Leçon 7 — Équations irrationnelles et trigonométriques

Racines carrées, conditions d'existence et résolution des équations trigonométriques sur \(\mathbb{R}\)

I. Équations irrationnelles — définition et conditions d'existence

Une équation irrationnelle est une équation dans laquelle l'inconnue apparaît sous un signe racine. La difficulté principale est que la résolution exige de carrer les deux membres, ce qui peut introduire des solutions étrangères — des valeurs qui vérifient l'équation au carré mais pas l'originale. Il faut donc toujours vérifier les solutions trouvées dans l'équation de départ.

\(\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) = [g(x)]^2 \end{cases}\) Les trois conditions sont simultanées — en omettre une peut donner de fausses solutions

La condition \(f(x) \geq 0\) assure que la racine existe dans \(\mathbb{R}\). La condition \(g(x) \geq 0\) assure que le membre de droite peut bien égaler une racine (qui est toujours positive ou nulle). Sans cette vérification, carrer peut créer des solutions parasites.

🔍 Pourquoi carrer introduit-il des solutions étrangères ?

Prenons \(\sqrt{x} = -2\). Il n'y a évidemment aucune solution : une racine carrée est toujours \(\geq 0\).

Pourtant si on carre des deux côtés sans vérifier : \(x = 4\). On trouve \(x = 4\), mais \(\sqrt{4} = 2 \neq -2\). C'est une fausse solution. Carrer est une implication dans un seul sens (\(\implies\)) et non une équivalence (\(\iff\)) — c'est pourquoi la vérification finale est obligatoire, pas facultative.

Nerveux explique : Imagine un artisan de Dédougou qui tisse du tissu en coton. La largeur d'un rouleau de tissu est toujours positive — on ne peut pas avoir une largeur négative. C'est pareil avec la racine carrée : \(\sqrt{x}\) est toujours positive ou nulle. Quand tu carres pour résoudre, c'est comme si tu pliais le tissu en deux : tu obtiens le bon résultat et son reflet négatif. Le reflet négatif n'existe pas dans la réalité du tissu — c'est une solution étrangère. Tu dois toujours vérifier laquelle est réelle.

Condition d'existence→\(f(x) \geq 0\)

Solution étrangère→Vérifie le carré, pas l'original

Vérification→Obligatoire !

II. Méthode pour les équations irrationnelles

Poser la condition d'existence : identifier les expressions sous les radicaux et exiger qu'elles soient \(\geq 0\).
Isoler le radical d'un côté de l'équation si possible.
Exiger que le membre sans radical soit \(\geq 0\) (la racine ne peut pas égaler un négatif).
Carrer les deux membres et résoudre l'équation polynomiale obtenue.
Vérifier chaque solution dans l'équation de départ — éliminer les solutions étrangères.
Intersect er avec la condition d'existence pour la solution finale.

III. Exemples travaillés — équations irrationnelles

Exemple 1 — Racine simple : résoudre \(\sqrt{2x - 3} = 5\)

Condition d'existence : \(2x - 3 \geq 0 \implies x \geq \dfrac{3}{2}\)

Le membre de droite \(5 \geq 0\) ✓ — on peut carrer.

On carre les deux membres :

\(2x - 3 = 25\)

\(2x = 28 \implies x = 14\)

Vérification : \(x = 14 \geq \frac{3}{2}\) ✓ \(\sqrt{2(14)-3} = \sqrt{25} = 5\) ✓

\(S = \{14\}\)

Exemple 2 — Avec solution étrangère : résoudre \(\sqrt{x + 6} = x\)

Condition d'existence : \(x + 6 \geq 0 \implies x \geq -6\)

Condition sur le membre de droite : \(x \geq 0\) (la racine est positive).

On retiendra donc \(x \geq 0\) (condition la plus restrictive).

On carre les deux membres :

\(x + 6 = x^2\)

\(x^2 - x - 6 = 0\)

On factorise : chercher deux nombres de produit \(-6\) et somme \(-1\) : \(-3\) et \(2\).

\((x - 3)(x + 2) = 0 \implies x = 3 \text{ ou } x = -2\)

Vérification :

\(x = 3\) : \(\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3\) ✓ — solution valide.

\(x = -2\) : \(\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2\) ✗ — solution étrangère !

De plus \(x = -2 < 0\) ne satisfait pas la condition \(x \geq 0\).

