I. Définition et vocabulaire
Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Ces valeurs s'appellent les solutions et leur ensemble est noté \(S\).
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II. Règles de transformation
Deux équations sont équivalentes (\(\iff\)) si elles ont exactement les mêmes solutions. On peut transformer une équation sans changer ses solutions en appliquant ces règles :
III. Méthode de résolution
Voici la méthode complète à suivre dans l'ordre pour résoudre toute équation du premier degré :
- Développer toutes les parenthèses (distributivité).
- Regrouper les termes en \(x\) d'un côté, les constantes de l'autre.
- Réduire chaque membre en additionnant les termes semblables.
- Diviser les deux membres par le coefficient de \(x\).
- Vérifier la solution en la remplaçant dans l'équation initiale.
IV. Exemples travaillés
\(3x - 3x = -5 - 2\)
\(0 = -7\) → Impossible !
Les \(x\) s'annulent, l'égalité restante est fausse.
\(S = \emptyset\)
\(4x + 4 = 4x + 4\)
\(0 = 0\) → Toujours vrai !
Tout réel convient.
\(S = \mathbb{R}\)
V. Interprétation graphique
Résoudre \(ax + b = 0\) revient à trouver le zéro de la fonction \(f(x) = ax + b\), c'est-à-dire l'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses. Résoudre \(ax + b = cx + d\) revient à trouver l'intersection de deux droites.
La solution de \(2x - 2 = -x + 1\) est l'abscisse du point d'intersection → \(x = 1\)
VI. Application concrète — Situation réelle ⭐
Un producteur de coton de la région des Hauts-Bassins vend sa récolte à la SOFITEX au prix de 250 FCFA par kilogramme. Il avait déjà perçu une avance de 37 500 FCFA. Le solde restant à recevoir est de 212 500 FCFA. Quelle est la masse totale de coton vendu ?
Mise en équation :
Soit \(x\) la masse en kg. Le total reçu est \(250x\). Le solde = total − avance : \[250x - 37\,500 = 212\,500\]
Résous cette équation et écris une phrase-réponse complète.
\(250x = 212\,500 + 37\,500 = 250\,000\)
\(x = \dfrac{250\,000}{250} = 1\,000\)
Le producteur a vendu 1 000 kg de coton.
Vérification : \(250 \times 1000 - 37\,500 = 250\,000 - 37\,500 = 212\,500\) ✓
✏️ Exercices d'entraînement
Résoudre les équations suivantes :
- a) \(5x - 3 = 17\)
- b) \(-2x + 8 = 0\)
- c) \(x + 4 = 2x - 1\)
b) \(-2x = -8 \implies x = 4\). \(S = \{4\}\)
c) \(x - 2x = -1 - 4 \implies -x = -5 \implies x = 5\). \(S = \{5\}\)
Résoudre \(3(2x + 1) = 4x + 11\).
\(2x = 8 \implies x = 4\). \(S = \{4\}\)
Résoudre \(\dfrac{2x+1}{3} - \dfrac{x-2}{4} = 3\).
\(4(2x+1) - 3(x-2) = 36\)
\(8x + 4 - 3x + 6 = 36\)
\(5x + 10 = 36 \implies 5x = 26 \implies x = \dfrac{26}{5}\)
\(S = \left\{\dfrac{26}{5}\right\}\)
Un lycéen de Bobo-Dioulasso achète \(n\) stylos à 150 FCFA pièce et \((n+3)\) cahiers à 200 FCFA pièce. Il dépense au total 2 350 FCFA. Trouver \(n\) et indiquer exactement ce qu'il a acheté.
\(150n + 200n + 600 = 2350\)
\(350n = 1750 \implies n = 5\)
Il achète 5 stylos et \(5 + 3 =\) 8 cahiers.
Vérification : \(150 \times 5 + 200 \times 8 = 750 + 1600 = 2350\) ✓
À retenir
- Forme générale : \(ax + b = 0\) avec \(a \neq 0\) — une seule solution : \(x = -b/a\).
- Règles : on peut +, −, ×, ÷ les deux membres par le même nombre (jamais par 0).
- Méthode : développer → regrouper → réduire → diviser → vérifier.
- Si les \(x\) disparaissent et l'égalité est fausse : \(S = \emptyset\).
- Si les \(x\) disparaissent et l'égalité est vraie : \(S = \mathbb{R}\).
- Graphiquement : la solution est l'abscisse du point d'intersection de deux droites.
- Toujours vérifier la solution dans l'équation de départ !