Leçon 2 — Suites arithmétiques

Définition rigoureuse, terme général, somme des termes et propriétés fondamentales

I. Définition et caractérisation

Une suite \((u_n)\) est dite arithmétique si, d'un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre réel. Ce nombre, noté \(r\), s'appelle la raison de la suite.

\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) \(\iff\) \(\forall n \in \mathbb{N},\; u_{n+1} = u_n + r\) La raison \(r\) peut être positive, négative ou nulle — elle est constante pour tous les termes

La raison se calcule en faisant la différence de deux termes consécutifs quelconques : \(r = u_{n+1} - u_n\) pour tout \(n\). C'est une valeur fixe — si elle change d'un rang à l'autre, la suite n'est pas arithmétique.

🔍 Caractérisation équivalente — différence constante

Une suite \((u_n)\) est arithmétique si et seulement si la différence entre deux termes consécutifs est constante : \[u_{n+1} - u_n = r \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}\] Cette équivalence est fondamentale : pour prouver qu'une suite est arithmétique, il suffit de montrer que \(u_{n+1} - u_n\) est le même nombre pour tout \(n\), indépendamment de \(n\). Pour réfuter qu'elle est arithmétique, il suffit de trouver un seul rang où la différence est différente.

Nerveux explique : Les artisans cordoniers de Ouagadougou vendent leurs sandales en cuir. Si l'artisan décide d'augmenter son prix de 500 FCFA chaque semaine pour couvrir la hausse du coût du cuir, alors ses prix forment une suite arithmétique. La 1ère semaine : 6 000 FCFA ; la 2ème : 6 500 FCFA ; la 3ème : 7 000 FCFA… La raison est \(r = 500\). Ce qui est remarquable avec une suite arithmétique, c'est que tu connais l'augmentation une fois pour toutes — elle ne change jamais, semaine après semaine.

\(r\)→Raison (constante)

\(u_0\)→Premier terme

\(r > 0\)→Suite croissante

\(r < 0\)→Suite décroissante

\(r = 0\)→Suite constante

II. Terme général — formule explicite

La relation de récurrence \(u_{n+1} = u_n + r\) permet de calculer les termes un par un, mais elle est peu pratique pour un terme lointain comme \(u_{100}\). La formule du terme général donne \(u_n\) directement en fonction de \(n\).

\[u_n = u_0 + n \cdot r\] Plus généralement : \(u_n = u_p + (n - p) \cdot r\) pour tous entiers \(n\) et \(p\)

📐 Démonstration de la formule \(u_n = u_0 + nr\)

On part de la relation de récurrence et on l'applique successivement :

\(u_1 = u_0 + r\)

\(u_2 = u_1 + r = (u_0 + r) + r = u_0 + 2r\)

\(u_3 = u_2 + r = (u_0 + 2r) + r = u_0 + 3r\)

En général, après \(n\) étapes, on a ajouté \(r\) exactement \(n\) fois à \(u_0\) :

\(u_n = u_0 + \underbrace{r + r + \cdots + r}_{n \text{ fois}} = u_0 + nr\)

Pour la formule générale \(u_n = u_p + (n-p)r\) : on part de \(u_p\) et on applique \((n-p)\) fois la récurrence (si \(n > p\)) ou on remonte de \((p-n)\) fois (si \(n < p\)). \(\square\)

Interprétation : \(u_n = u_0 + nr\) est une fonction affine de \(n\). Le terme général d'une suite arithmétique est toujours de la forme \(u_n = an + b\), avec \(a = r\) (la raison) et \(b = u_0\) (le premier terme). Réciproquement, toute suite de la forme \(u_n = an + b\) est arithmétique de raison \(a\).

III. Propriétés importantes

📈 Monotonie

La monotonie est entièrement déterminée par le signe de \(r\) :

\(r > 0\) → strictement croissante
\(r < 0\) → strictement décroissante
\(r = 0\) → constante

⚖️ Moyenne arithmétique

Dans une suite arithmétique, tout terme est la moyenne de ses voisins :

\(u_n = \dfrac{u_{n-1} + u_{n+1}}{2}\)

Utile pour retrouver un terme manquant.

↔️ Termes équidistants

Pour tous entiers \(p\) et \(q\) :

\(u_p + u_q = u_{p+k} + u_{q-k}\)

En particulier : \(u_0 + u_n = u_1 + u_{n-1} = \cdots\)

🔗 Relation entre termes

On peut passer directement d'un terme à un autre sans connaître tous les intermédiaires :

\(u_n = u_p + (n-p)r\)

Très utile quand on connaît deux termes quelconques.