\(S = \{3\}\) — la valeur \(x = -2\) est une solution étrangère à éliminer

Exemple 3 — Deux radicaux : résoudre \(\sqrt{x + 3} = \sqrt{2x - 1}\)

Conditions d'existence : \(x + 3 \geq 0\) et \(2x - 1 \geq 0\)

\(x \geq -3\) et \(x \geq \dfrac{1}{2}\) → on retient \(x \geq \dfrac{1}{2}\)

Les deux membres sont positifs, on peut carrer directement :

\(x + 3 = 2x - 1\)

\(4 = x \implies x = 4\)

Vérification : \(x = 4 \geq \frac{1}{2}\) ✓ \(\sqrt{7} = \sqrt{7}\) ✓

\(S = \{4\}\)

IV. Équations trigonométriques — rappels et structure des solutions

Une équation trigonométrique est une équation contenant \(\sin x\), \(\cos x\) ou \(\tan x\). La particularité fondamentale des fonctions trigonométriques est leur périodicité : une équation trigonométrique admet en général une infinité de solutions espacées de \(2\pi\) (pour sin et cos) ou de \(\pi\) (pour tan).

Le cercle trigonométrique — les valeurs de sin et cos pour les angles remarquables

Équation	Solutions générales	Condition
\(\sin x = k\)	\(x = \arcsin(k) + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \arcsin(k) + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)	\(-1 \leq k \leq 1\)
\(\cos x = k\)	\(x = \pm\arccos(k) + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)	\(-1 \leq k \leq 1\)
\(\tan x = k\)	\(x = \arctan(k) + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)	\(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)
\(\sin x = \sin a\)	\(x = a + 2k\pi\) ou \(x = \pi - a + 2k\pi\)	—
\(\cos x = \cos a\)	\(x = a + 2k\pi\) ou \(x = -a + 2k\pi\)	—
\(\tan x = \tan a\)	\(x = a + k\pi\)	\(a \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)

Valeurs remarquables à connaître par cœur :
\(\sin 0 = 0,\quad \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2},\quad \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\frac{\pi}{2} = 1\)
\(\cos 0 = 1,\quad \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2},\quad \cos\frac{\pi}{2} = 0\)
\(\tan 0 = 0,\quad \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}},\quad \tan\frac{\pi}{4} = 1,\quad \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\)

V. Exemples travaillés — équations trigonométriques

Exemple 4 — Résoudre \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) sur \(\mathbb{R}\)

On reconnaît une valeur remarquable : \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\).

On applique la formule générale \(\cos x = \cos a\) avec \(a = \dfrac{\pi}{3}\) :

\(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \quad\) ou \(\quad x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ces deux familles couvrent tous les angles du cercle trigonométrique dont le cosinus vaut \(\frac{1}{2}\).

\(S = \left\{\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \;\cup\; -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\}\)

Exemple 5 — Résoudre \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) sur \(\mathbb{R}\)

On reconnaît : \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), donc \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

On applique \(\sin x = \sin a\) avec \(a = -\dfrac{\pi}{4}\) :

\(x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \quad\) ou \(\quad x = \pi - \!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + 2k\pi = \pi + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi\)

\(S = \left\{-\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \;\cup\; \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\}\)

Exemple 6 — Résoudre \(\tan x = 1\) sur \(\mathbb{R}\)

On reconnaît : \(\tan\dfrac{\pi}{4} = 1\). On applique \(\tan x = \tan a\) avec \(a = \dfrac{\pi}{4}\) :

\(x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

La tangente est \(\pi\)-périodique, donc une seule famille de solutions suffit.

\(S = \left\{\dfrac{\pi}{4} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\}\)

Exemple 7 — Sur un intervalle borné : résoudre \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) sur \([0\,;\,2\pi]\)

On reconnaît : \(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\cos\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

La formule générale donne : \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\).

On sélectionne les valeurs dans \([0\,;\,2\pi]\) :

Pour \(k=0\) : \(x = \dfrac{5\pi}{6} \approx 2{,}62\) ✓ et \(x = -\dfrac{5\pi}{6} \approx -2{,}62\) ✗ (hors \([0\,;\,2\pi]\))

Pour \(k=1\) dans la 2ème famille : \(x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{6} \approx 3{,}67\) ✓

\(S = \left\{\dfrac{5\pi}{6}\,;\,\dfrac{7\pi}{6}\right\}\) sur \([0\,;\,2\pi]\)

Exemple 8 — Ombre d'une sculpture à Laongo

On cherche \(h\) tel que \(\sqrt{3h + 1} - 2 = 3\).

Condition d'existence : \(3h + 1 \geq 0 \implies h \geq -\dfrac{1}{3}\). Comme \(h > 0\) physiquement, la condition est satisfaite.

On isole le radical :

\(\sqrt{3h + 1} = 5\)

Le membre de droite est \(5 > 0\) ✓ — on carre :

\(3h + 1 = 25\)

\(3h = 24 \implies h = 8\)

Vérification : \(\sqrt{3(8)+1} - 2 = \sqrt{25} - 2 = 5 - 2 = 3\) ✓

La sculpture mesure 8 mètres de hauteur.

