I. Développement — distribuer les facteurs
Développer une expression, c'est la transformer en une somme de termes sans parenthèses, en appliquant les règles de distributivité. C'est l'opération inverse de la factorisation.
Pourquoi ça marche ?
Développer repose sur une propriété fondamentale appelée distributivité : multiplier une somme revient à multiplier chaque terme séparément.
Concrètement, 3(x+4) signifie : 3 groupes de (x+4), donc 3x + 12.
Développer repose sur une propriété fondamentale appelée distributivité : multiplier une somme revient à multiplier chaque terme séparément.
Concrètement, 3(x+4) signifie : 3 groupes de (x+4), donc 3x + 12.
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Nerveux explique : Au marché de Pissy à Ouagadougou,
une vendeuse de dolo a 3 rangées de jarres, chaque rangée contenant (x + 4) jarres.
Elle peut compter 3 rangées de jarres de dolo ce qui corespond à : 3 (x + 4), ou ouvrir les parenthèses :
3x + 12. Les deux expressions donnent le même résultat —
c'est la distributivité !
Règles de distributivité
\[k(a+b) = ka+kb \qquad \text{et} \qquad k(a-b) = ka-kb\]
Distributivité simple : on multiplie \(k\) par chaque terme de la parenthèse.
\[(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\]
Double distributivité : chaque terme du 1er facteur multiplie chaque terme du 2ème.
Erreurs classiques à éviter !
❌ −(a + b) ≠ −a + b → −(a + b) = −a − b
❌ (a + b)² ≠ a² + b² → (a + b)² = a² + 2ab + b²
❌ 2(x + 3)² ≠ (2x + 6)² → d'abord développer (x+3)², puis multiplier par 2
❌ −(a + b) ≠ −a + b → −(a + b) = −a − b
❌ (a + b)² ≠ a² + b² → (a + b)² = a² + 2ab + b²
❌ 2(x + 3)² ≠ (2x + 6)² → d'abord développer (x+3)², puis multiplier par 2
Erreur fréquente :
(x+3)(x+4) ≠ x² + 7
→ il manque des termes !
Toujours appliquer la double distributivité : x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12.
(x+3)(x+4) ≠ x² + 7
→ il manque des termes !
Toujours appliquer la double distributivité : x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12.
Essaye
Développer : 5(x + 2)
5(x+2) = 5x + 10
II. Les trois identités remarquables
Les identités remarquables sont trois formules de développement si fréquentes qu'il faut les connaître par cœur. Elles servent aussi bien à développer qu'à factoriser, dans les deux sens.
1ère identité
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
Carré d'une somme.
Ex : \((x+3)^2 = x^2+6x+9\)
Ex : \((x+3)^2 = x^2+6x+9\)
2ème identité
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
Carré d'une différence.
Ex : \((x-5)^2 = x^2-10x+25\)
Ex : \((x-5)^2 = x^2-10x+25\)
3ème identité
\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
Produit somme-différence.
Ex : \((x+4)(x-4) = x^2-16\)
Ex : \((x+4)(x-4) = x^2-16\)
III. Factorisation
Factoriser une expression, c'est la transformer en un produit de facteurs. On passe d'une somme à un produit. Trois techniques principales :
Technique 1 — Mise en facteur commun
Principe : identifier un facteur présent dans chaque terme,
le sortir devant une parenthèse.
Ex : 6x² + 9x = 3x(2x + 3)
Ex : 6x² + 9x = 3x(2x + 3)
Technique 2 — Identités remarquables à l'envers
Principe : reconnaître la structure a²+2ab+b², a²−2ab+b² ou a²−b²
et appliquer la formule inverse.
Ex : x²−25 = x²−5² = (x+5)(x−5)
Ex : x²−25 = x²−5² = (x+5)(x−5)
Technique 3 — Facteur commun après groupement
Principe : regrouper les termes par paires pour faire apparaître
un facteur commun.
Ex : ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)
Ex : ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)
Méthode rapide pour factoriser
1
Facteur commun ?
Toujours vérifier en premier. Si oui → on factorise.
Toujours vérifier en premier. Si oui → on factorise.
2
2 termes ?
Tester une différence de carrés : a² − b².
Tester une différence de carrés : a² − b².
3
3 termes ?
Vérifier une identité remarquable : a² ± 2ab + b².
Vérifier une identité remarquable : a² ± 2ab + b².
4
Sinon :
essayer le regroupement de termes.
essayer le regroupement de termes.
