Leçon 7 — Lieux géométriques

Méthode analytique des lieux — médiatrice, cercle, parabole, ellipse — et synthèse du module

I. Qu'est-ce qu'un lieu géométrique ?

Un lieu géométrique est l'ensemble de tous les points du plan satisfaisant une propriété géométrique donnée. La méthode analytique consiste à traduire cette propriété en une équation algébrique en \(x\) et \(y\), puis à reconnaître la nature de la courbe obtenue.

Méthode générale : soit \(M(x\,;\,y)\) un point quelconque du plan. \[\text{M vérifie la propriété } P \iff \text{équation en } x, y\] La courbe d'équation obtenue est le lieu cherché. Les lieux fondamentaux : droite, cercle, parabole, ellipse, hyperbole

Nommer le point générique \(M(x\,;\,y)\) dont on cherche le lieu.
Traduire la propriété géométrique en langage vectoriel ou en termes de distances.
Développer algébriquement : carrer, développer, simplifier jusqu'à obtenir une équation en \(x\) et \(y\).
Reconnaître la forme : \(ax+by+c=0\) (droite), \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) (cercle), \(y=ax^2+bx+c\) (parabole), etc.
Conclure en décrivant la nature géométrique du lieu.

Nerveux explique : Les caïmans sacrés de Sabou patrouillent autour de la mare en restant toujours à la même distance du bord. Tous les points à 5 mètres du bord forment un cercle — c'est un lieu géométrique. Mais si un caïman reste à égale distance de deux points fixes (deux rochers), il suit la médiatrice de ces deux points — une droite. Chaque règle de déplacement génère un lieu différent. La beauté des lieux géométriques, c'est que des règles simples produisent des courbes élégantes : droites, cercles, paraboles.

II. Les lieux classiques et leurs équations

Médiatrice de [AB]

Propriété : \(MA = MB\)
Développement : \(MA^2 = MB^2\)

Droite perpendiculaire à AB par son milieu

Équation linéaire en \(x,y\).

Cercle de centre Ω, rayon r

Propriété : \(M\Omega = r\)
Développement : \(M\Omega^2 = r^2\)

\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

Toute condition \(M\Omega = \text{cste}\).

Lieu \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)

Propriété : \(\angle AMB = 90°\)

Cercle de diamètre [AB]

Théorème de Thalès — le lieu est un cercle.

Parabole — foyer et directrice

Propriété : \(MF = d(M, (d))\)
Distance au foyer = distance à la directrice

\(y = \frac{1}{4p}x^2\) (axe vertical)

Foyer à \((0,p)\), directrice \(y=-p\).

🔍 Les coniques — famille de courbes du second degré

Les cercles, ellipses, paraboles et hyperboles sont toutes des courbes du second degré — leurs équations font intervenir \(x^2\) ou \(y^2\) (ou les deux). Elles s'appellent les coniques car elles peuvent toutes être obtenues comme intersection d'un cône et d'un plan (d'où leur nom).

Cercle : \(x^2+y^2=r^2\) — lieu équidistant d'un point.

Ellipse : \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) — somme des distances à deux foyers constante.

Parabole : \(y=\frac{x^2}{4p}\) — équidistant d'un foyer et d'une droite.

Hyperbole : \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) — différence des distances à deux foyers constante.

III. La médiatrice — dérivation rigoureuse

La médiatrice d'un segment \([AB]\) est l'ensemble des points équidistants de \(A\) et de \(B\). En coordonnées, cette condition se traduit par une équation de droite — ce qui confirme que la médiatrice est bien une droite.

📐 Équation de la médiatrice de \([AB]\)

Soient \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\). On cherche \(M(x\,;\,y)\) tel que \(MA = MB\).

\(MA^2 = MB^2\)

\((x-x_A)^2+(y-y_A)^2 = (x-x_B)^2+(y-y_B)^2\)

On développe et on simplifie (\(x^2\) et \(y^2\) s'annulent) :

\(-2x_A x-2y_A y+x_A^2+y_A^2 = -2x_B x-2y_B y+x_B^2+y_B^2\)

\(2(x_B-x_A)x+2(y_B-y_A)y+(x_A^2+y_A^2-x_B^2-y_B^2)=0\)

C'est une équation linéaire en \(x\) et \(y\) — donc une droite. Son vecteur normal est \(\overrightarrow{AB}\binom{x_B-x_A}{y_B-y_A}\), confirmant qu'elle est perpendiculaire à \([AB]\). \(\square\)

IV. La parabole — construction analytique

La parabole est le lieu des points équidistants d'un point fixe \(F\) (le foyer) et d'une droite fixe \(\Delta\) (la directrice).

