Leçon 2 — Équations du second degré

Le discriminant, les racines et la factorisation — comprendre pourquoi avant d'appliquer

I. Définition et forme générale

Une équation du second degré (ou équation quadratique) à une inconnue réelle \(x\) est toute équation qui peut s'écrire sous la forme :

\(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a \neq 0\), \(b\), \(c\) des réels — \(a\) est le coefficient dominant

La condition \(a \neq 0\) est absolument indispensable : si \(a = 0\), le terme en \(x^2\) disparaît et l'équation redevient du premier degré. Ce qui caractérise le second degré, c'est précisément la présence d'un terme en \(x^2\) avec un coefficient non nul.

🔍 Pourquoi "second degré" ?

Le degré d'une équation polynomiale est la plus grande puissance de l'inconnue qui apparaît. Dans \(ax^2 + bx + c = 0\), la puissance maximale est 2, d'où le nom "second degré". Une équation du second degré peut avoir 0, 1 ou 2 solutions réelles — c'est très différent du premier degré qui en a toujours exactement une (sauf cas dégénérés). C'est le discriminant \(\Delta\) qui tranche entre ces trois cas.

\(a\)→Coeff. de \(x^2\) (≠0)

\(b\)→Coeff. de \(x\)

\(c\)→Terme constant

Racine→Solution de l'équation

Nerveux explique : Tu connais les chapeaux de Saponé ? Ces chapeaux en paille tressée ont une forme légèrement courbée — ni plate, ni pointue. Cette courbe, c'est une parabole. Et une parabole, c'est exactement le graphe de \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Résoudre \(ax^2 + bx + c = 0\), c'est trouver à quelle(s) hauteur(s) la courbe du chapeau touche le sol. Selon la forme du chapeau, elle peut toucher le sol en deux points, un seul, ou jamais. C'est le discriminant qui te dit lequel des trois cas tu as.

II. Le discriminant \(\Delta\) — le cœur de la méthode

Le discriminant est un nombre calculé à partir de \(a\), \(b\) et \(c\) qui détermine à lui seul le nombre de solutions réelles de l'équation. C'est l'outil central de toute résolution d'équation du second degré.

\(\Delta = b^2 - 4ac\) Le discriminant — toujours calculer en premier avant tout le reste

🔍 D'où vient la formule \(\Delta = b^2 - 4ac\) ?

On part de \(ax^2 + bx + c = 0\) et on effectue la technique de complétion du carré. On divise d'abord par \(a\) (possible car \(a \neq 0\)) : \[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\] On ajoute et soustrait \(\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\) pour créer un carré parfait : \[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0\] Ce qui donne : \[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = \frac{\Delta}{4a^2}\] Pour que cette équation ait des solutions réelles, il faut que le membre de droite soit positif ou nul, c'est-à-dire \(\Delta \geq 0\). C'est pourquoi le signe de \(\Delta\) gouverne tout.

Signe de \(\Delta\)	Nombre de solutions	Formules des solutions	Interprétation graphique
\(\Delta > 0\)	2 racines réelles distinctes	\(x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) \(x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)	La parabole coupe l'axe des \(x\) en 2 points
\(\Delta = 0\)	1 racine double	\(x_0 = \dfrac{-b}{2a}\)	La parabole est tangente à l'axe des \(x\)
\(\Delta < 0\)	Aucune racine réelle	Pas de solution dans \(\mathbb{R}\)	La parabole ne coupe pas l'axe des \(x\)

Formule à retenir absolument : \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) (uniquement si \(\Delta \geq 0\)).
Le signe ± signifie qu'on calcule d'abord \(\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) puis \(\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\).

III. Somme et produit des racines — relations de Viète

Quand l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\) admet deux racines \(x_1\) et \(x_2\) (cas \(\Delta \geq 0\)), ces racines vérifient des relations remarquables appelées relations de Viète. Ces relations permettent souvent de vérifier ses calculs ou de trouver les racines sans calculer \(\Delta\).

➕ Somme des racines

La somme \(x_1 + x_2\) vaut toujours :

\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\)

C'est l'opposé du coefficient de \(x\) divisé par le coefficient de \(x^2\).

✖️ Produit des racines

Le produit \(x_1 \times x_2\) vaut toujours :

\(x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}\)

C'est le terme constant divisé par le coefficient de \(x^2\).

🔍 Pourquoi ces relations fonctionnent-elles ?

