I. Qu'est-ce qu'une suite numérique ?
Une suite numérique est une liste ordonnée et infinie de nombres réels, indexés par les entiers naturels. On peut la voir comme une fonction définie sur \(\mathbb{N}\) (ou une partie de \(\mathbb{N}\)) à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Chaque nombre de la liste s'appelle un terme de la suite.
On note la suite \((u_n)\) ou \((u_n)_{n \geq 0}\). Le nombre \(u_n\) est le terme général de la suite, aussi appelé terme de rang \(n\) ou terme d'indice \(n\). \(u_0\) est le premier terme (ou \(u_1\) si l'indexation commence à 1).
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II. Les deux modes de définition
Une suite peut être définie de deux manières fondamentalement différentes, chacune avec ses avantages et ses inconvénients.
Ex. : \(u_n = 3n + 1\) → \(u_{100} = 301\) direct.
Ex. : \(u_0 = 2,\; u_{n+1} = u_n + 3\)
La formule explicite est plus pratique quand on veut un terme lointain (le terme \(u_{1000}\) par exemple) sans calculer tous les précédents. Elle permet aussi des preuves directes.
La relation de récurrence est plus naturelle pour modéliser des phénomènes où l'état suivant dépend de l'état actuel — comme la croissance d'une population, l'accumulation d'épargne, ou la propagation d'une maladie. Elle est aussi parfois la seule forme disponible quand il n'existe pas de formule explicite simple.
III. Sens de variation — monotonie d'une suite
Étudier la monotonie d'une suite, c'est savoir si elle augmente, diminue ou reste constante au fil des termes. Il existe deux méthodes pour cela.
| Définition | Méthode 1 — Différence | Méthode 2 — Quotient |
|---|---|---|
| Croissante : \(u_{n+1} \geq u_n\) pour tout \(n\) | Calculer \(u_{n+1} - u_n\) : Si \(\geq 0\) → croissante |
Si \(u_n > 0\), calculer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) : Si \(\geq 1\) → croissante |
| Décroissante : \(u_{n+1} \leq u_n\) pour tout \(n\) | Si \(u_{n+1} - u_n \leq 0\) → décroissante | Si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1\) → décroissante |
| Constante : \(u_{n+1} = u_n\) pour tout \(n\) | Si \(u_{n+1} - u_n = 0\) | Si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1\) |
IV. Suite majorée, minorée, bornée
V. Représentation graphique d'une suite
On représente une suite en plaçant les points de coordonnées \((n\,;\,u_n)\) dans un repère. L'axe horizontal représente les indices \(n\) (entiers) et l'axe vertical les valeurs \(u_n\). Contrairement à une fonction, on ne relie pas les points — une suite est discrète.
Représentation de la suite \(u_n = 2n + 1\) — points isolés, pas de courbe continue
VI. Exemples travaillés
Soit \(u_n = n^2 - 3n + 2\). Calculer \(u_0, u_1, u_2, u_3, u_4\).
\(u_0 = 0 - 0 + 2 = 2\)
\(u_1 = 1 - 3 + 2 = 0\)
\(u_2 = 4 - 6 + 2 = 0\)
\(u_3 = 9 - 9 + 2 = 2\)
\(u_4 = 16 - 12 + 2 = 6\)
On remarque que \(u_1 = u_2 = 0\) : deux termes consécutifs peuvent être égaux sans que la suite soit constante.
Soit \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = 2u_n - 1\). Calculer \(u_1, u_2, u_3, u_4\).
\(u_1 = 2 \times 3 - 1 = 5\)
\(u_2 = 2 \times 5 - 1 = 9\)
\(u_3 = 2 \times 9 - 1 = 17\)
\(u_4 = 2 \times 17 - 1 = 33\)
Chaque terme est obtenu en doublant le précédent et en soustrayant 1. La suite croît très vite.
Étudier la monotonie de \(u_n = \dfrac{n}{n+1}\).