Parabole de foyer \(F(0\,;\,p)\) et de directrice \(\Delta\,:\,y=-p\) : \[y = \frac{x^2}{4p}\] Sommet à l'origine, axe de symétrie = axe des ordonnées — le paramètre \(p\) contrôle "l'ouverture"

📐 Dérivation de l'équation de la parabole

Un point \(M(x\,;\,y)\) est sur la parabole si \(MF = d(M,\Delta)\).

\(MF = \sqrt{x^2+(y-p)^2}\)

\(d(M,\Delta) = |y-(-p)| = |y+p|\)

La condition \(MF = d(M,\Delta)\) donne, en élevant au carré :

\(x^2+(y-p)^2 = (y+p)^2\)

\(x^2+y^2-2py+p^2 = y^2+2py+p^2\)

\(x^2 = 4py \implies y = \frac{x^2}{4p} \quad \square\)

Propriété optique de la parabole : Tout rayon lumineux parallèle à l'axe est réfléchi vers le foyer. Réciproquement, tout rayon émis depuis le foyer ressort parallèle à l'axe après réflexion. C'est le principe des antennes paraboliques, des phares de voiture et des télescopes réflecteurs.

V. L'ellipse — définition et équation

L'ellipse est le lieu des points dont la somme des distances à deux foyers \(F_1\) et \(F_2\) est constante et égale à \(2a\).

Ellipse de foyers \(F_1(-c\,;\,0)\) et \(F_2(c\,;\,0)\), avec \(MF_1+MF_2 = 2a\) (\(a > c > 0\)) : \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad \text{où } b^2 = a^2-c^2\] Demi-grand axe \(a\) (horizontal), demi-petit axe \(b\) (vertical), distance foyer-centre \(c\)

Cas particulier : Si \(a = b\) (soit \(c = 0\)), l'ellipse devient un cercle de rayon \(a\). L'ellipse est donc une généralisation du cercle où les deux foyers sont distincts au lieu d'être confondus en un seul centre.

VI. Visualisation des lieux géométriques fondamentaux

Les quatre lieux fondamentaux : médiatrice, cercle de diamètre (Thalès), parabole foyer-directrice, et ellipse à deux foyers

VII. Exemples travaillés

Exemple 1 — Médiatrice de deux points

Trouver l'équation de la médiatrice de \([AB]\) avec \(A(1\,;\,4)\) et \(B(5\,;\,-2)\).

On pose \(MA^2=MB^2\) :

\((x-1)^2+(y-4)^2=(x-5)^2+(y+2)^2\)

\(x^2-2x+1+y^2-8y+16 = x^2-10x+25+y^2+4y+4\)

\(-2x-8y+17 = -10x+4y+29\)

\(8x-12y-12=0 \implies 2x-3y-3=0\)

Vérification : Milieu \(I=(3\,;\,1)\) : \(6-3-3=0\) ✓. Pente médiatrice : \(2/3\). Pente \(AB\) : \((-6)/4=-3/2\). Produit : \(\frac{2}{3}\times(-\frac{3}{2})=-1\) ✓

\(2x-3y-3=0\)

Exemple 2 — Lieu défini par un produit scalaire nul

Déterminer l'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) avec \(A(2\,;\,1)\) et \(B(-2\,;\,3)\).

\(\overrightarrow{MA}=\binom{2-x}{1-y}\) et \(\overrightarrow{MB}=\binom{-2-x}{3-y}\)

\((2-x)(-2-x)+(1-y)(3-y)=0\)

\(-(2-x)(2+x)+(1-y)(3-y)=0\)

\(-(4-x^2)+(3-4y+y^2)=0\)

\(x^2+y^2-4y-1=0\)

On complète le carré : \(x^2+(y-2)^2=5\).