IV. Somme des termes consécutifs

Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique est une question classique et fondamentale. La formule est élégante et rapide à appliquer.

\[S = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_q = \frac{(q - p + 1)(u_p + u_q)}{2}\] Nombre de termes × moyenne du premier et du dernier terme

📐 Démonstration — La ruse de Gauss

On note \(S = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_{q-1} + u_q\).

On écrit aussi \(S\) dans l'ordre inverse :

\(S = u_q + u_{q-1} + \cdots + u_{p+1} + u_p\)

En additionnant les deux lignes terme à terme, chaque paire de termes donne \(u_p + u_q\) (grâce à la propriété \(u_k + u_{p+q-k} = u_p + u_q\)) :

\(2S = (u_p + u_q) + (u_{p+1} + u_{q-1}) + \cdots + (u_q + u_p)\)

\(2S = (q - p + 1)(u_p + u_q)\)

D'où \(S = \dfrac{(q-p+1)(u_p + u_q)}{2}\). \(\square\)

Cette méthode est attribuée à Carl Friedrich Gauss, qui l'aurait découverte à 10 ans pour calculer 1+2+…+100 en quelques secondes.

Cas particulier important : La somme des \((n+1)\) premiers entiers naturels est : \[1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\] C'est la formule de Gauss — un cas spécial avec \(u_k = k\), \(u_0 = 0\), \(r = 1\).

V. Représentation graphique

Les termes d'une suite arithmétique, placés dans un repère \((n\,;\,u_n)\), sont toujours alignés — ils appartiennent tous à la droite d'équation \(y = rn + u_0\). C'est la traduction graphique du fait que \(u_n = u_0 + nr\) est une fonction affine de \(n\).

Suite arithmétique \(u_n = 3n - 1\) — les points sont alignés sur la droite \(y = 3n - 1\) (en tirets dorés)

VI. Exemples travaillés

Exemple 1 — Reconnaître une suite arithmétique et trouver sa raison

Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ? Si oui, donner la raison.

a) \(3,\; 7,\; 11,\; 15,\; 19, \ldots\)

Différences : \(7-3 = 4\), \(11-7 = 4\), \(15-11 = 4\), \(19-15 = 4\).

Différence constante \(= 4\) → arithmétique, \(r = 4\).

b) \(u_n = 5n - 2\)

\(u_{n+1} - u_n = [5(n+1)-2] - [5n-2] = 5n+5-2-5n+2 = 5\).

Constante pour tout \(n\) → arithmétique, \(r = 5\).

c) \(1,\; 4,\; 9,\; 16,\; 25, \ldots\) (les carrés parfaits)

Différences : \(4-1=3\), \(9-4=5\), \(16-9=7\). La différence change → non arithmétique.

a) arithmétique \(r=4\) | b) arithmétique \(r=5\) | c) non arithmétique

Exemple 2 — Trouver \(u_n\), calculer un terme et résoudre \(u_n = k\)

Soit une suite arithmétique telle que \(u_3 = 11\) et \(u_7 = 27\).

Étape 1 — Trouver la raison :

\(u_7 = u_3 + (7-3)r \implies 27 = 11 + 4r \implies 4r = 16 \implies r = 4\)

Étape 2 — Trouver \(u_0\) :

\(u_3 = u_0 + 3r \implies 11 = u_0 + 12 \implies u_0 = -1\)

Étape 3 — Formule générale :

\(u_n = -1 + 4n = 4n - 1\)

Étape 4 — Calculer \(u_{20}\) :

\(u_{20} = 4 \times 20 - 1 = 79\)

Étape 5 — Résoudre \(u_n = 99\) :

\(4n - 1 = 99 \implies 4n = 100 \implies n = 25\)

Donc \(u_{25} = 99\).

\(u_n = 4n - 1\) | \(u_{20} = 79\) | \(u_{25} = 99\)

Exemple 3 — Calculer une somme de termes consécutifs

Soit \(u_n = 3n + 2\). Calculer \(S = u_1 + u_2 + \cdots + u_{50}\).

On identifie : \(p = 1\), \(q = 50\), nombre de termes \(= q - p + 1 = 50\).

\(u_1 = 3(1) + 2 = 5\)

\(u_{50} = 3(50) + 2 = 152\)

On applique la formule de la somme :

\(S = \dfrac{50 \times (5 + 152)}{2} = \dfrac{50 \times 157}{2} = \dfrac{7850}{2} = 3925\)

\(S = u_1 + \cdots + u_{50} = 3925\)

Exemple 4 — Somme des entiers : preuve et application

Calculer \(1 + 2 + 3 + \cdots + 100\) (problème de Gauss).

On reconnaît la suite \(u_k = k\), arithmétique de raison 1. Premier terme \(= 1\), dernier \(= 100\), nombre de termes \(= 100\).