On calcule \(u_{n+1} - u_n\) :
\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1}\)
On réduit au même dénominateur :
\(= \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)}\)
\(= \dfrac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+2)(n+1)}\)
\(= \dfrac{1}{(n+2)(n+1)}\)
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \((n+1) > 0\) et \((n+2) > 0\), donc \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{(n+2)(n+1)} > 0\).
Montrer que la suite \(u_n = \dfrac{n}{n+1}\) est bornée.
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(n \geq 0\) et \(n+1 \geq 1\), donc \(u_n = \dfrac{n}{n+1} \geq 0\).
De plus \(n < n + 1\) pour tout \(n\), donc \(\dfrac{n}{n+1} < 1\).
\(0 \leq u_n < 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\)
La suite est minorée par 0 (atteint en \(n = 0\)) et majorée par 1 (jamais atteint, car \(u_n < 1\) strictement).
VII. Application concrète — Situations réelles ⭐
Dans la région des Hauts-Bassins, la production annuelle de coton (en milliers de tonnes) d'une coopérative suit la suite définie par :
\(u_1 = 12 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = u_n + 1{,}5\) pour tout \(n \geq 1\)
- a) Calculer \(u_2, u_3, u_4\). Que représentent ces valeurs ?
- b) La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
- c) La production de quelle année dépasse-t-elle 20 000 tonnes pour la première fois ?
a) Premiers termes :
\(u_2 = 12 + 1{,}5 = 13{,}5\) milliers de tonnes (2ème année)
\(u_3 = 13{,}5 + 1{,}5 = 15\) milliers de tonnes (3ème année)
\(u_4 = 15 + 1{,}5 = 16{,}5\) milliers de tonnes (4ème année)
b) Monotonie :
\(u_{n+1} - u_n = 1{,}5 > 0\) pour tout \(n\) → la suite est strictement croissante.
La production augmente de 1 500 tonnes chaque année.
c) Dépasser 20 000 tonnes :
On cherche \(n\) tel que \(u_n > 20\). La formule explicite (que l'on verra en L2) donne \(u_n = 12 + 1{,}5(n-1)\).
\(12 + 1{,}5(n-1) > 20 \implies 1{,}5(n-1) > 8 \implies n - 1 > 5{,}33 \implies n > 6{,}33\)
Donc à partir de \(n = 7\) (la 7ème année).
Vérification : \(u_7 = 12 + 1{,}5 \times 6 = 12 + 9 = 21\) ✓ (dépasse 20) et \(u_6 = 19{,}5\) ✗
✏️ Exercices d'application
Pour chaque suite, calculer les cinq premiers termes \(u_0, u_1, u_2, u_3, u_4\) :
- a) \(u_n = 2n + 3\)
- b) \(u_n = (-1)^n\)
- c) \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 3u_n + 2\)
b) \(u_0=1,\; u_1=-1,\; u_2=1,\; u_3=-1,\; u_4=1\) — la suite alterne entre 1 et −1.
c) \(u_0=1\) ; \(u_1=3(1)+2=5\) ; \(u_2=3(5)+2=17\) ; \(u_3=3(17)+2=53\) ; \(u_4=3(53)+2=161\)
Étudier la monotonie de chaque suite par la méthode de la différence \(u_{n+1} - u_n\) :
- a) \(u_n = 5 - 2n\)
- b) \(u_n = n^2 + 1\)
b) \(u_{n+1} - u_n = ((n+1)^2+1) - (n^2+1) = n^2+2n+1 - n^2 = 2n+1\)
Pour \(n \geq 0\) : \(2n+1 \geq 1 > 0\) → strictement croissante.
Aminata place 50 000 FCFA sur un compte à la BCEAO. Chaque mois, le solde augmente de 2 000 FCFA (virement automatique) et des frais de 500 FCFA sont prélevés. On note \(u_n\) le solde après \(n\) mois.
- a) Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\). Quel est \(u_0\) ?
