I. Introduction — Symétrie d'une fonction
Certaines fonctions ont une propriété remarquable : leur courbe possède une symétrie particulière. Cette symétrie s'appelle la parité. Elle permet de réduire le travail d'étude d'une fonction de moitié !
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Nerveux explique : Pense à un masque traditionnel du Burkina Faso —
il est souvent parfaitement symétrique : ce que tu vois à gauche est le miroir
de ce que tu vois à droite. Une fonction paire, c'est exactement ça :
la courbe est le reflet d'elle-même par rapport à l'axe (Oy).
Une fonction impaire, elle, tourne sur elle-même comme un motif en rotation de 180°.
II. Définitions
Pour parler de parité, la fonction doit d'abord être définie sur un domaine symétrique par rapport à 0, c'est-à-dire : si x ∈ Df, alors −x ∈ Df.
✦ Fonction PAIRE
f(−x) = f(x) pour tout x ∈ Df
La valeur en −x est égale à la valeur en x.
🪞 Symétrie par rapport à l'axe (Oy)
✦ Fonction IMPAIRE
f(−x) = −f(x) pour tout x ∈ Df
La valeur en −x est l'opposée de la valeur en x.
🔄 Symétrie par rapport à l'origine O(0,0)
⚠️ Cas général : Si f(−x) ≠ f(x) et f(−x) ≠ −f(x),
alors la fonction n'est ni paire ni impaire. C'est le cas le plus fréquent !
III. Visualisation graphique
La parité se voit directement sur la courbe :
Fonction paire — f(x) = x²
Fonction impaire — f(x) = x³
À retenir visuellement :
• Fonction paire → courbe symétrique par rapport à l'axe vertical (Oy) — comme un miroir.
• Fonction impaire → courbe symétrique par rapport au point O(0, 0) — comme une rotation de 180°.
• Une fonction impaire vérifie toujours : f(0) = 0 (si 0 est dans le domaine).
• Fonction paire → courbe symétrique par rapport à l'axe vertical (Oy) — comme un miroir.
• Fonction impaire → courbe symétrique par rapport au point O(0, 0) — comme une rotation de 180°.
• Une fonction impaire vérifie toujours : f(0) = 0 (si 0 est dans le domaine).
IV. Méthode — Comment étudier la parité ?
1
Vérifier le domaine : Df doit être symétrique par rapport à 0. Si ce n'est pas le cas, la fonction n'est ni paire ni impaire.
2
Calculer f(−x) : remplacer partout x par (−x) dans l'expression de f(x).
3
Simplifier f(−x) et comparer avec f(x) et −f(x).
4
Conclure :
— Si f(−x) = f(x) → paire
— Si f(−x) = −f(x) → impaire
— Sinon → ni paire ni impaire
— Si f(−x) = f(x) → paire
— Si f(−x) = −f(x) → impaire
— Sinon → ni paire ni impaire
V. Exemples détaillés
Exemple 1 — Fonction paire
Étudier la parité de \(f(x) = x^4 - 3x^2 + 1\)
Df = ℝ, symétrique par rapport à 0 ✓
Calculons f(−x) :
\(f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1\)
\(f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1\)
\(= x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)\)
f(−x) = f(x) pour tout x ∈ ℝ
✅ f est paire — symétrie par rapport à (Oy)
Exemple 2 — Fonction impaire
Étudier la parité de \(g(x) = 3x^3 - 5x\)
Dg = ℝ, symétrique par rapport à 0 ✓
Calculons g(−x) :
\(g(-x) = 3(-x)^3 - 5(-x)\)
\(g(-x) = 3(-x)^3 - 5(-x)\)
\(= -3x^3 + 5x = -(3x^3 - 5x) = -g(x)\)
g(−x) = −g(x) pour tout x ∈ ℝ
✅ g est impaire — symétrie par rapport à O(0,0)
Exemple 3 — Ni paire ni impaire
Étudier la parité de \(h(x) = x^2 + 2x - 1\)
Dh = ℝ, symétrique par rapport à 0 ✓
Calculons h(−x) :
\(h(-x) = (-x)^2 + 2(-x) - 1 = x^2 - 2x - 1\)
\(h(-x) = (-x)^2 + 2(-x) - 1 = x^2 - 2x - 1\)
\(h(-x) = x^2 - 2x - 1 \neq h(x)\) (car \(-2x \neq +2x\))
\(h(-x) = x^2 - 2x - 1 \neq -h(x) = -x^2 - 2x + 1\)
⚪ h est ni paire ni impaire
Exemple 4 — Domaine non symétrique
Étudier la parité de \(k(x) = \sqrt{x}\)
Dk = [0, +∞[
Ce domaine n'est PAS symétrique par rapport à 0.