\(S = \dfrac{100 \times (1 + 100)}{2} = \dfrac{100 \times 101}{2} = \dfrac{10100}{2} = 5050\)

Gauss aurait trouvé ce résultat en quelques secondes à 10 ans, en observant que :

\(1 + 100 = 101\), \(2 + 99 = 101\), \(3 + 98 = 101\), …

Il y a 50 paires qui valent chacune 101, donc \(S = 50 \times 101 = 5050\).

\(1 + 2 + \cdots + 100 = 5050\)

VII. Application concrète — Situations réelles ⭐

⭐ Situation concrète Sandales en cuir de Ouagadougou — prix et épargne

Un artisan cordonnier du quartier Zogona à Ouagadougou vend des sandales à semelles en cuir. En janvier, il fixe son prix à 6 000 FCFA la paire. Face à la hausse du coût du cuir, il augmente son prix de 250 FCFA chaque mois.

a) Montrer que les prix mensuels forment une suite arithmétique. Donner \(u_1, r\) et \(u_n\).
b) Quel sera le prix en décembre de la même année (mois 12) ?
c) À partir de quel mois le prix dépassera-t-il 8 000 FCFA ?
d) Calculer la recette totale sur les 12 mois si l'artisan vend exactement 10 paires par mois.

Exemple 5 — Sandales en cuir de Zogona

a) Chaque mois, le prix augmente de la même quantité 250 FCFA → suite arithmétique.

\(u_1 = 6000\) FCFA, raison \(r = 250\).

\(u_n = 6000 + (n-1) \times 250 = 5750 + 250n\)

b) Prix en décembre (\(n = 12\)) :

\(u_{12} = 5750 + 250 \times 12 = 5750 + 3000 = 8750\) FCFA

c) On cherche le plus petit \(n\) tel que \(u_n > 8000\) :

\(5750 + 250n > 8000 \implies 250n > 2250 \implies n > 9\)

Le premier entier supérieur à 9 est \(n = 10\). Vérif. : \(u_{10} = 5750 + 2500 = 8250 > 8000\) ✓

Le prix dépasse 8 000 FCFA à partir du 10ème mois (octobre).

d) La recette mensuelle est \(10 \times u_n\) FCFA. La somme des prix sur 12 mois :

\(S_{prix} = u_1 + u_2 + \cdots + u_{12} = \dfrac{12(u_1 + u_{12})}{2} = \dfrac{12(6000 + 8750)}{2} = \dfrac{12 \times 14750}{2} = 88\,500\)

Recette totale \(= 10 \times 88\,500 = \mathbf{885\,000\text{ FCFA}}\)

Prix en décembre : 8 750 FCFA | Prix > 8 000 à partir du mois 10 | Recette annuelle : 885 000 FCFA

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Identifier, calculer, exprimer Facile

Soit la suite arithmétique \((u_n)\) avec \(u_0 = 4\) et \(r = 3\).

a) Écrire la formule explicite de \(u_n\).
b) Calculer \(u_5\), \(u_{10}\), \(u_{100}\).
c) Résoudre \(u_n = 100\).

a) \(u_n = 4 + 3n\)

b) \(u_5 = 4+15 = 19\) ; \(u_{10} = 4+30 = 34\) ; \(u_{100} = 4+300 = 304\)

c) \(4+3n = 100 \implies 3n = 96 \implies n = 32\). Donc \(u_{32} = 100\).

Exercice 2 — Retrouver la suite à partir de deux termes Facile

Déterminer la raison \(r\) et le terme général \(u_n\) sachant que :

a) \(u_2 = 10\) et \(u_6 = 26\)
b) \(u_4 = 1\) et \(u_9 = -14\)

a) \(r = \dfrac{u_6 - u_2}{6-2} = \dfrac{16}{4} = 4\).
\(u_0 = u_2 - 2r = 10 - 8 = 2\). \(u_n = 2 + 4n\)

b) \(r = \dfrac{u_9 - u_4}{9-4} = \dfrac{-15}{5} = -3\).
\(u_0 = u_4 - 4r = 1 - 4(-3) = 1 + 12 = 13\). \(u_n = 13 - 3n\)

Exercice 3 — Somme de termes et Gauss Moyen

Calculer :

a) \(S = 5 + 8 + 11 + \cdots + 302\) (suite de raison 3 partant de 5)
b) \(S = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)\) (somme des \(n\) premiers entiers impairs)

a) \(u_k = 5 + 3(k-1) = 3k+2\). Trouver \(k\) tel que \(u_k = 302\) : \(3k+2=302 \implies k=100\).
\(S = \dfrac{100 \times (5 + 302)}{2} = \dfrac{100 \times 307}{2} = \mathbf{15\,350}\)

b) Suite arithmétique : \(u_k = 2k-1\), \(u_1 = 1\), \(u_n = 2n-1\), \(n\) termes.
\(S = \dfrac{n \times (1 + 2n-1)}{2} = \dfrac{n \times 2n}{2} = \mathbf{n^2}\)
Remarquable : la somme des \(n\) premiers entiers impairs est toujours un carré parfait !

