I. Pourquoi des « fonctions de référence » ?
En mathématiques, certaines fonctions sont si fondamentales qu'elles servent de modèles pour comprendre toutes les autres. On les appelle les fonctions de référence. Connaître leur formule, leur courbe et leur comportement est indispensable pour toute la suite du programme.
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Nerveux explique : Pense à ces 4 fonctions comme les 4 « briques de base » des maths au lycée.
Toutes les fonctions complexes que tu verras plus tard sont construites à partir d'elles !
Apprends bien leurs courbes — tu les reconnaîtras partout.
f(x) = ax+b
Fonction affine
f(x) = x²
Fonction carrée
f(x) = 1/x
Fonction inverse
f(x) = √x
Fonction racine carrée
II. La fonction affine — f(x) = ax + b
f
Fonction affine
f(x) = ax + b — a et b sont des réels, a ≠ 0
\(f(x) = ax + b\)\(a\) = pente (coefficient directeur) | \(b\) = ordonnée à l\'origine
| Domaine de définition | ℝ (tous les réels) |
| Sens de variation | Croissante si a > 0, décroissante si a < 0 |
| Représentation graphique | Une droite |
| Cas particulier a=0 | f(x) = b → fonction constante |
Exemple : f(x) = 2x + 1
• f(0) = 1 (ordonnée à l'origine)
• f(3) = 7 • f(−2) = −3
• La droite monte de 2 unités pour chaque unité vers la droite.
• f(0) = 1 (ordonnée à l'origine)
• f(3) = 7 • f(−2) = −3
• La droite monte de 2 unités pour chaque unité vers la droite.
Comprendre la pente :
Si a > 0 → la droite monte de gauche à droite (fonction croissante).
Si a < 0 → la droite descend de gauche à droite (fonction décroissante).
Si a = 0 → droite horizontale (fonction constante).
La valeur de |a| indique « l'inclinaison » de la droite.
Si a > 0 → la droite monte de gauche à droite (fonction croissante).
Si a < 0 → la droite descend de gauche à droite (fonction décroissante).
Si a = 0 → droite horizontale (fonction constante).
La valeur de |a| indique « l'inclinaison » de la droite.
III. La fonction carré — f(x) = x²
x²
Fonction carré
f(x) = x² — définie sur ℝ, toujours positive
\(f(x) = x^2\)Le carré de tout réel est positif ou nul
| Domaine de définition | ℝ |
| Valeurs | f(x) ≥ 0 pour tout x |
| Minimum | f(0) = 0 (sommet de la parabole) |
| Parité | Paire : f(−x) = f(x) |
| Variation | Décroissante sur ]−∞, 0], croissante sur [0, +∞[ |
| Courbe | Parabole d'axe (Oy), ouverte vers le haut |
Propriété fondamentale :
f(−x) = (−x)² = x² = f(x) → fonction paire
La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (y).
f(−x) = (−x)² = x² = f(x) → fonction paire
La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (y).
IV. La fonction inverse — f(x) = 1/x
1/x
Fonction inverse
f(x) = 1/x — attention ! x ≠ 0
\(f(x) = \dfrac{1}{x}\)Non définie en \(x = 0\) — le domaine est \(\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
| Domaine de définition | ℝ* = ]−∞, 0[ ∪ ]0, +∞[ |
| Parité | Impaire : f(−x) = −f(x) |
| Variation sur ]0, +∞[ | Strictement décroissante |
| Variation sur ]−∞, 0[ | Strictement décroissante |
| Asymptotes | Axe (Ox) et axe (Oy) tous deux asymptotes |
| Courbe | Hyperbole — deux branches symétriques |
Exemple : f(x) = 1/x
• f(1) = 1 • f(2) = 0.5 • f(0.1) = 10
• f(−1) = −1 • f(−2) = −0.5
Plus x est grand (positif), plus f(x) s'approche de 0 par valeurs positives.