C'est le cercle de centre \(\Omega(0\,;\,2)\) (milieu de AB) et de rayon \(\sqrt{5}=\frac{AB}{2}\) ✓

Cercle de diamètre \([AB]\) : \(x^2+(y-2)^2=5\)

Exemple 3 — Lieu à distance variable

Déterminer l'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) tels que \(MA^2+MB^2=k\) avec \(A(2\,;\,0)\), \(B(-2\,;\,0)\) et \(k=20\).

\(MA^2+MB^2=(x-2)^2+y^2+(x+2)^2+y^2\)

\(=2x^2+8+2y^2=20\)

\(x^2+y^2=6\)

C'est le cercle de centre \(O(0\,;\,0)\) et de rayon \(\sqrt{6}\).

Remarque : pour tout point \(I\) milieu de \([AB]\), \(MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}\) (identité de la médiane). Ici \(I=O\), \(AB=4\), donc \(2\,MI^2+8=20 \implies MI^2=6\) — même résultat.

Cercle de centre \(O\) et de rayon \(\sqrt{6}\)

Exemple 4 — Lieu avec un rapport de distances

Déterminer l'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) tels que \(\dfrac{MA}{MB}=2\) avec \(A(0\,;\,0)\) et \(B(3\,;\,0)\).

La condition \(MA=2\,MB\) donne \(MA^2=4\,MB^2\) :

\(x^2+y^2=4((x-3)^2+y^2)\)

\(x^2+y^2=4x^2-24x+36+4y^2\)

\(0=3x^2-24x+36+3y^2\)

\(x^2+y^2-8x+12=0\)

On complète le carré : \((x-4)^2+y^2=4\).

C'est le cercle d'Apollonius de centre \((4\,;\,0)\) et de rayon \(2\).

Cercle d'Apollonius : \((x-4)^2+y^2=4\)

VIII. Application concrète ⭐

⭐ Situation concrète Zone d'équité entre deux marchés de Ouagadougou

Dans un plan de Ouagadougou, le marché de Rood Woko est en \(A(0\,;\,0)\) et le marché de Pissy est en \(B(6\,;\,4)\) (coordonnées en km).

a) Trouver l'équation de la médiatrice des deux marchés. Cette médiatrice sépare la ville en deux zones, une pour chaque marché.
b) Le lycée Philippe Zinda Kaboré est en \(L(1\,;\,3)\). Est-il plus proche du marché de Rood Woko ou de Pissy ?
c) Trouver l'ensemble des points de la ville équidistants au sens pondéré : à distance double de Pissy par rapport à Rood Woko (\(MB=2\,MA\)). Nature et équation de ce lieu.
d) Une nouvelle infrastructure sera placée au point vérifiant \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\). Identifier le lieu de tous ces points et interpréter.

Exemple 5 — Zones de desserte à Ouagadougou

a) Médiatrice de \([AB]\) avec \(A(0,0)\), \(B(6,4)\) :

\(MA^2=MB^2 \implies x^2+y^2=(x-6)^2+(y-4)^2\)

\(x^2+y^2=x^2-12x+36+y^2-8y+16\)

\(12x+8y-52=0 \implies 3x+2y-13=0\)

b) Lycée \(L(1,3)\) :

\(LA=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\approx3{,}16\) km

\(LB=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\approx5{,}10\) km

Le lycée est plus proche de Rood Woko. Vérification : \(3(1)+2(3)-13=3+6-13=-4<0\) — du côté de Rood Woko.

c) Lieu \(MB=2\,MA\) :

\((x-6)^2+(y-4)^2=4(x^2+y^2)\)

\(x^2-12x+36+y^2-8y+16=4x^2+4y^2\)

\(3x^2+3y^2+12x+8y-52=0\)

\(x^2+y^2+4x+\frac{8}{3}y-\frac{52}{3}=0\)

\(\left(x+2\right)^2+\left(y+\frac{4}{3}\right)^2=4+\frac{16}{9}+\frac{52}{3}=\frac{36+16+156}{9}=\frac{208}{9}\)

C'est un cercle d'Apollonius de centre \(\left(-2\,;\,-\frac{4}{3}\right)\) et de rayon \(\frac{\sqrt{208}}{3}=\frac{4\sqrt{13}}{3}\approx4{,}8\) km.

d) Lieu \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) :

\((0-x)(6-x)+(0-y)(4-y)=0 \implies x(x-6)+y(y-4)=0\)

\(x^2+y^2-6x-4y=0 \implies (x-3)^2+(y-2)^2=13\)

Cercle de diamètre \([AB]\), centre \((3\,;\,2)\) (milieu de \(AB\)), rayon \(\sqrt{13}\approx3{,}6\) km. Ce sont tous les points d'où les deux marchés sont vus sous un angle droit.

