I. Rappel — Définition de la valeur absolue
La valeur absolue d'un réel \(x\), notée \(|x|\), représente sa distance à zéro sur la droite numérique. Elle est toujours positive ou nulle, quel que soit le signe de \(x\).
Ainsi \(|3| = 3\), \(|-5| = 5\), \(|0| = 0\). Plus généralement \(|f(x)|\) mesure la distance entre \(f(x)\) et \(0\), et \(|f(x) - a|\) mesure la distance entre \(f(x)\) et \(a\). C'est cette interprétation géométrique qui rend les inéquations avec valeur absolue intuitives.
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II. Propriétés fondamentales
\(|x| = 0 \iff x = 0\).
On a toujours \(|x|^2 = x^2\), ce qui donne une façon algébrique d'éliminer la valeur absolue. En particulier \(\sqrt{x^2} = |x|\), et non \(x\) — c'est une erreur fréquente.
Par exemple : \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|\), et non \(-3\).
III. Les deux cas types et leurs équivalences
Toutes les inéquations à valeur absolue se ramènent à deux cas fondamentaux. Ces équivalences sont le cœur de la méthode — les connaître par cœur permet de résoudre n'importe quelle inéquation de ce type sans hésiter.
| Inéquation | Équivalence | Interprétation géométrique | Solution |
|---|---|---|---|
| \(|u| < k\) (\(k > 0\)) | \(-k < u < k\) | Distance à 0 inférieure à \(k\) — intervalle centré | \(S = ]-k\,;\,k[\) |
| \(|u| \leq k\) (\(k > 0\)) | \(-k \leq u \leq k\) | Distance à 0 au plus \(k\) | \(S = [-k\,;\,k]\) |
| \(|u| > k\) (\(k > 0\)) | \(u < -k\) ou \(u > k\) | Distance à 0 supérieure à \(k\) — deux demi-droites | \(S = ]{-}\infty\,;\,-k[ \cup ]k\,;\,+\infty[\) |
| \(|u| \geq k\) (\(k > 0\)) | \(u \leq -k\) ou \(u \geq k\) | Distance à 0 au moins \(k\) | \(S = ]{-}\infty\,;\,-k] \cup [k\,;\,+\infty[\) |
| \(|u| < 0\) | Impossible | La valeur absolue est toujours \(\geq 0\) | \(S = \emptyset\) |
| \(|u| \geq 0\) | Toujours vrai | Vrai pour tout réel \(u\) | \(S = \mathbb{R}\) |
\(|u| < k\) → un segment centré en 0 | \(|u| > k\) → deux demi-droites qui s'éloignent de 0
IV. Méthode de résolution
- Isoler la valeur absolue d'un côté : mettre l'inéquation sous la forme \(|u| \;\square\; k\) avec \(k\) un nombre ou une expression simple.
- Vérifier le signe de \(k\) — si \(k < 0\), conclure immédiatement (\(S = \emptyset\) ou \(S = \mathbb{R}\)).
- Appliquer l'équivalence du cas type correspondant (\(<\), \(\leq\), \(>\) ou \(\geq\)).
- Résoudre le système d'inéquations ou la double inégalité obtenue.
- Écrire la solution sous forme d'intervalle et vérifier avec une valeur test.
V. Exemples travaillés
On applique directement l'équivalence \(|u| < k \iff -k < u < k\) avec \(u = x - 3\) et \(k = 5\) :
\(-5 < x - 3 < 5\)
On ajoute 3 partout :
\(-5 + 3 < x < 5 + 3\)
\(-2 < x < 8\)
Vérification : \(x = 0\) → \(|0-3| = 3 < 5\) ✓ \(x = 9\) → \(|9-3| = 6 \not< 5\) ✓ (exclu)
On applique \(|u| \geq k \iff u \leq -k\) ou \(u \geq k\) avec \(u = 2x+1\) et \(k = 7\) :
\(2x + 1 \leq -7\) ou \(2x + 1 \geq 7\)
On résout chaque branche séparément.