- b) La suite est-elle croissante ou décroissante ?
- c) Quel est le solde après 6 mois ?
b) \(u_{n+1} - u_n = 1500 > 0\) → strictement croissante. Le solde augmente chaque mois.
c) Après 6 mois : \(u_6 = 50\,000 + 6 \times 1500 = 50\,000 + 9\,000 = \mathbf{59\,000}\) FCFA.
Soit \(u_n = \dfrac{2n+1}{n+2}\).
- a) Calculer \(u_0, u_1, u_2, u_3\).
- b) Étudier la monotonie par la différence.
- c) Montrer que \(0 < u_n < 2\) pour tout \(n \geq 0\). La suite est-elle bornée ?
b) \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{2(n+1)+1}{(n+1)+2} - \dfrac{2n+1}{n+2} = \dfrac{2n+3}{n+3} - \dfrac{2n+1}{n+2}\)
\(= \dfrac{(2n+3)(n+2) - (2n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}\)
Numérateur : \((2n^2+7n+6)-(2n^2+7n+3) = 3 > 0\)
→ strictement croissante.
c) \(u_n > 0\) car numérateur et dénominateur sont positifs pour \(n \geq 0\). ✓
\(u_n < 2 \iff 2n+1 < 2(n+2) = 2n+4 \iff 1 < 4\) ✓ toujours vrai.
La suite est bornée : \(0 < u_n < 2\) pour tout \(n \geq 0\).
La population de la ville de Kaya (région du Centre-Nord) est estimée à 80 000 habitants en 2020. Chaque année, elle croît selon la relation :
\(u_{n+1} = 1{,}03 \cdot u_n - 500\)
où \(u_n\) est la population (en habitants) \(n\) années après 2020, et les 500 représentent une émigration annuelle vers Ouagadougou.
- a) Calculer \(u_1, u_2, u_3\) (arrondir à l'entier).
- b) Étudier la monotonie en calculant \(u_{n+1} - u_n\) en fonction de \(u_n\).
- c) La croissance est-elle garantie ? Quel seuil de population rend la suite décroissante ?
\(u_1 = 1{,}03 \times 80\,000 - 500 = 82\,400 - 500 = \mathbf{81\,900}\)
\(u_2 = 1{,}03 \times 81\,900 - 500 = 84\,357 - 500 = \mathbf{83\,857}\)
\(u_3 = 1{,}03 \times 83\,857 - 500 \approx 86\,373 - 500 = \mathbf{85\,873}\)
b) \(u_{n+1} - u_n = 1{,}03\,u_n - 500 - u_n = 0{,}03\,u_n - 500\)
c) \(u_{n+1} - u_n > 0 \iff 0{,}03\,u_n > 500 \iff u_n > \dfrac{500}{0{,}03} \approx 16\,667\)
Tant que la population dépasse environ 16 667 habitants, la suite est croissante. En dessous de ce seuil, l'émigration l'emporterait sur la natalité et la suite deviendrait décroissante. Kaya est bien au-dessus de ce seuil, donc la croissance est garantie dans ce modèle.
À retenir
- Suite : liste ordonnée de réels indexée par \(\mathbb{N}\) — \(u_n\) est le terme de rang \(n\).
- Formule explicite : \(u_n = f(n)\) — calcul direct de n'importe quel terme.
- Récurrence : \(u_{n+1} = g(u_n)\) + premier terme — calcul terme par terme.
- Croissante : \(u_{n+1} - u_n \geq 0\) pour tout \(n\).
- Décroissante : \(u_{n+1} - u_n \leq 0\) pour tout \(n\).
- Méthode du quotient : valide uniquement si tous les \(u_n\) sont strictement positifs.
- Bornée : il existe \(m\) et \(M\) tels que \(m \leq u_n \leq M\) pour tout \(n\).
- Représentation : points \((n\,;\,u_n)\) isolés — on ne relie jamais les points d'une suite.