En effet, −1 ∉ Dk alors que 1 ∈ Dk.
En effet, −1 ∉ Dk alors que 1 ∈ Dk.
⚪ k n'est ni paire ni impaire — la question ne se pose même pas !
Parité des fonctions de référence
Exploration interactive — Desmos
Observe la symétrie des fonctions paires et impaires
✏️ Exercices d'application
Exercice 1 — Identification directe
Sans calculer, dire si chaque fonction est paire, impaire ou ni l'une ni l'autre, en observant son expression :
- a) f(x) = x⁶ + 4x² − 7
- b) g(x) = x⁵ − 3x
- c) h(x) = x³ + x² + 1
- d) k(x) = |x|
a) f(x) = x⁶ + 4x² − 7 : uniquement des puissances paires de x et une constante → Paire (f(−x) = x⁶ + 4x² − 7 = f(x))
b) g(x) = x⁵ − 3x : uniquement des puissances impaires de x → Impaire (g(−x) = −x⁵ + 3x = −g(x))
c) h(x) = x³ + x² + 1 : mélange de puissances paire (x²) et impaire (x³) → Ni paire ni impaire
d) k(x) = |x| : Dk = ℝ. k(−x) = |−x| = |x| = k(x) → Paire (la courbe est en V, symétrique par rapport à Oy)
b) g(x) = x⁵ − 3x : uniquement des puissances impaires de x → Impaire (g(−x) = −x⁵ + 3x = −g(x))
c) h(x) = x³ + x² + 1 : mélange de puissances paire (x²) et impaire (x³) → Ni paire ni impaire
d) k(x) = |x| : Dk = ℝ. k(−x) = |−x| = |x| = k(x) → Paire (la courbe est en V, symétrique par rapport à Oy)
Exercice 2 — Démonstration complète
Pour chaque fonction, suivre la méthode en 4 étapes et conclure :
- a) f(x) = (x³ − x) / (x² + 1)
- b) g(x) = x² − 5x + 3
- c) h(x) = x · |x|
a) f(x) = (x³ − x) / (x² + 1)
Df = ℝ (dénominateur toujours > 0), symétrique ✓
f(−x) = ((−x)³ − (−x)) / ((−x)² + 1) = (−x³ + x) / (x² + 1) = −(x³ − x)/(x² + 1) = −f(x)
→ f est impaire ✓
b) g(x) = x² − 5x + 3
Dg = ℝ, symétrique ✓
g(−x) = (−x)² − 5(−x) + 3 = x² + 5x + 3
g(−x) ≠ g(x) (car +5x ≠ −5x) g(−x) ≠ −g(x) = −x² + 5x − 3
→ g est ni paire ni impaire
c) h(x) = x · |x|
Dh = ℝ, symétrique ✓
h(−x) = (−x) · |−x| = (−x) · |x| = −(x · |x|) = −h(x)
→ h est impaire ✓
Df = ℝ (dénominateur toujours > 0), symétrique ✓
f(−x) = ((−x)³ − (−x)) / ((−x)² + 1) = (−x³ + x) / (x² + 1) = −(x³ − x)/(x² + 1) = −f(x)
→ f est impaire ✓
b) g(x) = x² − 5x + 3
Dg = ℝ, symétrique ✓
g(−x) = (−x)² − 5(−x) + 3 = x² + 5x + 3
g(−x) ≠ g(x) (car +5x ≠ −5x) g(−x) ≠ −g(x) = −x² + 5x − 3
→ g est ni paire ni impaire
c) h(x) = x · |x|
Dh = ℝ, symétrique ✓
h(−x) = (−x) · |−x| = (−x) · |x| = −(x · |x|) = −h(x)
→ h est impaire ✓
Exercice 3 — Utiliser la parité pour compléter un tableau
On sait que f est une fonction paire et que : f(1) = 3, f(2) = −1, f(3) = 0, f(4) = 5.