Si \(x_1\) et \(x_2\) sont racines de \(ax^2+bx+c=0\), on peut factoriser : \[ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)\] En développant le membre de droite : \[a(x-x_1)(x-x_2) = a\bigl[x^2 - (x_1+x_2)x + x_1 x_2\bigr] = ax^2 - a(x_1+x_2)x + ax_1 x_2\] En identifiant terme à terme avec \(ax^2 + bx + c\) :

Coefficient de \(x\) : \(-a(x_1+x_2) = b\) → \(x_1+x_2 = -b/a\)
Terme constant : \(ax_1 x_2 = c\) → \(x_1 x_2 = c/a\)

IV. Factorisation et forme canonique

Une équation du second degré peut s'écrire de trois manières différentes, chacune utile selon le contexte :

Forme	Expression	Utile pour…
Développée	\(ax^2 + bx + c\)	Calculer \(\Delta\), identifier \(a\), \(b\), \(c\)
Canonique	\(a\!\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^{\!2} - \dfrac{\Delta}{4a}\)	Trouver le sommet de la parabole, étudier le signe
Factorisée	\(a(x - x_1)(x - x_2)\)	Résoudre des inéquations, simplifier des fractions

Sommet de la parabole : Le sommet \(S\) a pour abscisse \(x_S = -\dfrac{b}{2a}\) et pour ordonnée \(y_S = -\dfrac{\Delta}{4a}\). C'est le point le plus bas (si \(a > 0\)) ou le plus haut (si \(a < 0\)) de la courbe.

V. Représentation graphique — les trois cas

La courbe représentative de \(f(x) = ax^2 + bx + c\) est toujours une parabole. Son orientation dépend du signe de \(a\) et l'intersection avec l'axe des abscisses dépend du signe de \(\Delta\).

Les trois cas selon le signe de \(\Delta\) — la parabole est orientée vers le haut (\(a > 0\)) dans cet exemple

VI. Méthode complète de résolution

Mettre sous forme standard \(ax^2+bx+c=0\) : développer, réduire, tout passer d'un côté.
Identifier \(a\), \(b\), \(c\) : lire soigneusement les coefficients, ne pas oublier les signes.
Calculer \(\Delta = b^2 - 4ac\) : c'est l'étape la plus importante — ne pas se tromper ici.
Analyser le signe de \(\Delta\) et appliquer la formule correspondante.
Vérifier chaque racine en la remplaçant dans l'équation de départ.
Écrire la conclusion : ensemble-solution \(S\) sous forme lisible.

VII. Exemples travaillés

Deux racines — Résoudre \(2x^2 - 5x + 2 = 0\)

Identifier\(a = 2,\quad b = -5,\quad c = 2\)

Δ \(\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9\)

Analyse\(\Delta = 9 > 0\) → deux racines distinctes. \(\sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3\)

Racines \(x_1 = \dfrac{5 - 3}{2 \times 2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\) et \(x_2 = \dfrac{5 + 3}{4} = \dfrac{8}{4} = 2\)

Viète Vérif. : \(x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} = -\frac{b}{a}\) ✓ \(x_1 x_2 = \frac{1}{2} \times 2 = 1 = \frac{c}{a}\) ✓

✓ Résultat\(S = \left\{\dfrac{1}{2}\,;\,2\right\}\)

Racine double — Résoudre \(x^2 - 6x + 9 = 0\)

Identifier\(a = 1,\quad b = -6,\quad c = 9\)

Δ \(\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0\)

Analyse\(\Delta = 0\) → une racine double.

Racine \(x_0 = \dfrac{-(-6)}{2 \times 1} = \dfrac{6}{2} = 3\)

Remarque \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\) — c'est un carré parfait !

✓ Résultat\(S = \{3\}\) (racine double)

Aucune racine — Résoudre \(x^2 + x + 1 = 0\)

Identifier\(a = 1,\quad b = 1,\quad c = 1\)

Δ \(\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3\)

Analyse\(\Delta = -3 < 0\) → aucune solution réelle.

