I. Pourquoi classer les nombres ?
Depuis l'école primaire, on compte avec des entiers. Mais au fil des besoins — partager une mangue, mesurer une distance, résoudre une équation — les mathématiciens ont dû élargir progressivement l'ensemble des nombres disponibles. Chaque extension a répondu à un problème concret.
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Nerveux explique : Au marché de Gounghin à Ouagadougou,
une vendeuse compte ses bénéfices en entiers (ℕ), note une dette avec un nombre négatif (ℤ),
divise un sac de riz en parts égales (ℚ), et mesure la diagonale de son étal avec √2 (ℝ).
Sans le savoir, elle utilise quatre ensembles de nombres différents dans la même journée !
II. Les cinq grands ensembles de nombres
ℕ
Entiers naturels
Les entiers positifs et zéro
Les entiers positifs et zéro
0, 1, 2, 3, 4, 100, 2025…
ℤ
Entiers relatifs
Entiers positifs ET négatifs
Entiers positifs ET négatifs
…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
𝔻
Nombres décimaux
Nombre qui peut s'écrire sous la forme a.10n (n entier naturel)
Nombre fini de décimales
Nombre qui peut s'écrire sous la forme a.10n (n entier naturel)
Nombre fini de décimales
0,5 ; −3,14 ; 2,75 ; 100,001…
ℚ
Nombres rationnels
Fractions p/q avec (p, q) ∈ ℤ et q ≠ 0
Fractions p/q avec (p, q) ∈ ℤ et q ≠ 0
1/3 = 0,333… ; 7/4 ; −5/2 ; 0…
ℝ
Nombres réels
Tous les points de la droite
Tous les points de la droite
√2 ; π ; e ; −√3 ; 0,1415…
III. Relations d'inclusion : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Ces ensembles s'emboîtent les uns dans les autres comme des calebasses de différentes tailles. Chaque ensemble contient tous les précédents.
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\]
Le symbole \(\subset\) se lit « est inclus dans ». Tout entier naturel est aussi un entier relatif, un rationnel et un réel.
IV. Symboles d'appartenance et d'inclusion
∈ (appartient à)
x ∈ E signifie que x est un élément de l'ensemble E.
Ex : 3 ∈ ℕ ; √2 ∈ ℝ ; −5 ∈ ℤ
x ∈ E signifie que x est un élément de l'ensemble E.
Ex : 3 ∈ ℕ ; √2 ∈ ℝ ; −5 ∈ ℤ
∉ (n'appartient pas à)
x ∉ E signifie que x n'est pas dans E.
Ex : √2 ∉ ℚ ; −3 ∉ ℕ ; 1/3 ∉ ℤ
x ∉ E signifie que x n'est pas dans E.
Ex : √2 ∉ ℚ ; −3 ∉ ℕ ; 1/3 ∉ ℤ
⊂ (est inclus dans)
A ⊂ B signifie que tout élément de A est aussi dans B.
Ex : ℕ ⊂ ℤ ; ℤ ⊂ ℚ
A ⊂ B signifie que tout élément de A est aussi dans B.
Ex : ℕ ⊂ ℤ ; ℤ ⊂ ℚ
* (privé de zéro)
L'étoile exclut 0 de l'ensemble.
Ex : ℝ* = ℝ \ {0} ; ℕ* = {1, 2, 3, …}
L'étoile exclut 0 de l'ensemble.
Ex : ℝ* = ℝ \ {0} ; ℕ* = {1, 2, 3, …}
V. Les nombres irrationnels — ℝ \ ℚ
Les nombres irrationnels sont les réels qui ne peuvent s'écrire sous aucune forme de fraction p/q. Leurs décimales sont infinies et sans aucune période régulière(écriture décimale infinie non périodique).
Exemples célèbres de nombres irrationnels :
√2 ≈ 1,41421356… | π ≈ 3,14159265… | e ≈ 2,71828182… | √3 ≈ 1,73205080…
Ces nombres existent bien sur la droite réelle, mais on ne peut jamais les écrire exactement en fraction.
√2 ≈ 1,41421356… | π ≈ 3,14159265… | e ≈ 2,71828182… | √3 ≈ 1,73205080…
Ces nombres existent bien sur la droite réelle, mais on ne peut jamais les écrire exactement en fraction.