Branche gauche : \(2x \leq -8 \implies x \leq -4\)
Branche droite : \(2x \geq 6 \implies x \geq 3\)
Vérification : \(x = -5\) → \(|2(-5)+1| = |-9| = 9 \geq 7\) ✓ \(x = 0\) → \(|1| = 1 \not\geq 7\) ✓ (exclu)
On commence par isoler \(|x+2|\). On ajoute 6 des deux côtés :
\(3|x + 2| < 15\)
On divise par 3 (positif — sens conservé) :
\(|x + 2| < 5\)
On applique maintenant l'équivalence \(|u| < k\) :
\(-5 < x + 2 < 5\)
On soustrait 2 partout :
\(-7 < x < 3\)
Ici \(k = -2 < 0\). Or une valeur absolue est toujours positive ou nulle, donc \(|x - 5| \geq 0 > -2\) pour tout \(x\).
La condition \(|x-5| < -2\) est donc impossible quel que soit \(x\).
Résoudre \(|3x - 6| \leq 2x + 1\).
On lève la valeur absolue en distinguant deux cas selon le signe de \(3x - 6\).
La racine de \(3x - 6\) est \(x = 2\).
Cas 1 : \(x \geq 2\) — alors \(|3x-6| = 3x - 6\).
L'inéquation devient : \(3x - 6 \leq 2x + 1 \implies x \leq 7\)
En intersectant avec \(x \geq 2\) : \(2 \leq x \leq 7\)
Cas 2 : \(x < 2\) — alors \(|3x-6| = -(3x-6) = -3x + 6\).
L'inéquation devient : \(-3x + 6 \leq 2x + 1 \implies 5 \leq 5x \implies x \geq 1\)
En intersectant avec \(x < 2\) : \(1 \leq x < 2\)
On réunit les deux cas :
\([1\,;\,2[ \;\cup\; [2\,;\,7] = [1\,;\,7]\)
La distance entre la température \(T\) et la valeur idéale 28 doit être inférieure à 4 :
\(|T - 28| < 4\)
On applique l'équivalence \(|u| < k\) :
\(-4 < T - 28 < 4\)
On ajoute 28 partout :
\(24 < T < 32\)
VI. Application concrète — Situations réelles ⭐
À la Mare aux Caïmans de Sabou, les biologistes surveillent la température de l'eau pour le bien-être des caïmans. La température idéale est de 28°C. Pour que les caïmans restent actifs et visibles pour les touristes, la température \(T\) de l'eau doit s'écarter de la valeur idéale de moins de 4°C.
Exprimer cette contrainte avec une valeur absolue et trouver la plage de températures acceptables.
✏️ Exercices d'application
Résoudre chaque inéquation et écrire la solution sous forme d'intervalle :
- a) \(|x| < 6\)
- b) \(|x - 4| \leq 3\)
- c) \(|x + 1| > 5\)
- d) \(|x - 7| \geq 2\)
b) \(|x-4| \leq 3 \iff -3 \leq x-4 \leq 3 \iff 1 \leq x \leq 7\). \(S = [1\,;\,7]\)
c) \(|x+1| > 5 \iff x+1 < -5\) ou \(x+1 > 5 \iff x < -6\) ou \(x > 4\). \(S = ]{-}\infty\,;\,-6[ \cup ]4\,;\,+\infty[\)
d) \(|x-7| \geq 2 \iff x-7 \leq -2\) ou \(x-7 \geq 2 \iff x \leq 5\) ou \(x \geq 9\). \(S = ]{-}\infty\,;\,5] \cup [9\,;\,+\infty[\)
Résoudre en isolant d'abord \(|u|\) :
- a) \(2|x + 3| \leq 10\)
- b) \(4|x - 1| - 8 > 0\)
b) \(4|x-1| > 8 \iff |x-1| > 2 \iff x-1 < -2\) ou \(x-1 > 2 \iff x < -1\) ou \(x > 3\).