Médiatrice : \(3x+2y-13=0\) | Lycée près de Rood Woko | Cercle d'Apollonius | Cercle de diamètre \([AB]\)

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Médiatrices et cercle circonscrit

Soient \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\) et \(C(2\,;\,6)\).

a) Écrire l'équation de la médiatrice de \([AB]\) et de la médiatrice de \([AC]\).
b) Trouver le point d'intersection des deux médiatrices — c'est le centre \(\Omega\) du cercle circonscrit.
c) Calculer le rayon et écrire l'équation du cercle circonscrit.

a) Médiatrice de \([AB]\) : \(MA^2=MB^2 \implies x^2+y^2=(x-4)^2+y^2 \implies 8x=16 \implies x=2\).
Médiatrice de \([AC]\) : \((x-2)^2+(y-6)^2=x^2+y^2 \implies -4x-12y+40=0 \implies x+3y=10\).

b) \(x=2\) et \(x+3y=10 \implies 2+3y=10 \implies y=\frac{8}{3}\). Centre \(\Omega\left(2\,;\,\frac{8}{3}\right)\).

c) \(r=\Omega A=\sqrt{4+\frac{64}{9}}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3}\). Cercle : \((x-2)^2+(y-\frac{8}{3})^2=\frac{100}{9}\).

Exercice 2 — Lieu avec contrainte vectorielle

Déterminer et décrire le lieu des points \(M(x\,;\,y)\) tels que :

a) \(MA^2-MB^2=8\) avec \(A(1\,;\,0)\) et \(B(-1\,;\,0)\)
b) \(2\,MA^2+MB^2=18\) avec \(A(3\,;\,0)\) et \(B(0\,;\,3)\)

a) \((x-1)^2+y^2-(x+1)^2-y^2=8 \implies -4x=8 \implies x=-2\). Droite \(x=-2\).

b) \(2((x-3)^2+y^2)+(x^2+(y-3)^2)=18\)
\(2x^2-12x+18+2y^2+x^2+y^2-6y+9=18\)
\(3x^2+3y^2-12x-6y+9=0 \implies x^2+y^2-4x-2y+3=0\)
\((x-2)^2+(y-1)^2=2\). Cercle de centre \((2\,;\,1)\) et de rayon \(\sqrt{2}\).

Exercice 3 — Parabole et antenne de Kaya

Une antenne parabolique à Kaya a un profil en coupe décrit par la parabole \(y = \dfrac{x^2}{12}\) (en mètres, sommet à l'origine).

a) Identifier le paramètre \(p\) et la position du foyer \(F\).
b) Calculer la distance focale (distance foyer-directrice).
c) Si l'antenne a un diamètre de 3 mètres (de \(x=-1{,}5\) à \(x=1{,}5\)), quelle est la profondeur de l'antenne ?
d) Vérifier qu'un point \(M(3\,;\,\frac{3}{4})\) est sur la parabole et calculer \(MF\).

a) \(y=\frac{x^2}{12}=\frac{x^2}{4p} \implies 4p=12 \implies p=3\). Foyer \(F(0\,;\,3)\).

b) Distance focale (foyer à directrice) = \(2p=6\) m.

c) À \(x=\pm1{,}5\) : \(y=\frac{2{,}25}{12}=\frac{3}{16}\approx0{,}19\) m. Profondeur ≈ 19 cm.

d) \(y=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\) ✓. \(MF=\sqrt{9+(\frac{3}{4}-3)^2}=\sqrt{9+\frac{81}{16}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}\).
Distance à la directrice \(y=-3\) : \(|\frac{3}{4}+3|=\frac{15}{4}\) = MF ✓ (propriété parabole).

