I. Intuition — Le taux de variation
Avant de définir la dérivée, partons d'une idée simple : à quelle vitesse une fonction change-t-elle ? Entre deux points, on mesure cela par le taux de variation moyen.
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Nerveux explique : Un taxi-moto à Ouagadougou fait 12 km en 20 minutes.
Sa vitesse moyenne est 12/20 = 0,6 km/min. Mais à chaque instant, il accélère,
ralentit, s'arrête aux feux... La dérivée, c'est sa vitesse
exacte à un instant précis — pas la moyenne sur le trajet, mais
l'aiguille du compteur à ce moment-là.
Taux de variation de f entre a et a+h = [f(a+h) − f(a)] / h
C'est la pente de la droite sécante passant par les points (a, f(a)) et (a+h, f(a+h))
De la sécante à la tangente : h → 0
II. Définition de la dérivée
La dérivée de f en a est la limite du taux de variation quand h tend vers 0. C'est la pente de la tangente à la courbe au point (a, f(a)).
f'(a) = limh→0 [f(a+h) − f(a)] / h
On dit que f est dérivable en a si cette limite existe et est finie.
La fonction f' (lire « f prime ») est la fonction qui à chaque x associe f'(x) : c'est la fonction dérivée de f. Elle donne la pente de la tangente en chaque point de la courbe.
Notations équivalentes : f'(x) = df/dx = ẏ
(selon les disciplines et les auteurs). En terminale au Burkina, on utilise surtout f'(x).
III. Dérivées des fonctions usuelles
Ces formules sont fondamentales et doivent être connues par cœur :
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| c (constante) | 0 | ℝ |
| x | 1 | ℝ |
| xⁿ (n ∈ ℤ, n≥1) | n·xⁿ⁻¹ | ℝ (ou ℝ* si n < 0) |
| √x | 1 / (2√x) | ]0, +∞[ |
| 1/x | −1/x² | ℝ* |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| ln(x) | 1/x | ]0, +∞[ |
| sin(x) | cos(x) | ℝ |
| cos(x) | −sin(x) | ℝ |
IV. Règles de calcul des dérivées
Linéarité
(αf + βg)' = αf' + βg'
Ex : (3x² + 5x)' = 6x + 5
Produit
(f·g)' = f'·g + f·g'
Ex : (x²·eˣ)' = 2x·eˣ + x²·eˣ
Quotient
(f/g)' = (f'·g − f·g') / g²
Ex : (x/sin x)' = (sin x − x·cos x) / sin²x
Composée (Chaîne)
(f∘g)' = g' · (f'∘g)
Ex : (sin(3x))' = 3·cos(3x)
Cas particuliers importants de la règle de la chaîne
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| [u(x)]ⁿ | n·u'(x)·[u(x)]ⁿ⁻¹ |
| √u(x) | u'(x) / (2√u(x)) |
| eᵘ⁽ˣ⁾ | u'(x)·eᵘ⁽ˣ⁾ |
| ln(u(x)) | u'(x) / u(x) |
V. Équation de la tangente
La dérivée f'(a) est la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. L'équation de cette tangente est :
y = f'(a) · (x − a) + f(a)
Tangente à la courbe de f au point A(a, f(a))
VI. Exemples détaillés
Exemple 1 — Dérivée d'un polynôme
Calculer f'(x) pour f(x) = 4x³ − 3x² + 7x − 2
On dérive terme par terme (règle de linéarité) :
(4x³)' = 4 × 3x² = 12x²
(−3x²)' = −3 × 2x = −6x
(7x)' = 7 (−2)' = 0
f'(x) = 12x² − 6x + 7
Exemple 2 — Règle du produit
Calculer f'(x) pour f(x) = x² · eˣ
f = u·v avec u = x², v = eˣ
u' = 2x v' = eˣ
(u·v)' = u'v + uv' = 2x·eˣ + x²·eˣ
= eˣ(2x + x²) = eˣ · x(x + 2)
f'(x) = x(x+2)eˣ
Exemple 3 — Règle du quotient
Calculer f'(x) pour f(x) = (2x + 1) / (x − 3)
f = u/v avec u = 2x+1, v = x−3
u' = 2 v' = 1
(u/v)' = (u'v − uv') / v²
= (2(x−3) − (2x+1)·1) / (x−3)²
= (2x − 6 − 2x − 1) / (x−3)² = −7 / (x−3)²
f'(x) = −7 / (x−3)²
Exemple 4 — Règle de la chaîne (composée)
Calculer f'(x) pour f(x) = √(3x² + 1)
f = √u avec u = 3x² + 1
u' = 6x
(√u)' = u' / (2√u)
= 6x / (2√(3x²+1)) = 3x / √(3x²+1)
f'(x) = 3x / √(3x²+1)
Exemple 5 — Équation de la tangente
Donner l'équation de la tangente à f(x) = x² − x + 2 au point d'abscisse a = 1.