VI. Stabilité des ensembles par opérations
Un ensemble est stable par une opération (addition,multiplication,etc.) lorsque le résultat de cette opération entre des éléments de l'ensemble appartient toujours au même ensemble. Autrement dit, si on effectue une opération sur des éléments d'un même ensemble, le résultat reste dans cet ensemble.
| Ensemble | Addition | Soustraction | Multiplication | Division | √ (racine) |
|---|---|---|---|---|---|
| ℕ | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ | ✗ |
| ℤ | ✓ | ✓ | ✓ | ✗ | ✗ |
| ℚ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✗ |
| ℝ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ (≥0) |
VII. Exemples détaillés
Exemple 1 — Classer des nombres
Pour chaque nombre, donner le plus petit ensemble auquel il appartient : 7 ; −4 ; 3/5 ; 0,25 ; √5 ; 0
7 = 7/1 ∈ ℕ (entier positif) → ℕ
−4 ∈ ℤ (entier négatif, pas dans ℕ) → ℤ
3/5 = 0,6 ∈ 𝔻 ∩ ℚ (fraction, décimale finie) → 𝔻
0,25 = 1/4 ∈ 𝔻 (décimale finie) → 𝔻
√5 ∉ ℚ (irrationnel) → ℝ \ ℚ
0 ∈ ℕ (convention : 0 est un entier naturel) → ℕ
Exemple 2 — Vrai ou faux ?
Dire si chaque assertion est vraie ou fausse, et justifier.
a) −7 ∈ ℕ → FAUX : ℕ ne contient que des entiers positifs ou nuls.
b) ℤ ⊂ ℝ → VRAI : tout entier relatif est un réel.
c) 1/2 ∈ ℤ → FAUX : 0,5 n'est pas un entier.
d) π ∈ ℚ → FAUX : π est irrationnel, il n'est pas un rationnel.
e) ℕ ⊂ ℚ → VRAI : tout entier naturel n peut s'écrire n/1.
Exemple 3 — Identifier la nature d'un résultat
Le résultat de chaque opération est-il dans ℕ, ℤ, ℚ ou ℝ \ ℚ ?
a) 5 − 8 = −3 → ℤ (entier négatif)
b) 7 ÷ 3 = 7/3 = 2,333… → ℚ (fraction, pas décimale)
c) √9 = 3 → ℕ (entier naturel !)
d) √7 ≈ 2,6457… → ℝ \ ℚ (irrationnel)
e) (1/2) × (4/3) = 4/6 = 2/3 → ℚ
Exemple 4 — Application concrète
Au marché de Ouahigouya, Aminata vend des pagnes.
Elle note : un stock de 12 pagnes (A), une dette de 3 500 FCFA (B),
un prix unitaire de 2 750,50 FCFA (C), et mesure une diagonale de √3 m (D).
Dans quel ensemble classer chaque valeur ?
A = 12 pagnes → nombre entier positif → ℕ
B = −3 500 FCFA (dette = négatif) → entier négatif → ℤ
C = 2 750,50 FCFA = 275050/100 → décimal → 𝔻 ⊂ ℚ
D = √3 ≈ 1,732… → irrationnel → ℝ \ ℚ
Dans la vie quotidienne, on utilise tous ces ensembles sans s'en rendre compte !
Exercices d'application
Exercice 1 — Appartenance et inclusion
Compléter avec ∈, ∉, ⊂ ou ⊄ :
- a) −5 _ ℤ
- b) 2/3 _ ℕ
- c) √4 _ ℕ
- d) ℚ _ ℝ
- e) ℕ _ ℤ
- f) π _ ℚ
a) −5 ∈ ℤ (entier relatif négatif) ✓
b) 2/3 ∉ ℕ (fraction non entière) ✓
c) √4 = 2 ∈ ℕ (√4 = 2, entier naturel) ✓
d) ℚ ⊂ ℝ (tout rationnel est réel) ✓
e) ℕ ⊂ ℤ (tout entier naturel est relatif) ✓
f) π ∉ ℚ (π est irrationnel) ✓
b) 2/3 ∉ ℕ (fraction non entière) ✓
c) √4 = 2 ∈ ℕ (√4 = 2, entier naturel) ✓
d) ℚ ⊂ ℝ (tout rationnel est réel) ✓
e) ℕ ⊂ ℤ (tout entier naturel est relatif) ✓
f) π ∉ ℚ (π est irrationnel) ✓
Exercice 2 — Plus petit ensemble
Pour chaque nombre, donner le plus petit ensemble (parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ\ℚ) auquel il appartient :
- a) 0
- b) −12
- c) 4/7
- d) 1,5
- e) √11
- f) 22/7 (attention : ce n'est pas π !)
