I. Définition et notation
La valeur absolue d'un réel x, notée |x|, représente sa distance par rapport à zéro sur la droite réelle. Elle efface le signe : le résultat est toujours positif ou nul.
.png)
Nerveux explique : Au Burkina Faso, quand on demande
« quelle est la distance entre Ouagadougou et Bobo-Dioulasso ? »,
la réponse est toujours positive : environ 360 km.
Peu importe si tu vas de Ouaga vers Bobo (+360) ou de Bobo vers Ouaga (−360),
la distance reste 360 km. C'est exactement ça, la valeur absolue :
la distance, sans le signe !
\[|x| = x \text{ si } x \geq 0 \qquad \text{et} \qquad |x| = -x \text{ si } x < 0\]
La valeur absolue est toujours \(\geq 0\). On a toujours \(|x| \geq 0\).
Cas x ≥ 0 (positif ou nul)
|x| = x
|7| = 7 |0| = 0 |3,14| = 3,14
Cas x < 0 (strictement négatif)
|x| = −x
On obtient donc un nombre positif.
|−5| = −(−5) = 5 |−√2| = √2
La valeur absolue sur la droite réelle
👉 Plus un nombre est loin de 0, plus sa valeur absolue est grande.
II. Valeur absolue et distance
La valeur absolue donne la distance entre deux nombres sur la droite réelle. C'est l'interprétation géométrique fondamentale.
\[d(a, b) = |b - a| = |a - b|\]
La distance entre les réels \(a\) et \(b\) est \(|b - a|\). Elle est toujours positive.
Cas particulier : |x − a| < r signifie que la distance de x à a est inférieure à r,
c'est-à-dire que x ∈ ]a − r; a + r[. C'est très utile pour résoudre des inéquations !
Interprétation géométrique :
|x − a| représente la distance entre x et a.
• |x − a| < r → x ∈ ]a − r ; a + r[
• |x − a| > r → extérieur de l’intervalle
Interprétation géométrique :
|x − a| représente la distance entre x et a.
• |x − a| < r signifie que x est proche de a → x ∈ ]a − r ; a + r[
• |x − a| > r signifie que x est loin de a → x est à l'extérieur de cet intervalle
|x − a| représente la distance entre x et a.
• |x − a| < r → x ∈ ]a − r ; a + r[
• |x − a| > r → extérieur de l’intervalle
|x − a| représente la distance entre x et a.
• |x − a| < r signifie que x est proche de a → x ∈ ]a − r ; a + r[
• |x − a| > r signifie que x est loin de a → x est à l'extérieur de cet intervalle
III. Propriétés fondamentales
Propriétés essentielles
Positivité
\(|x| \geq 0\) et \(|x| = 0 \iff x = 0\)
La valeur absolue ne peut jamais être négative.
Symétrie
\(|-x| = |x|\)
Un nombre et son opposé ont la même valeur absolue.
Produit
\(|a \times b| = |a| \times |b|\)
Ex : |−3 × 4| = |−3| × |4| = 3 × 4 = 12
Quotient
\(|a/b| = |a|/|b|\) \((b \neq 0)\)
Ex : |−6 / 2| = |−6| / |2| = 6/2 = 3
Propriétés avancées
Inégalité triangulaire
\(|a + b| \leq |a| + |b|\)
La valeur absolue d'une somme ≤ somme des valeurs absolues.
Lien avec la racine carrée
\(|x| = \sqrt{x^2}\)
Toujours vrai ! Cela montre que la valeur absolue représente une longueur.
Une longueur est toujours positive, comme une racine carrée.
Attention : √(x²) ≠ x en général (si x < 0).
Distance
\(|x - y|\)
Représente la distance entre \(x\) et \(y\).
C'est l'interprétation géométrique fondamentale.
Erreurs fréquentes à éviter :
❌ |−x| = −x → Faux (car une valeur absolue est toujours positive)
✔ |−x| = |x|
❌ √(x²) = x → Faux si x < 0
✔ √(x²) = |x|
❌ |a + b| = |a| + |b| → Faux en général
✔ |a + b| ≤ |a| + |b| (inégalité triangulaire)
❌ |−x| = −x → Faux (car une valeur absolue est toujours positive)
✔ |−x| = |x|
❌ √(x²) = x → Faux si x < 0
✔ √(x²) = |x|
❌ |a + b| = |a| + |b| → Faux en général
✔ |a + b| ≤ |a| + |b| (inégalité triangulaire)
IV. Équations et inéquations avec valeur absolue
Équations
\[|A| = k \quad (k \geq 0) \quad \iff \quad A = k \quad \text{ou} \quad A = -k\]
Si \(k < 0\) : aucune solution (\(|A| \geq 0\) toujours)
Inéquations
\(|A| < k\) \((k > 0)\)
\(\iff -k < A < k\) La solution est un intervalle ouvert \(]-k,\ k[\)
\(\iff -k < A < k\) La solution est un intervalle ouvert \(]-k,\ k[\)
\(|A| > k\) \((k > 0)\)
\(\iff A < -k\) ou \(A > k\) La solution est une réunion \(]-\infty,-k[ \cup ]k,+\infty[\)
\(\iff A < -k\) ou \(A > k\) La solution est une réunion \(]-\infty,-k[ \cup ]k,+\infty[\)
Méthode générale — lever la valeur absolue
1
Isoler la valeur absolue seule d'un côté de l'équation/inéquation.
