I. Qu'est-ce que la continuité ?
Une fonction est continue en un point a si sa courbe ne présente aucune « rupture », aucun « saut » en ce point. On peut tracer la courbe sans lever le crayon.
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Nerveux explique : Imagine la route nationale RN1 entre Ouagadougou et Bobo-Dioulasso.
Une route continue, c'est une route sans coupure — tu roules sans interruption.
Une fonction discontinue, c'est comme si la route s'arrêtait brusquement
et recommençait ailleurs : ton véhicule ne peut pas sauter par-dessus !
f est continue en a ⟺ limx→a f(x) = f(a)
La limite existe, f(a) existe, et les deux sont égaux.
Cette définition contient en réalité trois conditions simultanées :
1
f(a) existe — a est bien dans le domaine de définition.
2
limx→a f(x) existe — la limite en a est finie (et les limites à gauche et à droite coïncident).
3
limx→a f(x) = f(a) — la limite est égale à la valeur de la fonction en a.
II. Fonctions continues et discontinues — illustrations
Continue en a
Discontinue en a (saut)
Résultat fondamental : Tout polynôme est continu sur ℝ.
Toute fraction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
Les fonctions √x, eˣ, ln(x) sont continues sur leur domaine.
III. Prolongement par continuité
Parfois, une fonction n'est pas définie en un point a, mais sa limite en a existe et est finie. On peut alors la prolonger par continuité en posant f(a) = limx→a f(x).
Exemple — Prolongement par continuité
f(x) = (x² − 1) / (x − 1) est-elle prolongeable par continuité en x = 1 ?
f(1) n'existe pas (division par 0). Mais calculons la limite :
\(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1}(x+1) = 2\)
La limite existe et vaut 2. On peut donc définir :
f̃(x) = f(x) si x ≠ 1, f̃(1) = 2
f̃ est le prolongement par continuité de f en x = 1.
IV. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
Le TVI est l'un des théorèmes les plus puissants et les plus utilisés en analyse. Il garantit l'existence d'une solution à une équation, sans forcément la calculer.
Théorème des Valeurs Intermédiaires
Si f est continue sur [a, b] et si k est un réel compris entre f(a) et f(b),
alors il existe au moins un réel c ∈ ]a, b[ tel que f(c) = k.
alors il existe au moins un réel c ∈ ]a, b[ tel que f(c) = k.
Illustration du TVI
Corollaire important : Si f est continue sur [a, b] et si f(a) et f(b)
sont de signes opposés (l'un positif, l'autre négatif),
alors il existe au moins un c ∈ ]a, b[ tel que f(c) = 0.
Ce corollaire permet de localiser des racines (solutions d'équations).
V. Méthode — Appliquer le TVI
1
Vérifier la continuité de f sur l'intervalle [a, b] considéré.
2
Calculer f(a) et f(b) et vérifier que k est bien encadré : f(a) ≤ k ≤ f(b) ou f(b) ≤ k ≤ f(a).
3
Conclure : il existe au moins un c ∈ ]a, b[ tel que f(c) = k.
4
Unicité : si f est strictement monotone sur [a, b], alors c est unique.
VI. Exemples détaillés
Exemple 1 — Vérifier la continuité en un point
Soit f définie par f(x) = x² − 3 si x ≤ 2, et f(x) = x − 1 si x > 2.
f est-elle continue en x = 2 ?
f est-elle continue en x = 2 ?
Calculons les deux limites latérales et la valeur en 2.
\(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = (2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2 - 1 = 1\)
f(2) = (2)² − 3 = 1
Les deux limites sont égales et égales à f(2) = 1.
f est continue en x = 2. ✓
Exemple 2 — Discontinuité
Soit g définie par g(x) = 2x si x < 1, et g(x) = x + 3 si x ≥ 1.
g est-elle continue en x = 1 ?
g est-elle continue en x = 1 ?
\(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} g(x) = 2(1) = 2\)
limx→1⁺ g(x) = 1 + 3 = 4
Les limites à gauche et à droite sont différentes (2 ≠ 4).
g est discontinue en x = 1 — il y a un saut de valeur 2. ✗
Exemple 3 — Application du TVI (existence d'une racine)
Montrer que l'équation x³ − 2x − 5 = 0 a au moins une solution dans ]2, 3[.
Posons f(x) = x³ − 2x − 5. C'est un polynôme, donc continu sur ℝ, en particulier sur [2, 3].
f(2) = 8 − 4 − 5 = −1 < 0
f(3) = 27 − 6 − 5 = 16 > 0
f(2) et f(3) sont de signes opposés, et 0 est entre −1 et 16.
Par le TVI, il existe au moins un c ∈ ]2, 3[ tel que f(c) = 0.
L'équation x³ − 2x − 5 = 0 a au moins une solution dans ]2, 3[. ✓
Exemple 4 — TVI avec unicité
Montrer que f(x) = x³ + x prend la valeur 6 sur [1, 2], et que c est unique.
f est un polynôme → continue sur [1, 2].
f(1) = 1 + 1 = 2 f(2) = 8 + 2 = 10
2 < 6 < 10, donc 6 est bien entre f(1) et f(2).
Par le TVI : ∃ c ∈ ]1, 2[ tel que f(c) = 6.
Unicité : f'(x) = 3x² + 1 > 0 pour tout x → f est strictement croissante → c est unique.
Il existe un unique c ∈ ]1, 2[ tel que f(c) = 6. ✓
Exemple 5 — Application concrète (Burkina Faso)
La température T(t) à Ouagadougou un jour de saison sèche suit
T(t) = −t² + 14t + 18 (°C), où t ∈ [0, 14] est l'heure depuis 6h du matin.
Montrer qu'il existe un moment où T = 45°C.