Exemple 9 — Éclairage du marché de Gorom-Gorom

On résout \(800\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) + 200 = 600\).

On isole le cosinus :

\(800\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) = 400\)

\(\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) = \dfrac{1}{2}\)

On reconnaît \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\). On pose \(u = \dfrac{\pi t}{12}\) :

\(u = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \quad\) ou \(\quad u = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\)

On revient à \(t = \dfrac{12u}{\pi}\) :

\(t = 4 + 24k \quad\) ou \(\quad t = -4 + 24k\)

On sélectionne les valeurs dans \([0\,;\,24]\) :

Famille 1 : \(k=0 \implies t = 4\) ✓

Famille 2 : \(k=0 \implies t = -4\) ✗ ; \(k=1 \implies t = 20\) ✓

L'intensité est de 600 lux à 4h00 et à 20h00.

VI. Application concrète — Situations réelles ⭐

⭐ Situation concrète Hauteur d'une sculpture à Laongo — équation irrationnelle

Au site des Sculptures de Laongo, un ingénieur mesure l'ombre portée d'une sculpture. La longueur de l'ombre \(L\) (en mètres) est reliée à la hauteur \(h\) de la sculpture par la relation :

\(L = \sqrt{3h + 1} - 2\)

Pour quelle hauteur \(h\) l'ombre mesure-t-elle exactement 3 mètres ?

⭐ Situation concrète Éclairage du marché de Gorom-Gorom — équation trigonométrique

L'intensité lumineuse (en lux) d'un lampadaire solaire au marché de Gorom-Gorom varie selon le modèle :

\(I(t) = 800\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) + 200\)

où \(t\) est l'heure (0 = minuit). À quels moments de la journée l'intensité est-elle de 600 lux sur \([0\,;\,24]\) ?

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Équations irrationnelles simples Facile

Résoudre (préciser la condition d'existence et vérifier) :

a) \(\sqrt{x - 1} = 4\)
b) \(\sqrt{3x + 9} = 6\)
c) \(\sqrt{2x - 4} = x - 2\)

a) CE : \(x \geq 1\). Carrer : \(x - 1 = 16 \implies x = 17\). Vérif. : \(\sqrt{16} = 4\) ✓ \(S = \{17\}\)

b) CE : \(x \geq -3\). Carrer : \(3x + 9 = 36 \implies 3x = 27 \implies x = 9\). Vérif. ✓ \(S = \{9\}\)

c) CE : \(x \geq 2\). Condition mdr : \(x - 2 \geq 0\), soit \(x \geq 2\). Carrer :
\(2x - 4 = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \implies x^2 - 6x + 8 = 0 \implies (x-2)(x-4) = 0\)
\(x = 2\) : \(\sqrt{0} = 0 = 2-2\) ✓ \(x = 4\) : \(\sqrt{4} = 2 = 4-2\) ✓ \(S = \{2\,;\,4\}\)

Exercice 2 — Valeurs remarquables du cercle Facile

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) :

a) \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
b) \(\cos x = 0\)
c) \(\tan x = -1\)

a) \(\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Solutions : \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)

b) \(\cos x = 0 \iff x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)

c) \(\tan(-\dfrac{\pi}{4}) = -1\). Solutions : \(x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)

Exercice 3 — Solutions sur un intervalle borné Moyen

Résoudre sur \([0\,;\,2\pi]\) :

a) \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\)
b) \(\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(2\cos x + \sqrt{3} = 0\)

a) \(\sin(-\dfrac{\pi}{6}) = -\dfrac{1}{2}\). Formule générale : \(x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi\).
Sur \([0\,;\,2\pi]\) : \(-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{11\pi}{6}\) ✓ et \(\dfrac{7\pi}{6}\) ✓. \(S = \left\{\dfrac{7\pi}{6}\,;\,\dfrac{11\pi}{6}\right\}\)

b) \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Sur \([0\,;\,2\pi]\) : \(x = \dfrac{\pi}{4}\) ✓ et \(x = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{4}\) ✓. \(S = \left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\,\dfrac{7\pi}{4}\right\}\)

c) \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). On reconnaît \(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Sur \([0\,;\,2\pi]\) : \(x = \dfrac{5\pi}{6}\) et \(x = \dfrac{7\pi}{6}\). \(S = \left\{\dfrac{5\pi}{6}\,;\,\dfrac{7\pi}{6}\right\}\)

Exercice 4 — Tissage à Dédougou — équation irrationnelle Moyen

Un tisserand de Dédougou utilise une formule pour calculer la longueur \(L\) (en mètres) de fil nécessaire selon la largeur \(x\) du tissu :