2
Appliquer la formule correspondante (|A|=k, |A|<k ou |A|>k).
3
Résoudre chaque cas séparément et exprimer l'ensemble solution en intervalles.
V. Exemples détaillés
Exemple 1 — Calcul direct
Calculer : |−8| ; |5 − 9| ; |3 × (−4)| ; |−7| + |−2|
|−8| = 8 (opposé de −8)
|5 − 9| = |−4| = 4
|3 × (−4)| = |−12| = 12 ou |3| × |−4| = 3 × 4 = 12
|−7| + |−2| = 7 + 2 = 9
Résultats : 8 ; 4 ; 12 ; 9
Exemple 2 — Distance sur la droite réelle
Calculer la distance entre −3 et 5, puis entre 7 et 2.
d(−3, 5) = |5 − (−3)| = |5 + 3| = |8| = 8
d(7, 2) = |2 − 7| = |−5| = 5
Les distances sont toujours positives, quel que soit l'ordre des termes.
Exemple 3 — Équation |A| = k
Résoudre |2x − 3| = 7
|2x − 3| = 7 ⟺ 2x − 3 = 7 ou 2x − 3 = −7
Cas 1 : 2x − 3 = 7 → 2x = 10 → x = 5
Cas 2 : 2x − 3 = −7 → 2x = −4 → x = −2
S = {−2 ; 5}
Exemple 4 — Inéquation |A| < k
Résoudre |x + 1| < 4
|x + 1| < 4 ⟺ −4 < x + 1 < 4
On soustrait 1 dans tout l'encadrement :
−4 − 1 < x < 4 − 1 → −5 < x < 3
S = ]−5, 3[
Exemple 5 — Inéquation |A| > k
Résoudre |3x − 6| ≥ 9
|3x − 6| ≥ 9 ⟺ 3x − 6 ≤ −9 ou 3x − 6 ≥ 9
Cas 1 : 3x − 6 ≤ −9 → 3x ≤ −3 → x ≤ −1
Cas 2 : 3x − 6 ≥ 9 → 3x ≥ 15 → x ≥ 5
S = ]−∞, −1] ∪ [5, +∞[
Exemple 6 — Application concrète
La température à Dori (région du Sahel) en saison sèche oscille autour de 38°C.
Un thermomètre industriel est considéré fiable si sa mesure T vérifie |T − 38| ≤ 1,5.
Quelles sont les températures acceptables ?
On résout l'inéquation |T − 38| ≤ 1,5.
⟺ −1,5 ≤ T − 38 ≤ 1,5
⟺ 38 − 1,5 ≤ T ≤ 38 + 1,5
⟺ 36,5 ≤ T ≤ 39,5
Le thermomètre est fiable pour T ∈ [36,5 ; 39,5]°C.
VI. Représentation graphique interactive
Fais varier la valeur de x avec le curseur pour voir comment évolue |x|.
x = 0 → |x| = 0
Observation :
• La courbe de y = |x| a une forme en V
• Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
• Quand x est négatif → |x| devient positif
• Plus x s’éloigne de 0 → plus |x| augmente
👉 Cela montre que la valeur absolue représente une distance.
• La courbe de y = |x| a une forme en V
• Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
• Quand x est négatif → |x| devient positif
• Plus x s’éloigne de 0 → plus |x| augmente
👉 Cela montre que la valeur absolue représente une distance.
Exercices d'application
Exercice 1 — Calculs de valeurs absolues
Calculer :
- a) |−15|
- b) |4 − 10|
- c) |−3| × |−7|
- d) |−6| / |2|
- e) |√3 − 2| (sachant que √3 ≈ 1,73)
a) |−15| = 15
b) |4 − 10| = |−6| = 6
c) |−3| × |−7| = 3 × 7 = 21
d) |−6| / |2| = 6/2 = 3
e) √3 ≈ 1,73 < 2 → √3 − 2 < 0 → |√3 − 2| = −(√3 − 2) = 2 − √3
b) |4 − 10| = |−6| = 6
c) |−3| × |−7| = 3 × 7 = 21
d) |−6| / |2| = 6/2 = 3
e) √3 ≈ 1,73 < 2 → √3 − 2 < 0 → |√3 − 2| = −(√3 − 2) = 2 − √3
Exercice 2 — Distances
Calculer la distance entre chaque paire de réels :
- a) d(2, 9)
- b) d(−4, 3)
- c) d(−6, −1)
- d) Trouver tous les réels x tels que d(x, 5) = 3.
