I. Qu'est-ce que le domaine de définition ?
Lorsqu'on définit une fonction, la première question à se poser est : pour quelles valeurs de x la fonction a-t-elle un sens ? L'ensemble de toutes ces valeurs s'appelle le domaine de définition.
Df = { x ∈ ℝ | f(x) existe }
On note le domaine de définition Df. C'est l'ensemble des antécédents autorisés.
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Nerveux explique : Imagine que tu es cuisinier au marché de Bobo-Dioulasso.
Tu peux cuisiner avec de la viande, du riz, des légumes — mais pas avec du sable !
Le domaine de définition, c'est exactement la liste des ingrédients que ta fonction peut accepter.
Si on lui donne un ingrédient interdit, elle ne peut pas fonctionner.
II. Les trois cas qui restreignent le domaine
Pour une fonction définie sur ℝ, il existe trois situations qui peuvent empêcher f(x) d'exister pour certaines valeurs de x. Il faut les identifier et les exclure.
Cas 1 — Fraction
f(x) = A(x) / B(x)
Condition : B(x) ≠ 0
On ne peut jamais diviser par zéro.
On ne peut jamais diviser par zéro.
Cas 2 — Racine carrée
f(x) = √A(x)
Condition : A(x) ≥ 0
La racine d'un nombre négatif n'existe pas dans ℝ.
La racine d'un nombre négatif n'existe pas dans ℝ.
Cas 3 — Logarithme
f(x) = ln(A(x))
Condition : A(x) > 0
Le logarithme n'est défini que pour les réels strictement positifs.
Le logarithme n'est défini que pour les réels strictement positifs.
Cas 0 — Polynôme
f(x) = axⁿ + ...
Condition : Df = ℝ
Les polynômes sont définis pour tout réel.
Les polynômes sont définis pour tout réel.
III. Notation des intervalles
Le domaine de définition s'exprime toujours sous forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles. Voici les notations essentielles :
| Notation | Signification | Exemple |
|---|---|---|
| ℝ | Tous les réels | Df = ℝ pour f(x) = x² |
| [a, b] | Fermé : a ≤ x ≤ b (bornes incluses) | [0, 4] |
| ]a, b[ | Ouvert : a < x < b (bornes exclues) | ]−1, 3[ |
| [a, b[ | Semi-ouvert : a ≤ x < b | [0, 5[ |
| [a, +∞[ | x ≥ a (pas de borne à droite) | [0, +∞[ pour √x |
| ]−∞, a[ | x < a (pas de borne à gauche) | ]−∞, 0[ pour ln(−x) |
| A ∪ B | Réunion : x dans A ou dans B | ]−∞,0[ ∪ ]0,+∞[ pour 1/x |
Représentation sur la droite numérique
IV. Méthode — Comment calculer Df ?
1
Identifier le type de la fonction : polynôme, fraction, racine, logarithme, ou combinaison.
2
Écrire les conditions nécessaires : dénominateur ≠ 0, expression sous √ ≥ 0, expression dans ln > 0.
3
Résoudre chaque condition pour trouver les valeurs interdites ou autorisées.
4
Exprimer Df sous forme d'intervalle(s). Si plusieurs conditions, prendre l'intersection.
V. Exemples détaillés
Exemple 1 — Polynôme
Trouver Df pour \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\)
C'est un polynôme de degré 2 → aucune restriction.
On peut calculer f(x) pour tout réel x.
✅ Df = ℝ
Exemple 2 — Fraction (division)
Trouver Df pour \(f(x) = \dfrac{x+3}{x-2}\)
Il y a une division → le dénominateur ne peut pas être nul.
Condition : \(x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\)
On exclut x = 2 de ℝ.
✅ Df = ℝ \ {2} = ]−∞, 2[ ∪ ]2, +∞[
Exemple 3 — Racine carrée
Trouver Df pour \(f(x) = \sqrt{2x-4}\)
Il y a une racine carrée → l'expression sous √ doit être ≥ 0.
