I. Définition intuitive
Une fonction peut être comparée à une machine mathématique : on introduit une entrée, la machine applique une règle précise, et elle produit une sortie.
Une fonction est une règle qui associe à chaque entrée une seule et unique sortie. On note souvent l'entrée x, la sortie y et la fonction f.
Une fonction transforme chaque valeur d'entrée en exactement une valeur de sortie.
II. Notation formelle
En mathématiques, une fonction f définie de ℝ vers ℝ se note :
x ↦ f(x) On lit : « f envoie x sur f(x) »
Le vocabulaire essentiel à connaître :
| Symbole | Nom | Exemple avec \(f(x) = 2x + 1\) |
|---|---|---|
| x | Antécédent / variable | x = 3 |
| f(x) | Image de x par f | \(f(3) = 2 \times 3 + 1 =\) 7 |
| f | La fonction (la règle) | La règle : "doubler puis ajouter 1" |
• f(0) = 2×0 + 3 = 3
• f(4) = 2×4 + 3 = 11
• f(−2) = 2×(−2) + 3 = −1
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III. Exemples et contre-exemples
Il est important de distinguer ce qui est une fonction de ce qui n'en est pas une :
- \(f(x) = x^2\) — chaque \(x\) donne un seul résultat
- \(f(x) = 3x - 5\) — règle claire, une seule sortie
- \(f(x) = \sqrt{x}\) (pour \(x \geq 0\)) — une valeur positive uniquement
- \(x = y^2\) — une valeur de \(x\) donne deux valeurs de \(y\)
- Un cercle — la droite verticale coupe en 2 points
- Une relation qui n'est pas définie pour certains x
IV. Ce qui n'est PAS une fonction — le test de la droite verticale
Une règle simple pour savoir si une courbe représente une fonction : si une droite verticale coupe la courbe en plus d'un point, alors ce n'est pas une fonction.
Un cercle ne représente pas une fonction : une droite verticale y coupe le cercle en deux points distincts Y et Y₁.
Pour un cercle d'équation x² + y² = r², une valeur de x (non nulle) correspond à deux valeurs de y : y = +√(r²−x²) et y = −√(r²−x²). Ce n'est donc pas une fonction.
✏️ Exercices d'application
Soit \(f(x) = 3x - 2\). Calculer :
- f(0)
- f(5)
- f(−3)
• \(f(5) = 3\times 5 - 2 = 15 - 2 =\) 13
• \(f(-3) = 3\times(-3) - 2 = -9 - 2 =\) −11
Soit \(g(x) = x^2 + 1\).
- Calculer g(2) et g(−2). Que remarques-tu ?
- Trouver x tel que g(x) = 5.
Remarque : g(2) = g(−2). Les deux antécédents distincts donnent la même image — c'est possible pour une fonction !
• \(g(x) = 5 \Rightarrow x^2 + 1 = 5 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\) ou \(x = -2\).
Les antécédents de 5 par g sont 2 et −2.
Pour chaque relation, dire si c'est une fonction (oui/non) et justifier :
- a) Pour chaque élève, son numéro de matricule.
- b) Pour chaque personne, ses enfants.
- c) Pour chaque nombre positif x, y tel que y² = x.
b) Non — une personne peut avoir plusieurs enfants (plusieurs sorties pour une entrée).
c) Non — par exemple pour x = 4, y = 2 ou y = −2. Deux sorties possibles.
À retenir
- Une fonction associe à chaque entrée exactement une seule sortie.
- On note : \(f : x \mapsto f(x)\). L'entrée x s'appelle l'antécédent, la sortie f(x) s'appelle l'image.
- Pour vérifier qu'une courbe est une fonction : utiliser le test de la droite verticale.
- Un cercle n'est pas une fonction car une droite verticale peut le couper en deux points.
- Exemple clé : si \(f(x) = 2x + 3\), alors \(f(4) = 2\times 4 + 3 =\) 11.