a) d(2, 9) = |9 − 2| = 7
b) d(−4, 3) = |3 − (−4)| = |7| = 7
c) d(−6, −1) = |−1 − (−6)| = |5| = 5
d) d(x, 5) = 3 ⟺ |x − 5| = 3 ⟺ x − 5 = 3 ou x − 5 = −3
⟺ x = 8 ou x = 2 → S = {2 ; 8}
b) d(−4, 3) = |3 − (−4)| = |7| = 7
c) d(−6, −1) = |−1 − (−6)| = |5| = 5
d) d(x, 5) = 3 ⟺ |x − 5| = 3 ⟺ x − 5 = 3 ou x − 5 = −3
⟺ x = 8 ou x = 2 → S = {2 ; 8}
Exercice 3 — Équations et inéquations
Résoudre dans ℝ :
- a) |x − 4| = 6
- b) |2x + 3| = 1
- c) |x − 2| < 5
- d) |4x − 8| ≥ 12
a) |x−4| = 6 ⟺ x−4 = 6 ou x−4 = −6 ⟺ x = 10 ou x = −2
b) |2x+3| = 1 ⟺ 2x+3 = 1 ou 2x+3 = −1
⟺ x = −1 ou x = −2 → S = {−2 ; −1}
c) |x−2| < 5 ⟺ −5 < x−2 < 5 ⟺ −3 < x < 7 → S = ]−3, 7[
d) |4x−8| ≥ 12 ⟺ 4x−8 ≤ −12 ou 4x−8 ≥ 12
⟺ 4x ≤ −4 ou 4x ≥ 20
⟺ x ≤ −1 ou x ≥ 5 → S = ]−∞, −1] ∪ [5, +∞[
b) |2x+3| = 1 ⟺ 2x+3 = 1 ou 2x+3 = −1
⟺ x = −1 ou x = −2 → S = {−2 ; −1}
c) |x−2| < 5 ⟺ −5 < x−2 < 5 ⟺ −3 < x < 7 → S = ]−3, 7[
d) |4x−8| ≥ 12 ⟺ 4x−8 ≤ −12 ou 4x−8 ≥ 12
⟺ 4x ≤ −4 ou 4x ≥ 20
⟺ x ≤ −1 ou x ≥ 5 → S = ]−∞, −1] ∪ [5, +∞[
Exercice 4 — Problème concret
Un fabricant de pagne faso Dafani (Gangapelga) à Kaya garantit que la largeur de ses rouleaux est de 150 cm, avec une tolérance de ±2 cm. Un contrôleur mesure la largeur L d'un rouleau et vérifie la condition |L − 150| ≤ 2.
- a) Résoudre l'inéquation |L − 150| ≤ 2 et donner l'intervalle de largeurs acceptables.
- b) Un rouleau mesurant 147 cm est-il conforme ?
- c) Quel est le rouleau le plus étroit possible encore conforme ?
a) |L − 150| ≤ 2 ⟺ −2 ≤ L − 150 ≤ 2 ⟺ 148 ≤ L ≤ 152
Largeurs acceptables : L ∈ [148, 152] cm
b) L = 147 cm : 147 < 148 → non conforme (trop étroit d'1 cm)
c) La largeur minimale acceptable est 148 cm.
Largeurs acceptables : L ∈ [148, 152] cm
b) L = 147 cm : 147 < 148 → non conforme (trop étroit d'1 cm)
c) La largeur minimale acceptable est 148 cm.
Exercice 5 — Interprétation
Résoudre dans ℝ : |x − 2| ≥ 3 et interpréter la solution sur une droite réelle.
|x − 2| ≥ 3 ⟺ x − 2 ≤ −3 ou x − 2 ≥ 3
⟺ x ≤ −1 ou x ≥ 5
S = ]−∞, −1] ∪ [5, +∞[
Interprétation : x est à une distance d'au moins 3 de 2.
⟺ x ≤ −1 ou x ≥ 5
S = ]−∞, −1] ∪ [5, +∞[
Interprétation : x est à une distance d'au moins 3 de 2.
À retenir — Valeur absolue
- \(|x| = x\) si \(x \geq 0\) ; \(|x| = -x\) si \(x < 0\). Toujours : \(|x| \geq 0\).
- Distance : \(d(a, b) = |b - a|\). Toujours positive.
- \(|a \times b| = |a| \times |b|\) ; |a/b| = |a|/|b| ; \(|a + b| \leq |a| + |b|\).
- \(|A| = k \iff A = k\) ou \(A = -k\) (pour \(k \geq 0\)).
- \(|A| < k \iff -k < A < k\) → intervalle ouvert.
- \(|A| > k \iff A < -k\) ou \(A > k\) → réunion de deux intervalles.
- \(|x - a| < r\) se lit : « \(x\) est à moins de \(r\) de \(a\) » → \(x \in ]a-r;\, a+r[\).