IV. Quand développer ? Quand factoriser ?
On développe quand…
— on additionne ou soustrait des expressions
— on cherche à simplifier une somme
— on veut vérifier une égalité
— on résout A + B = 0 avec termes développés
— on cherche à simplifier une somme
— on veut vérifier une égalité
— on résout A + B = 0 avec termes développés
On factorise quand…
— on résout une équation A × B = 0
— on simplifie une fraction
— on étudie le signe d'une expression
— l'énoncé demande de « mettre en facteur »
— on simplifie une fraction
— on étudie le signe d'une expression
— l'énoncé demande de « mettre en facteur »
V. Exemples détaillés
Exemple 1 — Développements simples
Développer et réduire : A = 3(2x − 5) + 2(x + 4) et B = (x − 2)(x + 7)
A = 3(2x−5) + 2(x+4) = 6x − 15 + 2x + 8 = 8x − 7
B = (x−2)(x+7) = x² + 7x − 2x − 14 = x² + 5x − 14
A = 8x − 7 | B = x² + 5x − 14
Astuce :
Ne saute pas les étapes quand tu développes. Écris chaque multiplication pour éviter les erreurs.
Ne saute pas les étapes quand tu développes. Écris chaque multiplication pour éviter les erreurs.
Exemple 2 — Identités remarquables (développement)
Développer en utilisant les identités remarquables : (2x + 3)² ; (x − 4)² ; (3x + 2)(3x − 2)
(2x+3)² = (2x)² + 2×(2x)×3 + 3² = 4x² + 12x + 9 [1ère IR, a=2x, b=3]
(x−4)² = x² − 2×x×4 + 4² = x² − 8x + 16 [2ème IR, a=x, b=4]
(3x+2)(3x−2) = (3x)² − 2² = 9x² − 4 [3ème IR, a=3x, b=2]
Exemple 3 — Factorisation par facteur commun
Factoriser : A = 4x² − 6x et B = (2x+1)(x−3) + 5(2x+1)
A = 4x² − 6x : facteur commun = 2x → A = 2x(2x − 3)
B = (2x+1)(x−3) + 5(2x+1) : facteur commun = (2x+1)
B = (2x+1)[(x−3) + 5] = (2x+1)(x+2) → B = (2x+1)(x+2)
Exemple 4 — Factorisation par identités remarquables
Factoriser : C = x² − 9 ; D = 4x² − 12x + 9 ; E = 2x² − 50
C = x² − 9 = x² − 3² = (x+3)(x−3) [3ème IR]
D = 4x²−12x+9 = (2x)²−2×(2x)×3+3² = (2x−3)² [2ème IR, a=2x, b=3]
E = 2x²−50 = 2(x²−25) = 2(x+5)(x−5) → E = 2(x+5)(x−5) [facteur commun puis 3ème IR]
Exemple 5 — Résoudre une équation par factorisation
Résoudre x² − 7x + 10 = 0 en factorisant.
Chercher deux nombres dont la somme est −7 et le produit est 10 : −2 et −5.
x² − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5)
(x−2)(x−5) = 0 ⟺ x−2 = 0 ou x−5 = 0
⟺ x = 2 ou x = 5
S = {2 ; 5}
Exemple 6 — Application concrète
Un champ carré de côté x mètres à Manga (région du Centre-Sud) est agrandi :
on ajoute 4 m à la longueur et 3 m à la largeur.
Exprimer la nouvelle aire A(x) développée, puis calculer A(10)— c'est-à-dire pour la nouvelle aire si le champ était initialement de côté x=10 mètres.
Nouvelles dimensions : (x + 4) et (x + 3)
A(x) = (x+4)(x+3) = x² + 3x + 4x + 12 = x² + 7x + 12
A(10) = 100 + 70 + 12 = 182 m²
L'aire du champ agrandi est 182 m² pour x = 10 m.
Exemple 7 — Application concrète
Un commerçant vend (x + 2) articles à 300f chacun.
Exprimer la recette totale et développer.
Recette = 300(x + 2) = 300x + 600
La recette est 300x + 600 francs.