Condition : \(2x - 4 \geq 0 \Rightarrow 2x \geq 4 \Rightarrow x \geq 2\)
Toutes les valeurs x ≥ 2 sont autorisées.
✅ Df = [2, +∞[
Exemple 4 — Combinaison (fraction + racine) ⭐ Difficile
Trouver Df pour \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-3}\)
Il y a deux restrictions à vérifier simultanément.
Condition 1 (racine) : \(x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 \Rightarrow x \in [-1, +\infty[\)
Condition 2 (fraction) : \(x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\)
On prend l'intersection des deux : x ≥ −1 ET x ≠ 3.
✅ Df = [−1, 3[ ∪ ]3, +∞[
Exemple 5 — Application concrète (Burkina Faso)
La vitesse moyenne v d'un cycliste sur une distance de 60 km est donnée par v(t) = 60/t,
où t est le temps en heures. Quel est le domaine de définition de v ?
La distance est 60 km, t représente un temps → t doit être positif.
Condition mathématique : t ≠ 0 (division)
Condition physique : t > 0 (un temps ne peut pas être nul ou négatif)
✅ Dv = ]0, +∞[ (le contexte physique impose t > 0)
⚠️ Important : Dans les problèmes concrets (physique, économie, biologie…),
le domaine de définition peut être encore plus restreint par le contexte.
Une durée, une masse ou un nombre de personnes ne peuvent pas être négatifs — même si
la formule mathématique le permettrait.
Exploration interactive — Desmos
Trouve le domaine de définition en observant la courbe
✏️ Exercices d'application
Exercice 1 — Niveau de base
Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes :
- a) f(x) = 4x³ − 2x + 7
- b) g(x) = 1 / (x + 5)
- c) h(x) = √(3x − 6)
- d) k(x) = x² + √x
a) f(x) = 4x³ − 2x + 7 : polynôme → Df = ℝ
b) g(x) = 1/(x+5) : dénominateur x+5 ≠ 0 → x ≠ −5
→ Dg = ℝ \ {−5} = ]−∞, −5[ ∪ ]−5, +∞[
c) h(x) = √(3x−6) : condition 3x − 6 ≥ 0 → 3x ≥ 6 → x ≥ 2
→ Dh = [2, +∞[
d) k(x) = x² + √x : polynôme (pas de condition) + racine (x ≥ 0)
On prend l'intersection : x ∈ ℝ ET x ≥ 0
→ Dk = [0, +∞[
b) g(x) = 1/(x+5) : dénominateur x+5 ≠ 0 → x ≠ −5
→ Dg = ℝ \ {−5} = ]−∞, −5[ ∪ ]−5, +∞[
c) h(x) = √(3x−6) : condition 3x − 6 ≥ 0 → 3x ≥ 6 → x ≥ 2
→ Dh = [2, +∞[
d) k(x) = x² + √x : polynôme (pas de condition) + racine (x ≥ 0)
On prend l'intersection : x ∈ ℝ ET x ≥ 0
→ Dk = [0, +∞[
Exercice 2 — Niveau intermédiaire
Déterminer Df pour chaque fonction :
- a) f(x) = (2x − 1) / (x² − 4)
- b) g(x) = √(x² − 9)
- c) h(x) = 1 / √(x − 2)
a) f(x) = (2x−1)/(x²−4) : dénominateur x²−4 ≠ 0
x² − 4 = 0 → x² = 4 → x = 2 ou x = −2
→ Df = ℝ \ {−2 ; 2} = ]−∞,−2[ ∪ ]−2, 2[ ∪ ]2, +∞[
b) g(x) = √(x²−9) : condition x² − 9 ≥ 0 → x² ≥ 9 → |x| ≥ 3
Donc x ≤ −3 ou x ≥ 3
→ Dg = ]−∞, −3] ∪ [3, +∞[
c) h(x) = 1/√(x−2) : deux conditions :