✓ Résultat\(S = \emptyset\)

Mise en forme d'abord — Résoudre \(3x^2 = 5x - 1\)

Mise en forme \(3x^2 - 5x + 1 = 0\)

Identifier\(a = 3,\quad b = -5,\quad c = 1\)

Δ \(\Delta = 25 - 12 = 13\)

Analyse\(\Delta = 13 > 0\) → deux racines. \(\sqrt{13} \approx 3{,}606\)

Racines \(x_1 = \dfrac{5 - \sqrt{13}}{6} \approx \dfrac{1{,}394}{6} \approx 0{,}232\) ; \(x_2 = \dfrac{5 + \sqrt{13}}{6} \approx \dfrac{8{,}606}{6} \approx 1{,}434\)

✓ Résultat \(S = \left\{\dfrac{5-\sqrt{13}}{6}\,;\,\dfrac{5+\sqrt{13}}{6}\right\}\)

VIII. Application concrète — Situations réelles ⭐

⭐ Exercice concret Les chaussures en cuir des artisans de Ouagadougou

Un artisan cordonnier du quartier Zogona fabrique des chaussures à semelles en cuir. Il vend \(x\) paires par semaine. Son bénéfice hebdomadaire (en milliers de FCFA) est modélisé par : \[B(x) = -x^2 + 14x - 40\] Question 1 : Pour combien de paires vendues le bénéfice est-il nul ?
Question 2 : Quel est le bénéfice maximum, et pour combien de paires ?

Résous les deux questions, puis interprète chaque réponse en contexte.

Correction — Exercice ⭐ Chaussures artisanales

Question 1 — \(B(x) = 0\) :
\(-x^2 + 14x - 40 = 0 \implies x^2 - 14x + 40 = 0\) (on multiplie par \(-1\))
\(a=1,\; b=-14,\; c=40\)
\(\Delta = 196 - 160 = 36\) → \(\sqrt{36} = 6\)
\(x_1 = \dfrac{14-6}{2} = 4\) ; \(x_2 = \dfrac{14+6}{2} = 10\)

Interprétation : Le bénéfice est nul pour 4 paires et 10 paires vendues. En dessous de 4 paires ou au-delà de 10 paires, l'artisan est en déficit.

Question 2 — Bénéfice maximum :
Le sommet de la parabole est en \(x_S = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{14}{2} = 7\) paires.
\(B(7) = -(7)^2 + 14 \times 7 - 40 = -49 + 98 - 40 = 9\) milliers de FCFA.

Interprétation : Le bénéfice maximum est de 9 000 FCFA pour 7 paires vendues par semaine.

⭐ Exercice concret La Mare aux Caïmans de Sabou — un bassin sacré

La Mare aux Caïmans de Sabou est un site sacré où vivent des caïmans apprivoisés. Les responsables du site souhaitent construire une clôture rectangulaire de protection autour d'une zone de 84 m², en utilisant 38 m de grillage au total (périmètre = 38 m). Quelles doivent être les dimensions de cette zone rectangulaire ?

Pose le problème sous forme d'équation du second degré, résous, puis donne les dimensions.

Correction — Exercice ⭐ Mare aux Caïmans

Mise en équation :
Soit \(x\) la longueur en mètres. La largeur est \(\dfrac{38}{2} - x = 19 - x\).
Condition d'aire : \(x(19 - x) = 84\)
\(19x - x^2 = 84\)
\(x^2 - 19x + 84 = 0\)

Résolution :
\(a=1,\; b=-19,\; c=84\)
\(\Delta = 361 - 336 = 25\) → \(\sqrt{25} = 5\)
\(x_1 = \dfrac{19-5}{2} = 7\) ; \(x_2 = \dfrac{19+5}{2} = 12\)

Conclusion :
Si \(x = 12\), la largeur est \(19 - 12 = 7\). Si \(x = 7\), la largeur est \(12\).
Les deux solutions donnent le même rectangle (on échange longueur et largeur).
La zone mesure 12 m × 7 m.
Vérification : périmètre = \(2(12+7) = 38\) m ✓ aire = \(12 \times 7 = 84\) m² ✓

✏️ Exercices d'entraînement

Exercice 1 Facile

Pour chaque équation, identifier \(a\), \(b\), \(c\), calculer \(\Delta\) et résoudre :

a) \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
b) \(x^2 - 4 = 0\)
c) \(2x^2 + 4x + 2 = 0\)

a) \(a=1, b=-5, c=6\). \(\Delta = 25 - 24 = 1\). \(x_1 = \frac{5-1}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{5+1}{2} = 3\). \(S = \{2\,;\,3\}\)

b) \(a=1, b=0, c=-4\). \(\Delta = 0 + 16 = 16\). \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\). \(S = \{-2\,;\,2\}\)
(Ou directement : \(x^2 = 4 \implies x = \pm 2\))

c) \(a=2, b=4, c=2\). \(\Delta = 16 - 16 = 0\). \(x_0 = \frac{-4}{4} = -1\). Racine double. \(S = \{-1\}\)

Exercice 2 Facile

Résoudre \(x^2 - 2x - 3 = 0\) puis vérifier avec les relations de Viète.