\(L = 2\sqrt{x + 5} + x\)

a) Quelle est la condition d'existence sur \(x\) ?
b) Pour quelle largeur \(x\) la longueur de fil est-elle de 18 mètres ?

a) CE : \(x + 5 \geq 0 \implies x \geq -5\). Physiquement \(x > 0\).

b) On résout \(2\sqrt{x+5} + x = 18\).
On isole le radical : \(2\sqrt{x+5} = 18 - x\)
Condition : \(18 - x \geq 0 \implies x \leq 18\).
On carre : \(4(x+5) = (18-x)^2 = 324 - 36x + x^2\)
\(4x + 20 = 324 - 36x + x^2\)
\(x^2 - 40x + 304 = 0\)
\(\Delta = 1600 - 1216 = 384\). \(\sqrt{384} = 8\sqrt{6} \approx 19{,}6\)
\(x_1 = \dfrac{40 - 8\sqrt{6}}{2} = 20 - 4\sqrt{6} \approx 10{,}2\) ✓ (vérifie \(x \leq 18\))
\(x_2 = 20 + 4\sqrt{6} \approx 29{,}8\) ✗ (ne vérifie pas \(x \leq 18\))
Vérification de \(x_1\) : \(2\sqrt{(20-4\sqrt{6})+5} + (20-4\sqrt{6}) = 2\sqrt{25-4\sqrt{6}} + 20-4\sqrt{6}\)… on confirme numériquement : \(2\sqrt{15{,}2} + 10{,}2 \approx 7{,}8 + 10{,}2 = 18\) ✓
\(x = 20 - 4\sqrt{6} \approx 10{,}2\) mètres.

Exercice 5 — Modèle de marée au barrage de Bagré ⭐ Difficile

Le niveau de l'eau (en mètres) au barrage de Bagré suit le modèle :

\(N(t) = 3\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) + 7\)

où \(t\) est le nombre de mois depuis janvier (donc \(t \in [0\,;\,12]\)).

a) Quel est le niveau maximum ? À quel mois est-il atteint ?
b) Résoudre \(N(t) = 8{,}5\) sur \([0\,;\,12]\).
c) Durant combien de mois le niveau est-il au-dessus de \(8{,}5\) mètres ?

a) Maximum de \(N\) quand \(\sin = 1\) : \(N_{max} = 3(1) + 7 = 10\) mètres.
\(\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = 1 \iff \dfrac{\pi t}{6} = \dfrac{\pi}{2} \iff t = 3\) → niveau max en mars (mois 3).

b) \(3\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) + 7 = 8{,}5 \implies \sin\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = \dfrac{1{,}5}{3} = \dfrac{1}{2}\)
On reconnaît \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\). Avec \(u = \dfrac{\pi t}{6}\) :
\(u = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \implies t = 1 + 12k\) ; sur \([0\,;\,12]\) : \(t = 1\) ✓
\(u = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \implies t = 5 + 12k\) ; sur \([0\,;\,12]\) : \(t = 5\) ✓
Le niveau est à 8,5 m en mois 1 (janvier) et mois 5 (mai).

c) Le niveau est au-dessus de 8,5 m pour \(t \in [1\,;\,5]\) (entre les deux solutions, où \(\sin > \dfrac{1}{2}\)).
Le niveau dépasse 8,5 m pendant 4 mois (de janvier à mai inclus).

À retenir

Équation irrationnelle : condition d'existence (\(f(x) \geq 0\)), condition sur le membre de droite (\(\geq 0\)), puis carrer.
Solutions étrangères : carrer est une implication, pas une équivalence — toujours vérifier.
\(\cos x = \cos a\) : \(x = \pm a + 2k\pi\) — deux familles.
\(\sin x = \sin a\) : \(x = a + 2k\pi\) ou \(x = \pi - a + 2k\pi\) — deux familles.
\(\tan x = \tan a\) : \(x = a + k\pi\) — une seule famille (\(\pi\)-périodique).
Sur un intervalle borné : écrire la solution générale, puis sélectionner les valeurs dans l'intervalle.
Valeurs remarquables : \(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\), \(\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et leurs symétries.

🏆

Module IV — Terminé !

Tu as maîtrisé les 7 leçons du module Équations et Inéquations.

Ces outils sont fondamentaux pour tous les modules qui suivent.

L1 — Équations du 1er degré L2 — Équations du 2nd degré L3 — Systèmes d'équations L4 — Inéquations du 1er degré L5 — Tableaux de signes L6 — Inéquations avec valeur absolue L7 — Équations irrationnelles et trig ✓

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