Exercice 4 — Chapeau de Saponé : production artisanale Moyen

Un tisserand de Saponé fabrique des chapeaux tressés. La première semaine il en produit 12, et chaque semaine suivante il en produit 3 de plus grâce à l'amélioration de sa technique.

a) Exprimer \(u_n\), le nombre de chapeaux produits la \(n\)-ème semaine.
b) Combien en produira-t-il la 20ème semaine ?
c) Quelle est la production totale sur les 20 premières semaines ?
d) À partir de quelle semaine la production hebdomadaire dépassera-t-elle 50 chapeaux ?

a) \(u_1 = 12\), \(r = 3\). \(u_n = 12 + (n-1) \times 3 = 3n + 9\)

b) \(u_{20} = 3(20)+9 = 60+9 = \mathbf{69}\) chapeaux.

c) \(S = \dfrac{20(u_1 + u_{20})}{2} = \dfrac{20(12+69)}{2} = \dfrac{20 \times 81}{2} = \mathbf{810}\) chapeaux.

d) \(3n+9 > 50 \implies 3n > 41 \implies n > 13{,}67\).
À partir de la 14ème semaine. Vérif. : \(u_{14} = 42+9 = 51 > 50\) ✓ et \(u_{13} = 39+9 = 48 \leq 50\) ✓

Exercice 5 — Remboursement de prêt à la BCEAO ⭐ Difficile

Un commerçant de Banfora contracte un prêt auprès de la BCEAO. Il rembourse chaque mois une somme formant une suite arithmétique : le premier mois il rembourse 15 000 FCFA, et chaque mois suivant il rembourse 2 000 FCFA de plus que le mois précédent.

a) Exprimer \(u_n\) (remboursement au \(n\)-ème mois) et \(u_n\) en forme explicite.
b) Combien rembourse-t-il au 24ème mois ?
c) Quel est le montant total remboursé après 24 mois ?
d) Si le prêt total est de 1 200 000 FCFA, combien de mois faut-il pour le rembourser entièrement ? (On cherche le plus petit \(n\) tel que \(S_n \geq 1\,200\,000\).)

a) \(u_1 = 15\,000\), \(r = 2\,000\).
\(u_n = 15\,000 + (n-1) \times 2\,000 = 13\,000 + 2\,000n\)

b) \(u_{24} = 13\,000 + 2\,000 \times 24 = 13\,000 + 48\,000 = \mathbf{61\,000}\) FCFA.

c) \(S_{24} = \dfrac{24(u_1 + u_{24})}{2} = \dfrac{24(15\,000 + 61\,000)}{2} = \dfrac{24 \times 76\,000}{2} = 12 \times 76\,000 = \mathbf{912\,000}\) FCFA.

d) \(S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = \dfrac{n(15\,000 + 13\,000 + 2\,000n)}{2} = \dfrac{n(28\,000 + 2\,000n)}{2} = 1\,000n(14 + n)\)
On cherche \(1\,000n(n+14) \geq 1\,200\,000 \implies n(n+14) \geq 1\,200\)
On teste : \(n=30\) : \(30 \times 44 = 1\,320 \geq 1\,200\) ✓ \(n=29\) : \(29 \times 43 = 1\,247 \geq 1\,200\) ✓ \(n=28\) : \(28 \times 42 = 1\,176 < 1\,200\) ✗
Le prêt est entièrement remboursé après 29 mois.
Vérif. : \(S_{29} = 1\,000 \times 29 \times 43 = 1\,247\,000 \geq 1\,200\,000\) ✓

À retenir

Définition : \(u_{n+1} = u_n + r\) pour tout \(n\) — la raison \(r\) est constante.
Terme général : \(u_n = u_0 + nr\) ou \(u_n = u_p + (n-p)r\) pour tout \(p\).
Forme explicite : \(u_n = rn + u_0\) est une fonction affine de \(n\) — graphiquement, les points sont alignés.
Raison : \(r = u_{n+1} - u_n\) est la même pour tout \(n\) ; \(r > 0\) → croissante, \(r < 0\) → décroissante.
Propriété de la moyenne : \(u_n = \dfrac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}\) — tout terme est la moyenne de ses voisins.
Somme : \(S = \dfrac{\text{nb de termes} \times (\text{premier} + \text{dernier})}{2}\).
Gauss : \(1+2+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}\) ; somme des \(n\) impairs \(= n^2\).

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