a) 0 → ℕ (zéro est un entier naturel)
b) −12 → ℤ (entier négatif)
c) 4/7 = 0,571428571… → pas décimal, fraction → ℚ
d) 1,5 = 3/2, décimale finie → 𝔻
e) √11 ≈ 3,3166… → irrationnel → ℝ \ ℚ
f) 22/7 = 3,142857142857… → fraction, périodique → ℚ (et non ℝ\ℚ — c'est une approximation de π, pas π lui-même !)
b) −12 → ℤ (entier négatif)
c) 4/7 = 0,571428571… → pas décimal, fraction → ℚ
d) 1,5 = 3/2, décimale finie → 𝔻
e) √11 ≈ 3,3166… → irrationnel → ℝ \ ℚ
f) 22/7 = 3,142857142857… → fraction, périodique → ℚ (et non ℝ\ℚ — c'est une approximation de π, pas π lui-même !)
Exercice 3 — Vrai ou faux, avec justification
Dire si chaque assertion est vraie ou fausse :
- a) Tout entier naturel est un nombre rationnel.
- b) Il existe des réels qui ne sont pas rationnels.
- c) ℝ ⊂ ℚ
- d) La somme de deux irrationnels est toujours irrationnelle.
- e) 0 ∈ ℕ ∩ ℤ ∩ ℚ ∩ ℝ
- f) 1/3 ∈ 𝔻
a) VRAI — tout n ∈ ℕ peut s'écrire n/1 ∈ ℚ.
b) VRAI — par exemple π, √2, e sont réels mais pas rationnels.
c) FAUX — c'est l'inverse : ℚ ⊂ ℝ. Il y a des réels (irrationnels) qui ne sont pas dans ℚ.
d) FAUX — contre-exemple : (√2+1) + (1−√2) = 2 ∈ ℕ. La somme de deux irrationnels peut être rationnelle !
e) VRAI — 0 appartient à tous ces ensembles simultanément.
f) FAUX — 1/3 = 0,333… possède une écriture décimale infinie périodique. Un nombre décimal (𝔻) a une écriture décimale finie (par exemple 0,5 ou 2,75). Donc 1/3 n’appartient pas à 𝔻. En revanche, comme il peut s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers (1/3), c’est un nombre rationnel (ℚ).
b) VRAI — par exemple π, √2, e sont réels mais pas rationnels.
c) FAUX — c'est l'inverse : ℚ ⊂ ℝ. Il y a des réels (irrationnels) qui ne sont pas dans ℚ.
d) FAUX — contre-exemple : (√2+1) + (1−√2) = 2 ∈ ℕ. La somme de deux irrationnels peut être rationnelle !
e) VRAI — 0 appartient à tous ces ensembles simultanément.
f) FAUX — 1/3 = 0,333… possède une écriture décimale infinie périodique. Un nombre décimal (𝔻) a une écriture décimale finie (par exemple 0,5 ou 2,75). Donc 1/3 n’appartient pas à 𝔻. En revanche, comme il peut s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers (1/3), c’est un nombre rationnel (ℚ).
Exercice 4 — Problème concret ⭐
Un ingénieur agronome de l'INERA à Koudougou mesure les dimensions d'une parcelle expérimentale carrée d'aire 50 m².
- a) Calculer le côté \(c\) de cette parcelle.
- b) c ∈ ℕ ? c ∈ ℚ ? c ∈ ℝ ? Justifier.
- c) Peut-on exprimer c exactement en mètres avec un nombre fini de décimales ? Pourquoi ?
a) Aire = \(c^2 = 50 \Rightarrow c = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} =\) \(5\sqrt{2}\) m
b) \(c = 5\sqrt{2} \approx 7{,}071\ldots\)
\(c \notin \mathbb{N}\) (pas un entier)
\(c \notin \mathbb{Q}\) (\(\sqrt{2}\) est irrationnel, donc \(5\sqrt{2}\) aussi)
\(c \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) : c est un réel irrationnel ✓
c) Non — puisque c est irrationnel, ses décimales sont infinies et non périodiques. On ne peut qu'en donner une approximation (\(5\sqrt{2} \approx 7{,}071\) m). En pratique, l'ingénieur utilisera une valeur arrondie, mais la valeur exacte reste 5√2.