f'(x) = 2x − 1
Pente en a = 1 : f'(1) = 2(1) − 1 = 1
Point de tangence : f(1) = 1 − 1 + 2 = 2 → point A(1, 2)
Équation : y = f'(1)(x − 1) + f(1) = 1·(x−1) + 2
Tangente : y = x + 1
Exemple 6 — Application concrète (Burkina Faso)
La production de mil (en tonnes) d'un groupement agricole de la région du Sahel
est modélisée par P(t) = −t³ + 6t² + 4 (t en années depuis 2020, 0 ≤ t ≤ 5).
À quelle vitesse la production évolue-t-elle en t = 2 ?
La production est-elle en hausse ou en baisse à ce moment ?
P'(t) représente le taux d'évolution instantané de la production.
P'(t) = −3t² + 12t
P'(2) = −3(4) + 12(2) = −12 + 24 = +12 tonnes/an
P'(2) = +12 > 0 → la production augmente à ce moment.
En 2022 (t = 2), la production augmente au rythme de 12 tonnes par an.
Exercices d'application
Exercice 1 — Dérivées immédiates
Calculer la dérivée de chaque fonction :
- a) f(x) = 5x⁴ − 2x³ + x − 8
- b) g(x) = 3√x + 2/x
- c) h(x) = 4eˣ − ln(x)
- d) k(x) = 2sin(x) − 5cos(x)
a) f'(x) = 20x³ − 6x² + 1
b) g(x) = 3x^(1/2) + 2x^(−1)
g'(x) = 3 · (1/2)x^(−1/2) + 2·(−1)x^(−2) = 3/(2√x) − 2/x²
c) h'(x) = 4eˣ − 1/x
d) k'(x) = 2cos(x) + 5sin(x)
b) g(x) = 3x^(1/2) + 2x^(−1)
g'(x) = 3 · (1/2)x^(−1/2) + 2·(−1)x^(−2) = 3/(2√x) − 2/x²
c) h'(x) = 4eˣ − 1/x
d) k'(x) = 2cos(x) + 5sin(x)
Exercice 2 — Règles produit et quotient
Calculer f'(x) :
- a) f(x) = (x² + 1)(3x − 2)
- b) f(x) = x · ln(x)
- c) f(x) = (x − 1) / (x + 2)
- d) f(x) = eˣ / x²
a) u = x²+1, v = 3x−2 ; u' = 2x, v' = 3
f'(x) = 2x(3x−2) + (x²+1)·3 = 6x² − 4x + 3x² + 3 = 9x² − 4x + 3
b) u = x, v = ln(x) ; u' = 1, v' = 1/x
f'(x) = 1·ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1 = ln(x) + 1
c) u = x−1, v = x+2 ; u' = 1, v' = 1
f'(x) = (1·(x+2) − (x−1)·1) / (x+2)² = (x+2−x+1)/(x+2)² = 3/(x+2)²
d) u = eˣ, v = x² ; u' = eˣ, v' = 2x
f'(x) = (eˣ·x² − eˣ·2x) / x⁴ = eˣ(x²−2x)/x⁴ = eˣ(x−2)/x³
f'(x) = 2x(3x−2) + (x²+1)·3 = 6x² − 4x + 3x² + 3 = 9x² − 4x + 3
b) u = x, v = ln(x) ; u' = 1, v' = 1/x
f'(x) = 1·ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1 = ln(x) + 1
c) u = x−1, v = x+2 ; u' = 1, v' = 1
f'(x) = (1·(x+2) − (x−1)·1) / (x+2)² = (x+2−x+1)/(x+2)² = 3/(x+2)²
d) u = eˣ, v = x² ; u' = eˣ, v' = 2x
f'(x) = (eˣ·x² − eˣ·2x) / x⁴ = eˣ(x²−2x)/x⁴ = eˣ(x−2)/x³
Exercice 3 — Règle de la chaîne