\(S = ]{-}\infty\,;\,-1[ \cup ]3\,;\,+\infty[\)
Un atelier de Saponé fabrique des chapeaux tressés. Le diamètre standard d'un chapeau est de 36 cm. Pour être accepté au contrôle qualité, un chapeau doit avoir un diamètre \(d\) tel que \(|d - 36| \leq 1{,}5\).
- a) Résoudre cette inéquation et donner la plage de diamètres acceptables.
- b) Un chapeau de diamètre 37,2 cm passe-t-il le contrôle ?
Les diamètres acceptables sont entre 34,5 cm et 37,5 cm.
b) \(|37{,}2 - 36| = |1{,}2| = 1{,}2 \leq 1{,}5\) ✓
Oui, le chapeau de 37,2 cm passe le contrôle qualité.
Un artisan cordonnier de Ouagadougou fabrique des sandales à semelles en cuir. Le poids cible d'une semelle est \(p_0 = 120\) grammes. Il accepte une tolérance telle que le poids \(p\) vérifie \(|p - 120| < 8\), mais exige aussi que le poids ne soit jamais inférieur à 110 grammes pour des raisons de solidité : \(p \geq 110\).
- a) Résoudre \(|p - 120| < 8\) et écrire la plage obtenue.
- b) Tenir compte aussi de \(p \geq 110\). Quelle est la plage finale ?
b) On intersecte avec \(p \geq 110\) : \(]112\,;\,128[ \cap [110\,;\,+\infty[ = ]112\,;\,128[\)
La contrainte \(p \geq 110\) est déjà satisfaite dans \(]112\,;\,128[\) (car \(112 > 110\)).
La plage finale est \(]112\,;\,128[\) grammes, soit entre 112 g et 128 g exclus.
Résoudre \(|2x - 4| > x + 1\) par la méthode de levée de la valeur absolue (distinction de cas selon le signe de \(2x - 4\)).
Cas 1 : \(x \geq 2\) — alors \(|2x-4| = 2x-4\).
\(2x - 4 > x + 1 \implies x > 5\)
Intersection avec \(x \geq 2\) : \(x > 5\), soit \(]5\,;\,+\infty[\)
Cas 2 : \(x < 2\) — alors \(|2x-4| = -(2x-4) = -2x+4\).
\(-2x + 4 > x + 1 \implies 3 > 3x \implies x < 1\)
Intersection avec \(x < 2\) : \(x < 1\), soit \(]{-}\infty\,;\,1[\)
On réunit les deux cas :
\(S = ]{-}\infty\,;\,1[ \;\cup\; ]5\,;\,+\infty[\)
Vérification : \(x=0\) → \(|{-4}| = 4 > 1\) ✓ \(x=3\) → \(|2| = 2 \not> 4\) ✓ (exclu) \(x=6\) → \(|8| = 8 > 7\) ✓
À retenir
- Valeur absolue : \(|x|\) = distance de \(x\) à 0 — toujours \(\geq 0\).
- \(|u| < k\) (\(k>0\)) : équivaut à \(-k < u < k\) → intervalle \(]-k\,;\,k[\).
- \(|u| > k\) (\(k>0\)) : équivaut à \(u < -k\) ou \(u > k\) → deux demi-droites.
- Si \(k \leq 0\) : \(|u| < k\) → \(S = \emptyset\) ; \(|u| \geq 0\) → \(S = \mathbb{R}\).
- Méthode 1 : isoler \(|u|\) puis appliquer l'équivalence du cas type.
- Méthode 2 : lever la valeur absolue en distinguant les cas \(u \geq 0\) et \(u < 0\), puis intersecter avec chaque cas.
- Toujours vérifier avec une valeur test dans chaque intervalle trouvé.