\(a=1, b=-2, c=-3\). \(\Delta = 4 + 12 = 16\). \(\sqrt{16}=4\).
\(x_1 = \frac{2-4}{2} = -1\) ; \(x_2 = \frac{2+4}{2} = 3\). \(S = \{-1\,;\,3\}\)

Viète : \(x_1+x_2 = -1+3 = 2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1}\) ✓
\(x_1 \times x_2 = (-1) \times 3 = -3 = \frac{c}{a}\) ✓

Exercice 3 Moyen

Au Musée National du Burkina Faso, un guide explique qu'une vitrine d'exposition rectangulaire a une superficie de 12 m². Sa longueur dépasse sa largeur de 1 m. Trouver les dimensions de la vitrine.

Soit \(x\) la largeur. La longueur vaut \(x + 1\).
\(x(x+1) = 12 \implies x^2 + x - 12 = 0\)
\(\Delta = 1 + 48 = 49\). \(\sqrt{49} = 7\).
\(x_1 = \frac{-1-7}{2} = -4\) (refusé car \(x > 0\)) ; \(x_2 = \frac{-1+7}{2} = 3\)

La vitrine mesure 3 m × 4 m.
Vérification : \(3 \times 4 = 12\) m² ✓ \(4 - 3 = 1\) m ✓

Exercice 4 Moyen

Un vendeur de masques culturels du marché artisanal de Ouagadougou fixe le prix de vente à \((50 - x)\) milliers de FCFA pour \(x\) masques vendus. Son chiffre d'affaires vaut donc \(x(50-x)\) milliers de FCFA. Pour quel nombre de masques vendus le chiffre d'affaires est-il exactement de 600 000 FCFA ?

\(x(50-x) = 600\) (en milliers de FCFA)
\(50x - x^2 = 600\)
\(x^2 - 50x + 600 = 0\)
\(\Delta = 2500 - 2400 = 100\). \(\sqrt{100} = 10\).
\(x_1 = \frac{50-10}{2} = 20\) ; \(x_2 = \frac{50+10}{2} = 30\)

Le chiffre d'affaires de 600 000 FCFA est atteint pour 20 ou 30 masques vendus.
Vérif. : \(20 \times (50-20) = 20 \times 30 = 600\) ✓ \(30 \times 20 = 600\) ✓

Exercice 5 Difficile

Au site des Sculptures de Laongo, un architecte paysagiste conçoit un sentier circulaire autour d'une sculpture centrale. La sculpture a un rayon de \(r\) mètres. Le sentier a une largeur uniforme de 2 m. L'aire du sentier seul est de 40π m². Trouver \(r\).

Aire du grand cercle (sculpture + sentier) : \(\pi(r+2)^2\)
Aire de la sculpture seule : \(\pi r^2\)
Aire du sentier : \(\pi(r+2)^2 - \pi r^2 = 40\pi\)
Diviser par \(\pi\) : \((r+2)^2 - r^2 = 40\)
\(r^2 + 4r + 4 - r^2 = 40\)
\(4r + 4 = 40\)
\(4r = 36 \implies r = 9\)

Remarque : cette équation s'est simplifiée en équation du premier degré. C'est parfois le cas !
Le rayon de la sculpture est de 9 m.
Vérification : \(\pi(11)^2 - \pi(9)^2 = \pi(121-81) = 40\pi\) ✓

À retenir

Forme générale : \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a \neq 0\).
Discriminant : \(\Delta = b^2 - 4ac\) — à calculer en premier.
\(\Delta > 0\) : deux racines \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).
\(\Delta = 0\) : une racine double \(x_0 = \dfrac{-b}{2a}\).
\(\Delta < 0\) : aucune solution réelle, \(S = \emptyset\).
Relations de Viète : \(x_1+x_2 = -b/a\) et \(x_1 x_2 = c/a\) (utiles pour vérifier).
Factorisation : si \(\Delta \geq 0\), alors \(ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)\).
Graphiquement : la courbe est une parabole ; les racines sont les points d'intersection avec l'axe des abscisses.

Supports Vidéo

← L1 : Équations du 1er degré L3 : Systèmes d'équations →