• f(1) = 1 • f(2) = 0.5 • f(0.1) = 10
• f(−1) = −1 • f(−2) = −0.5
Plus x est grand (positif), plus f(x) s'approche de 0 par valeurs positives.
⚠️ Piège fréquent : La fonction inverse n'est pas définie en x = 0. Si on te demande de calculer f(0) = 1/0, la réponse est : cette expression n'existe pas (division par zéro est impossible).
V. La fonction racine carrée — f(x) = √x
√x
Fonction racine carrée
f(x) = √x — uniquement pour x ≥ 0
\(f(x) = \sqrt{x}\)Définie uniquement pour \(x \geq 0\) — la racine carrée est toujours positive
| Domaine de définition | [0, +∞[ |
| Valeurs | f(x) ≥ 0 pour tout x ≥ 0 |
| Variation | Strictement croissante sur [0, +∞[ |
| En x = 0 | f(0) = 0 (point de départ) |
| Relation avec f(x)=x² | √x est la « réciproque » de x² sur [0, +∞[ |
| Courbe | Demi-parabole couchée |
Valeurs à connaître :
√0 = 0 • √1 = 1 • √4 = 2 • √9 = 3 • √16 = 4 • √25 = 5
√2 ≈ 1.41 • √3 ≈ 1.73
√0 = 0 • √1 = 1 • √4 = 2 • √9 = 3 • √16 = 4 • √25 = 5
√2 ≈ 1.41 • √3 ≈ 1.73
VI. Tableau comparatif — les 4 fonctions en un coup d'œil
| Fonction | Formule | Domaine | Courbe | Croissante sur… | Décroissante sur… |
|---|---|---|---|---|---|
| Affine | ax + b | ℝ | Droite | ]−∞,+∞[ si a>0 | ]−∞,+∞[ si a<0 |
| Carré | x² | ℝ | Parabole | [0, +∞[ | ]−∞, 0] |
| Inverse | 1/x | ℝ* | Hyperbole | Jamais | ]−∞,0[ et ]0,+∞[ |
| Racine carrée | √x | [0, +∞[ | ½ Parabole | [0, +∞[ | Jamais |
Nerveux explique :
🔵 Affine = droite | 🔴 Carré = parabole en U | 🟢 Inverse = hyperbole en 2 branches | 🟣 Racine = moitié de parabole couchée
Dessine-les sur une feuille, 5 fois chacune. Tu ne les oublieras plus jamais !
🔵 Affine = droite | 🔴 Carré = parabole en U | 🟢 Inverse = hyperbole en 2 branches | 🟣 Racine = moitié de parabole couchée
Dessine-les sur une feuille, 5 fois chacune. Tu ne les oublieras plus jamais !
Exploration interactive — Desmos
Compare x², √x, 1/x, |x| — les fonctions de référence
✏️ Exercices d'application
Exercice 1 — Calcul de valeurs
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer les valeurs demandées :
- f(x) = 3x − 4 : calculer f(0), f(2), f(−1)
- g(x) = x² : calculer g(3), g(−3), g(0)
- h(x) = 1/x : calculer h(2), h(−4), h(0.5)
- k(x) = √x : calculer k(0), k(9), k(25)
f(x) = 3x − 4 :
f(0) = −4 | f(2) = 2 | f(−1) = −7
g(x) = x² :
g(3) = 9 | g(−3) = 9 | g(0) = 0
h(x) = 1/x :
h(2) = 0.5 | h(−4) = −0.25 | h(0.5) = 2
k(x) = √x :
k(0) = 0 | k(9) = 3 | k(25) = 5
f(0) = −4 | f(2) = 2 | f(−1) = −7
g(x) = x² :
g(3) = 9 | g(−3) = 9 | g(0) = 0
h(x) = 1/x :
h(2) = 0.5 | h(−4) = −0.25 | h(0.5) = 2
k(x) = √x :
k(0) = 0 | k(9) = 3 | k(25) = 5
Exercice 2 — Domaine de définition
Pour chaque fonction, préciser le domaine de définition et justifier :
- a) f(x) = 5x + 2
- b) g(x) = x²
- c) h(x) = 1/x
- d) k(x) = √x
- e) m(x) = √(x − 3) (défi !)
