frac{1-\cos\theta}{\cos\theta}}{\frac{1+\cos\theta}{\cos\theta}} = \dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\) ✓

À retenir

Identité fondamentale : \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) — valable pour tout \(\theta\).
Parité : cos est paire (\(\cos(-\theta) = \cos\theta\)) ; sin et tan sont impaires.
Périodes : cos et sin ont période \(2\pi\) ; tan a période \(\pi\).
Variations : cos décroît de \(0\) à \(\pi\), croît de \(\pi\) à \(2\pi\) ; sin croît de \(0\) à \(\pi/2\), décroît de \(\pi/2\) à \(3\pi/2\) ; tan est toujours croissante sur chaque branche.
Images : \(\cos\theta, \sin\theta \in [-1\,;\,1]\) ; \(\tan\theta \in \mathbb{R}\).
\(1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\) pour \(\cos\theta \neq 0\).
Modèle sinusoïdal : \(A\sin(\omega t + \varphi)\) — amplitude \(A\), pulsation \(\omega\), période \(\frac{2\pi}{\omega}\).

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