Calculer f'(x) :
- a) f(x) = (2x + 3)⁵
- b) f(x) = e^(x²−1)
- c) f(x) = ln(x² + 4)
- d) f(x) = √(1 − x²)
a) u = 2x+3, u' = 2 ; f'(x) = 5·(2x+3)⁴·2 = 10(2x+3)⁴
b) u = x²−1, u' = 2x ; f'(x) = 2x·e^(x²−1)
c) u = x²+4, u' = 2x ; f'(x) = 2x/(x²+4)
d) u = 1−x², u' = −2x ; f'(x) = −2x / (2√(1−x²)) = −x / √(1−x²)
b) u = x²−1, u' = 2x ; f'(x) = 2x·e^(x²−1)
c) u = x²+4, u' = 2x ; f'(x) = 2x/(x²+4)
d) u = 1−x², u' = −2x ; f'(x) = −2x / (2√(1−x²)) = −x / √(1−x²)
Exercice 4 — Tangente et application (Burkina Faso) ⭐
Le chiffre d'affaires (en millions de FCFA) d'une boutique de tissus à Koudougou est modélisé par C(t) = t³ − 6t² + 9t + 2, où t ∈ [0, 5] est le nombre d'années depuis son ouverture.
- a) Calculer C'(t).
- b) Calculer C'(1) et C'(3). Interpréter chaque résultat.
- c) Donner l'équation de la tangente à la courbe en t = 1.
a) C'(t) = 3t² − 12t + 9
b) C'(1) = 3 − 12 + 9 = 0
Le chiffre d'affaires est momentanément stable en t = 1 (ni en hausse ni en baisse).
C'(3) = 27 − 36 + 9 = 0
Même situation en t = 3 : un autre point de stabilité.
(Ces deux points sont des extrema — on les étudiera dans la leçon suivante !)
c) Pente en t = 1 : C'(1) = 0
Point de tangence : C(1) = 1 − 6 + 9 + 2 = 6
Équation : y = 0·(t−1) + 6 → y = 6
La tangente est horizontale en t = 1 : le CA stagne à 6 millions de FCFA.
b) C'(1) = 3 − 12 + 9 = 0
Le chiffre d'affaires est momentanément stable en t = 1 (ni en hausse ni en baisse).
C'(3) = 27 − 36 + 9 = 0
Même situation en t = 3 : un autre point de stabilité.
(Ces deux points sont des extrema — on les étudiera dans la leçon suivante !)
c) Pente en t = 1 : C'(1) = 0
Point de tangence : C(1) = 1 − 6 + 9 + 2 = 6
Équation : y = 0·(t−1) + 6 → y = 6
La tangente est horizontale en t = 1 : le CA stagne à 6 millions de FCFA.
À retenir — La dérivée
- f'(a) = limh→0 [f(a+h) − f(a)] / h : pente de la tangente en a.
- Dérivées clés : (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ ; (√x)' = 1/(2√x) ; (eˣ)' = eˣ ; (ln x)' = 1/x.
- Somme : (f+g)' = f' + g' | Produit : (fg)' = f'g + fg'
- Quotient : (f/g)' = (f'g − fg') / g² | Chaîne : (f∘g)' = g'·(f'∘g)
- Équation de la tangente en a : y = f'(a)(x−a) + f(a)
- f'(a) > 0 : f croissante en a | f'(a) < 0 : f décroissante en a | f'(a) = 0 : extremum possible.