Compléter : f(−1) = ? f(−2) = ? f(−3) = ? f(−4) = ?
On sait que g est une fonction impaire et que : g(1) = 4, g(2) = −2, g(3) = 7.
Compléter : g(−1) = ? g(−2) = ? g(−3) = ? g(0) = ?
f paire → f(−x) = f(x) :
f(−1) = f(1) = 3
f(−2) = f(2) = −1
f(−3) = f(3) = 0
f(−4) = f(4) = 5
g impaire → g(−x) = −g(x) :
g(−1) = −g(1) = −4
g(−2) = −g(2) = 2
g(−3) = −g(3) = −7
g(0) = −g(0) → 2g(0) = 0 → g(0) = 0 (toujours vrai pour une fonction impaire !)
f(−1) = f(1) = 3
f(−2) = f(2) = −1
f(−3) = f(3) = 0
f(−4) = f(4) = 5
g impaire → g(−x) = −g(x) :
g(−1) = −g(1) = −4
g(−2) = −g(2) = 2
g(−3) = −g(3) = −7
g(0) = −g(0) → 2g(0) = 0 → g(0) = 0 (toujours vrai pour une fonction impaire !)
Exercice 4 — Raisonnement (Défi ⭐)
Soit f une fonction définie sur ℝ. On pose :
P(x) = [f(x) + f(−x)] / 2 et I(x) = [f(x) − f(−x)] / 2
- a) Montrer que P est paire.
- b) Montrer que I est impaire.
- c) Montrer que f(x) = P(x) + I(x).
- d) Que peut-on conclure sur toute fonction définie sur ℝ ?
a) P est paire :
P(−x) = [f(−x) + f(x)] / 2 = [f(x) + f(−x)] / 2 = P(x) ✓
b) I est impaire :
I(−x) = [f(−x) − f(x)] / 2 = −[f(x) − f(−x)] / 2 = −I(x) ✓
c) P(x) + I(x) :
P(x) + I(x) = [f(x) + f(−x)]/2 + [f(x) − f(−x)]/2 = 2f(x)/2 = f(x) ✓
d) Conclusion :
Toute fonction définie sur ℝ peut s'écrire comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. C'est un résultat fondamental en mathématiques !
P(−x) = [f(−x) + f(x)] / 2 = [f(x) + f(−x)] / 2 = P(x) ✓
b) I est impaire :
I(−x) = [f(−x) − f(x)] / 2 = −[f(x) − f(−x)] / 2 = −I(x) ✓
c) P(x) + I(x) :
P(x) + I(x) = [f(x) + f(−x)]/2 + [f(x) − f(−x)]/2 = 2f(x)/2 = f(x) ✓
d) Conclusion :
Toute fonction définie sur ℝ peut s'écrire comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. C'est un résultat fondamental en mathématiques !
À retenir — Parité
- La parité s'étudie uniquement si Df est symétrique par rapport à 0.
- Paire : f(−x) = f(x) → symétrie par rapport à l'axe (Oy).
- Impaire : f(−x) = −f(x) → symétrie par rapport à l'origine O. Et f(0) = 0.
- Méthode : calculer f(−x), simplifier, comparer avec f(x) et −f(x).
- Astuce : un polynôme avec seulement des puissances paires est paire. Avec seulement des puissances impaires, il est impaire.
- La parité permet de n'étudier la fonction que sur [0, +∞[ et de déduire le reste par symétrie.