Exercices d'application
Exercice 1 — Développer et réduire
Développer et réduire chaque expression :
- a) 4(3x − 2) − 3(x + 5)
- b) (2x − 1)(x + 4)
- c) (x + 5)²
- d) (3x − 2)²
- e) (x + 6)(x − 6)
a) 4(3x−2)−3(x+5) = 12x−8−3x−15 = 9x − 23
b) (2x−1)(x+4) = 2x²+8x−x−4 = 2x² + 7x − 4
c) (x+5)² = x²+10x+25 → x² + 10x + 25
d) (3x−2)² = 9x²−12x+4 → 9x² − 12x + 4
e) (x+6)(x−6) = x²−36 → x² − 36
b) (2x−1)(x+4) = 2x²+8x−x−4 = 2x² + 7x − 4
c) (x+5)² = x²+10x+25 → x² + 10x + 25
d) (3x−2)² = 9x²−12x+4 → 9x² − 12x + 4
e) (x+6)(x−6) = x²−36 → x² − 36
Exercice 2 — Factoriser
Factoriser chaque expression :
- a) 6x³ + 9x²
- b) (x+2)(3x−1) − 4(x+2)
- c) x² − 49
- d) x² + 6x + 9
- e) 3x² − 75
a) 6x³+9x² = 3x²(2x+3) → 3x²(2x + 3)
b) (x+2)(3x−1)−4(x+2) = (x+2)[(3x−1)−4] = (x+2)(3x−5) → (x+2)(3x−5)
c) x²−49 = x²−7² = (x+7)(x−7)
d) x²+6x+9 = x²+2×x×3+3² = (x+3)²
e) 3x²−75 = 3(x²−25) = 3(x+5)(x−5) → 3(x+5)(x−5)
b) (x+2)(3x−1)−4(x+2) = (x+2)[(3x−1)−4] = (x+2)(3x−5) → (x+2)(3x−5)
c) x²−49 = x²−7² = (x+7)(x−7)
d) x²+6x+9 = x²+2×x×3+3² = (x+3)²
e) 3x²−75 = 3(x²−25) = 3(x+5)(x−5) → 3(x+5)(x−5)
Exercice 3 — Résoudre par factorisation
Résoudre dans ℝ en factorisant :
- a) x² − 16 = 0
- b) (2x − 3)(x + 1) = 0
- c) x² + 4x + 4 = 0
- d) 3x² − 3 = 0
a) x²−16 = (x+4)(x−4) = 0 → x = −4 ou x = 4
b) (2x−3)(x+1) = 0 ⟺ 2x−3 = 0 ou x+1 = 0
→ x = 3/2 ou x = −1
c) x²+4x+4 = (x+2)² = 0 → x = −2 (racine double)
d) 3x²−3 = 3(x²−1) = 3(x+1)(x−1) = 0 → x = −1 ou x = 1
b) (2x−3)(x+1) = 0 ⟺ 2x−3 = 0 ou x+1 = 0
→ x = 3/2 ou x = −1
c) x²+4x+4 = (x+2)² = 0 → x = −2 (racine double)
d) 3x²−3 = 3(x²−1) = 3(x+1)(x−1) = 0 → x = −1 ou x = 1
Exercice 4 — Problème géométrique ⭐
À Bobo-Dioulasso, un tisserand confectionne des nattes rectangulaires. La longueur d'une natte est (2x + 5) cm et sa largeur est (2x − 5) cm, avec x > 2,5.
- a) A l'aide d'une identité remarquable calculer l'aire A(x).
- b) Calculer A(10) et A(15).
- c) Pour quelle valeur de x la natte serait-elle carrée ?
- d) Résoudre A(x) = 75 pour trouver la valeur de x correspondante.
a) A(x) = (2x+5)(2x−5) = (2x)²−5² = 4x² − 25 [3ème IR]
b) A(10) = 4×100−25 = 400−25 = 375 cm²
A(15) = 4×225−25 = 900−25 = 875 cm²
c) Carré ⟺ longueur = largeur : 2x+5 = 2x−5 → 5 = −5 : impossible.
Un rectangle de cette forme ne peut jamais être carré.
d) 4x²−25 = 75 → 4x² = 100 → x² = 25 → x = 5 (on garde x > 2,5)
→ x = 5, ce qui donne une natte de 15 cm × 5 cm.
b) A(10) = 4×100−25 = 400−25 = 375 cm²
A(15) = 4×225−25 = 900−25 = 875 cm²
c) Carré ⟺ longueur = largeur : 2x+5 = 2x−5 → 5 = −5 : impossible.
Un rectangle de cette forme ne peut jamais être carré.
d) 4x²−25 = 75 → 4x² = 100 → x² = 25 → x = 5 (on garde x > 2,5)
→ x = 5, ce qui donne une natte de 15 cm × 5 cm.
À retenir — Calcul littéral
- Développer = passer d'un produit à une somme. Factoriser = passer d'une somme à un produit.
- 3 IR : \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) ; \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\) ; \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\).
- Pour factoriser : d'abord chercher un facteur commun, ensuite reconnaître une IR.
- Pour résoudre A × B = 0 : utiliser la règle du produit nul → A = 0 ou B = 0.
- Erreur fréquente : \((a+b)^2 \neq a^2+b^2\) — ne pas oublier le terme \(2ab\) !
- Pour simplifier une fraction algébrique, toujours factoriser numérateur et dénominateur.