Exercice 4 — Ellipse et piste ovale du FESPACO

La piste ovale d'un stade au FESPACO est modélisée par l'ellipse \(\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{36}=1\) (en mètres).

a) Identifier \(a\), \(b\) et calculer \(c\). Donner les coordonnées des foyers et des sommets.
b) Calculer \(MF_1+MF_2\) pour le point \(M(0\,;\,6)\) (sommet supérieur). Vérifier que c'est bien \(2a\).
c) Calculer le périmètre approximatif de la piste en utilisant la formule de Ramanujan : \(P \approx \pi\left[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\).

a) \(a=10\), \(b=6\), \(c=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\).
Foyers : \(F_1(-8\,;\,0)\) et \(F_2(8\,;\,0)\). Sommets : \((\pm10\,;\,0)\) et \((0\,;\,\pm6)\).

b) \(MF_1=\sqrt{64+36}=10\). \(MF_2=\sqrt{64+36}=10\). \(MF_1+MF_2=20=2a\) ✓

c) \(P\approx\pi[3(10+6)-\sqrt{(30+6)(10+18)}]=\pi[48-\sqrt{36\times28}]=\pi[48-\sqrt{1008}]\approx\pi[48-31{,}75]\approx\pi\times16{,}25\approx\mathbf{51{,}05}\) m.

Exercice 5 — Lieu complexe : canal d'irrigation à Bama ⭐

Dans la plaine de Bama, on veut tracer un canal d'irrigation équidistant de deux pompes \(P_1(0\,;\,0)\) et \(P_2(8\,;\,0)\) et à distance fixe de 5 km de chaque pompe simultanément (soit \(MP_1=MP_2=5\)).

a) Trouver les coordonnées des points satisfaisant les deux conditions \(MP_1=5\) et \(MP_2=5\) simultanément.
b) Ces points forment-ils une droite ou un ensemble discret ? Interpréter géométriquement.
c) Si le canal doit passer par tous les points à la même distance de \(P_1\) et \(P_2\) (sans contrainte sur la valeur), écrire l'équation du tracé.

a) \(MP_1=5\) : \(x^2+y^2=25\). \(MP_2=5\) : \((x-8)^2+y^2=25\).
Soustraire : \(x^2-(x-8)^2=0 \implies 16x-64=0 \implies x=4\).
Substituer dans \(x^2+y^2=25\) : \(16+y^2=25 \implies y^2=9 \implies y=\pm3\).
Points : \(\mathbf{(4\,;\,3)}\) et \(\mathbf{(4\,;\,-3)}\).

b) Deux points discrets — ce sont les deux points d'intersection des deux cercles de rayon 5 centrés en \(P_1\) et \(P_2\). Géométriquement, les cercles se coupent en exactement ces 2 points.

c) Sans contrainte de valeur : \(MP_1=MP_2\) — c'est la médiatrice de \([P_1P_2]\).
\(x^2+y^2=(x-8)^2+y^2 \implies 16x=64 \implies x=4\). Médiatrice : droite \(x=4\).

À retenir

Méthode : nommer \(M(x,y)\), traduire la propriété, développer, reconnaître la courbe.
Médiatrice de \([AB]\) : \(MA=MB \iff MA^2=MB^2\) → droite perpendiculaire à AB par son milieu.
Cercle de diamètre \([AB]\) : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) → Thalès.
Cercle d'Apollonius : \(MA/MB=k\) (constante \(\neq1\)) → cercle.
Parabole : \(MF=d(M,\Delta)\) → \(y=\frac{x^2}{4p}\) (foyer \(F(0,p)\), directrice \(y=-p\)).
Ellipse : \(MF_1+MF_2=2a\) → \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) avec \(b^2=a^2-c^2\).
Propriété optique parabole : tout rayon parallèle à l'axe converge au foyer — principe des antennes paraboliques.
Identité de la médiane : \(MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}\) où \(I\) est le milieu de \([AB]\).

🏆

Module VII — Terminé !

Tu as maîtrisé les 7 leçons de Géométrie Plane.

Repère, droites, cercles, produit scalaire, transformations et lieux — les fondements de la géométrie analytique.

L1 — Vecteurs du plan L2 — Repérage et coordonnées L3 — Droites dans le plan L4 — Cercle L5 — Produit scalaire L6 — Transformations du plan L7 — Lieux géométriques ✓

Supports Vidéo

← L6 : Transformations du plan Fin du Module VII — Retour au sommaire →