T est un polynôme → continu sur [0, 14].
T(0) = 18°C T(7) = −49 + 98 + 18 = 67°C
18 < 45 < 67, donc 45 est compris entre T(0) et T(7).
Par le TVI : ∃ t₀ ∈ ]0, 7[ tel que T(t₀) = 45°C.
Il existe bien un moment dans la matinée où la température atteint 45°C. ✓
Exploration interactive — Desmos
Explore la continuité et le Théorème des Valeurs Intermédiaires
Exercices d'application
Exercice 1 — Continuité en un point
Pour chaque fonction définie par morceaux, étudier la continuité au point indiqué :
- a) f(x) = 3x + 1 si x < 2, f(x) = x² − 1 si x ≥ 2 en x = 2
- b) g(x) = x² si x ≤ 0, g(x) = −x si x > 0 en x = 0
a) en x = 2 :
limx→2⁻ f(x) = 3(2)+1 = 7
limx→2⁺ f(x) = (2)²−1 = 3
7 ≠ 3 → f est discontinue en x = 2. (saut de valeur 4)
b) en x = 0 :
limx→0⁻ g(x) = (0)² = 0
limx→0⁺ g(x) = −0 = 0
g(0) = (0)² = 0
Toutes égales → g est continue en x = 0. ✓
limx→2⁻ f(x) = 3(2)+1 = 7
limx→2⁺ f(x) = (2)²−1 = 3
7 ≠ 3 → f est discontinue en x = 2. (saut de valeur 4)
b) en x = 0 :
limx→0⁻ g(x) = (0)² = 0
limx→0⁺ g(x) = −0 = 0
g(0) = (0)² = 0
Toutes égales → g est continue en x = 0. ✓
Exercice 2 — Prolongement par continuité
Soit f(x) = (x² − 9) / (x − 3), définie pour x ≠ 3.
- a) Calculer limx→3 f(x).
- b) Définir le prolongement par continuité f̃ de f en x = 3.
a) F.I. 0/0. Factoriser : x²−9 = (x−3)(x+3)
(x²−9)/(x−3) = x+3 pour x ≠ 3
limx→3 f(x) = 3+3 = 6
b) f̃(x) = (x²−9)/(x−3) si x ≠ 3, f̃(3) = 6
f̃ est continue en x = 3.
(x²−9)/(x−3) = x+3 pour x ≠ 3
limx→3 f(x) = 3+3 = 6
b) f̃(x) = (x²−9)/(x−3) si x ≠ 3, f̃(3) = 6
f̃ est continue en x = 3.
Exercice 3 — Appliquer le TVI
Montrer que chaque équation admet au moins une solution dans l'intervalle indiqué :
- a) x³ + x − 1 = 0 sur [0, 1]
- b) x⁴ − 5x + 2 = 0 sur [1, 2]
a) f(x) = x³ + x − 1, polynôme continu sur [0,1].
f(0) = 0 + 0 − 1 = −1 < 0
f(1) = 1 + 1 − 1 = 1 > 0
f(0) et f(1) de signes opposés → par le TVI, ∃ c ∈ ]0,1[ tel que f(c) = 0. ✓
b) g(x) = x⁴ − 5x + 2, polynôme continu sur [1,2].
g(1) = 1 − 5 + 2 = −2 < 0
g(2) = 16 − 10 + 2 = 8 > 0
g(1) et g(2) de signes opposés → par le TVI, ∃ c ∈ ]1,2[ tel que g(c) = 0. ✓
f(0) = 0 + 0 − 1 = −1 < 0
f(1) = 1 + 1 − 1 = 1 > 0
f(0) et f(1) de signes opposés → par le TVI, ∃ c ∈ ]0,1[ tel que f(c) = 0. ✓
b) g(x) = x⁴ − 5x + 2, polynôme continu sur [1,2].
g(1) = 1 − 5 + 2 = −2 < 0
g(2) = 16 − 10 + 2 = 8 > 0
g(1) et g(2) de signes opposés → par le TVI, ∃ c ∈ ]1,2[ tel que g(c) = 0. ✓
Exercice 4 — Défi ⭐ Déterminer k pour assurer la continuité
Soit f définie par f(x) = kx + 1 si x < 3, f(x) = x² − 2 si x ≥ 3.
Déterminer la valeur de k pour que f soit continue en x = 3.
Pour la continuité en x = 3 : limx→3⁻ f(x) = limx→3⁺ f(x) = f(3)
limx→3⁻ f(x) = k(3) + 1 = 3k + 1
f(3) = (3)² − 2 = 7
Condition : 3k + 1 = 7
3k = 6
k = 2
Vérification : f(x) = 2x+1 si x < 3 → limx→3⁻ = 7 = f(3) ✓
limx→3⁻ f(x) = k(3) + 1 = 3k + 1
f(3) = (3)² − 2 = 7
Condition : 3k + 1 = 7
3k = 6
k = 2
Vérification : f(x) = 2x+1 si x < 3 → limx→3⁻ = 7 = f(3) ✓
À retenir — Continuité et TVI
- f est continue en a si et seulement si limx→a f(x) = f(a).
- Tout polynôme, toute fraction rationnelle (sur son domaine), √x, eˣ, ln(x) sont continus sur leur domaine.
- Pour une fonction définie par morceaux, vérifier que les limites à gauche et à droite coïncident avec la valeur en ce point.
- Prolongement par continuité : si limx→a f(x) = L, on pose f(a) = L.
- TVI : f continue sur [a,b], k entre f(a) et f(b) → ∃ c ∈ ]a,b[ avec f(c) = k.
- Corollaire : f(a) et f(b) de signes opposés → ∃ racine dans ]a,b[.
- Si f est de plus strictement monotone, la solution c est unique.