a) f(x) = 5x + 2 : Df = ℝ (polynôme, défini partout)
b) g(x) = x² : Dg = ℝ (même raison)
c) h(x) = 1/x : Dh = ℝ* car 1/0 n'existe pas → x ≠ 0
d) k(x) = √x : Dk = [0, +∞[ car √(nombre négatif) n'existe pas dans ℝ
e) m(x) = √(x−3) : il faut x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3 → Dm = [3, +∞[
b) g(x) = x² : Dg = ℝ (même raison)
c) h(x) = 1/x : Dh = ℝ* car 1/0 n'existe pas → x ≠ 0
d) k(x) = √x : Dk = [0, +∞[ car √(nombre négatif) n'existe pas dans ℝ
e) m(x) = √(x−3) : il faut x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3 → Dm = [3, +∞[
Exercice 3 — Reconnaître la courbe
Sans calculer, associe chaque description à la bonne fonction de référence (affine, carré, inverse ou racine carrée) :
- a) La courbe est une droite qui passe par l'origine avec une pente positive.
- b) La courbe a deux branches qui s'approchent des axes sans les toucher.
- c) La courbe part de (0,0) et monte vers la droite, de plus en plus lentement.
- d) La courbe a un minimum en x = 0 et est symétrique par rapport à l'axe (Oy).
a) Fonction affine : f(x) = ax (avec b = 0), droite passant par l'origine.
b) Fonction inverse : f(x) = 1/x, hyperbole avec asymptotes (Ox) et (Oy).
c) Fonction racine carrée : f(x) = √x, croissante mais de plus en plus lentement.
d) Fonction carré : f(x) = x², parabole avec sommet en (0,0), paire (symétrique).
b) Fonction inverse : f(x) = 1/x, hyperbole avec asymptotes (Ox) et (Oy).
c) Fonction racine carrée : f(x) = √x, croissante mais de plus en plus lentement.
d) Fonction carré : f(x) = x², parabole avec sommet en (0,0), paire (symétrique).
Exercice 4 — Application concrète (contexte burkinabè)
Un marchand de mangues au marché de Ouagadougou vend des mangues à 500 FCFA le kilo.
- a) Exprime le prix total P en fonction du nombre de kilos x achetés.
- b) De quelle fonction de référence s'agit-il ?
- c) Calcule P(3), P(5) et P(10).
- d) Représente graphiquement cette fonction (esquisse).
a) P(x) = 500x (prix = 500 × nombre de kilos)
b) C'est une fonction affine avec a = 500 et b = 0 (elle passe par l'origine).
c) P(3) = 1 500 FCFA | P(5) = 2 500 FCFA | P(10) = 5 000 FCFA
d) Droite passant par (0, 0) et (1, 500) — pente positive, fonction croissante.
b) C'est une fonction affine avec a = 500 et b = 0 (elle passe par l'origine).
c) P(3) = 1 500 FCFA | P(5) = 2 500 FCFA | P(10) = 5 000 FCFA
d) Droite passant par (0, 0) et (1, 500) — pente positive, fonction croissante.
À retenir — Les 4 fonctions de référence
- Fonction affine f(x) = ax + b : droite, domaine ℝ. Croissante si a > 0, décroissante si a < 0.
- Fonction carré f(x) = x² : parabole, domaine ℝ, toujours ≥ 0. Minimum en 0. Fonction paire.
- Fonction inverse f(x) = 1/x : hyperbole, domaine ℝ* (x ≠ 0). Deux branches. Fonction impaire.
- Fonction racine carrée f(x) = √x : domaine [0, +∞[, toujours ≥ 0. Strictement croissante.
- Ces 4 fonctions sont les briques fondamentales à connaître pour toute étude de fonction au lycée.