• racine : x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2
• division par √(x−2) : √(x−2) ≠ 0 → x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2
Les deux ensemble : x > 2
→ Dh = ]2, +∞[
x² − 4 = 0 → x² = 4 → x = 2 ou x = −2
→ Df = ℝ \ {−2 ; 2} = ]−∞,−2[ ∪ ]−2, 2[ ∪ ]2, +∞[
b) g(x) = √(x²−9) : condition x² − 9 ≥ 0 → x² ≥ 9 → |x| ≥ 3
Donc x ≤ −3 ou x ≥ 3
→ Dg = ]−∞, −3] ∪ [3, +∞[
c) h(x) = 1/√(x−2) : deux conditions :
• racine : x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2
• division par √(x−2) : √(x−2) ≠ 0 → x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2
Les deux ensemble : x > 2
→ Dh = ]2, +∞[
Exercice 3 — Notation intervalle
Exprimer chaque ensemble en notation d'intervalle, puis représenter sur une droite numérique :
- a) { x ∈ ℝ | x > −3 }
- b) { x ∈ ℝ | −1 ≤ x < 4 }
- c) { x ∈ ℝ | x ≤ 0 ou x ≥ 5 }
- d) ℝ \ {−2, 7}
a) { x ∈ ℝ | x > −3 } = ]−3, +∞[ (crochet ouvert car > strict)
b) { x ∈ ℝ | −1 ≤ x < 4 } = [−1, 4[ (fermé en −1, ouvert en 4)
c) { x ∈ ℝ | x ≤ 0 ou x ≥ 5 } = ]−∞, 0] ∪ [5, +∞[
d) ℝ \ {−2, 7} = ]−∞, −2[ ∪ ]−2, 7[ ∪ ]7, +∞[
b) { x ∈ ℝ | −1 ≤ x < 4 } = [−1, 4[ (fermé en −1, ouvert en 4)
c) { x ∈ ℝ | x ≤ 0 ou x ≥ 5 } = ]−∞, 0] ∪ [5, +∞[
d) ℝ \ {−2, 7} = ]−∞, −2[ ∪ ]−2, 7[ ∪ ]7, +∞[
Exercice 4 — Problème ouvert ⭐
Une association à Ouagadougou distribue des vivres à N familles. Le coût moyen par famille est C(N) = (5000N + 20000) / (N² − N).
- a) Calculer DC mathématiquement.
- b) Factoriser le dénominateur.
- c) Dans ce contexte (N = nombre de familles), quel est le domaine réellement pertinent ?
a) Condition : N² − N ≠ 0
N(N − 1) ≠ 0 → N ≠ 0 et N ≠ 1
→ DC mathématique = ℝ \ {0 ; 1}
b) N² − N = N(N − 1)
c) N représente un nombre de familles → N doit être un entier positif, et au moins 2 (car N=0 et N=1 sont exclus).
→ Domaine pertinent : N ∈ {2, 3, 4, 5, …} (entiers ≥ 2)
N(N − 1) ≠ 0 → N ≠ 0 et N ≠ 1
→ DC mathématique = ℝ \ {0 ; 1}
b) N² − N = N(N − 1)
c) N représente un nombre de familles → N doit être un entier positif, et au moins 2 (car N=0 et N=1 sont exclus).
→ Domaine pertinent : N ∈ {2, 3, 4, 5, …} (entiers ≥ 2)
À retenir — Domaine de définition
- Le domaine de définition Df est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe.
- Fraction A/B : B(x) ≠ 0 — exclure les zéros du dénominateur.
- Racine √A : A(x) ≥ 0 — l'expression sous la racine doit être positive ou nulle.
- Logarithme ln(A) : A(x) > 0 — strictement positif.
- Polynôme : Df = ℝ, aucune restriction.
- Si plusieurs conditions, prendre l'intersection des ensembles solutions.
- Dans un problème concret, le contexte peut restreindre davantage le domaine.