b) \(c = 5\sqrt{2} \approx 7{,}071\ldots\)
\(c \notin \mathbb{N}\) (pas un entier)
\(c \notin \mathbb{Q}\) (\(\sqrt{2}\) est irrationnel, donc \(5\sqrt{2}\) aussi)
\(c \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) : c est un réel irrationnel ✓
c) Non — puisque c est irrationnel, ses décimales sont infinies et non périodiques. On ne peut qu'en donner une approximation (\(5\sqrt{2} \approx 7{,}071\) m). En pratique, l'ingénieur utilisera une valeur arrondie, mais la valeur exacte reste 5√2.
Exercice 5 — Bonus ★★ : Racine carrée et nombres rationnels
Montrer que si n est un entier naturel, alors √n est un nombre rationnel si et seulement si n est un carré parfait.
Correction :
Nous devons démontrer deux implications.
1) Si √n est rationnel, alors n est un carré parfait. Supposons que √n soit un nombre rationnel. Par définition d’un nombre rationnel, il existe deux entiers p et q (avec q ≠ 0) tels que :
√n = p / q
On peut supposer que cette fraction est irréductible, c’est-à-dire que p et q n’ont aucun facteur commun.
Élevons maintenant les deux membres au carré :
(√n)² = (p/q)²
Donc :
n = p² / q²
Multiplions les deux membres par q² :
nq² = p²
Cela signifie que p² est divisible par q². Or si p² est divisible par q², alors p est divisible par q. Il existe donc un entier k tel que :
p = kq
Remplaçons p par kq dans l’égalité précédente :
nq² = (kq)²
nq² = k²q²
En divisant les deux membres par q², on obtient :
n = k²
Donc n est le carré d’un entier. Ainsi, n est un carré parfait.
2) Si n est un carré parfait, alors √n est rationnel. Supposons que n soit un carré parfait. Cela signifie qu’il existe un entier m tel que :
n = m²
Prenons la racine carrée :
√n = √(m²)
Or √(m²) = m.
Donc √n = m. Comme m est un entier, c’est aussi un nombre rationnel. Ainsi, √n est rationnel.
Conclusion : √n est rationnel si et seulement si n est un carré parfait.
Nous devons démontrer deux implications.
1) Si √n est rationnel, alors n est un carré parfait. Supposons que √n soit un nombre rationnel. Par définition d’un nombre rationnel, il existe deux entiers p et q (avec q ≠ 0) tels que :
√n = p / q
On peut supposer que cette fraction est irréductible, c’est-à-dire que p et q n’ont aucun facteur commun.
Élevons maintenant les deux membres au carré :
(√n)² = (p/q)²
Donc :
n = p² / q²
Multiplions les deux membres par q² :
nq² = p²
Cela signifie que p² est divisible par q². Or si p² est divisible par q², alors p est divisible par q. Il existe donc un entier k tel que :
p = kq
Remplaçons p par kq dans l’égalité précédente :
nq² = (kq)²
nq² = k²q²
En divisant les deux membres par q², on obtient :
n = k²
Donc n est le carré d’un entier. Ainsi, n est un carré parfait.
2) Si n est un carré parfait, alors √n est rationnel. Supposons que n soit un carré parfait. Cela signifie qu’il existe un entier m tel que :
n = m²
Prenons la racine carrée :
√n = √(m²)
Or √(m²) = m.
Donc √n = m. Comme m est un entier, c’est aussi un nombre rationnel. Ainsi, √n est rationnel.
Conclusion : √n est rationnel si et seulement si n est un carré parfait.
À retenir — Ensembles de nombres
- Les ensembles s\'emboîtent : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
- ℕ : entiers positifs et 0. ℤ : tous les entiers. ℚ : fractions p/q. ℝ : tous les points de la droite.
- Irrationnels = ℝ \ ℚ : décimales infinies non périodiques (√2, π, e…).
- ∈ : appartient à. ∉ : n'appartient pas. ⊂ : inclus dans. * : privé de 0.
- Toujours chercher le plus petit ensemble : classer d'abord dans ℕ, puis ℤ, puis 𝔻, puis ℚ, enfin ℝ\ℚ.
- \(\sqrt{n}\) est rationnel seulement si \(n\) est un carré parfait (\(\sqrt{4}=2\in\mathbb{N}\), \(\sqrt{9}=3\in\mathbb{N}\), etc.).