I. Définition et caractérisation
Une suite \((u_n)\) est dite géométrique si, d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre réel non nul. Ce nombre, noté \(q\), s'appelle la raison de la suite.
La raison se calcule en faisant le quotient de deux termes consécutifs : \(q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) pour tout \(n\) tel que \(u_n \neq 0\). Tous les termes d'une suite géométrique de premier terme \(u_0 \neq 0\) sont non nuls — si un terme était nul, tous les suivants le seraient aussi (car \(u_{n+1} = q \cdot u_n = q \cdot 0 = 0\)), ce qui rendrait la raison indéfinie.
Une suite \((u_n)\) dont tous les termes sont non nuls est géométrique si et seulement si le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) est le même pour tout \(n\). Pour prouver qu'une suite est géométrique, on montre que ce quotient est constant. Pour la réfuter, un seul quotient différent suffit.
Attention : la suite constante nulle (\(u_n = 0\) pour tout \(n\)) n'est pas géométrique car la raison serait indéfinie. Une suite géométrique a obligatoirement tous ses termes non nuls.
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II. Terme général — formule explicite
Comme pour les suites arithmétiques, on cherche une formule permettant de calculer \(u_n\) directement à partir de \(n\), sans passer par tous les termes précédents.
On déroulele la récurrence \(u_{n+1} = q \cdot u_n\) pas à pas :
\(u_1 = q \cdot u_0\)
\(u_2 = q \cdot u_1 = q \cdot (q \cdot u_0) = q^2 \cdot u_0\)
\(u_3 = q \cdot u_2 = q \cdot (q^2 \cdot u_0) = q^3 \cdot u_0\)
Par récurrence, après \(n\) multiplications par \(q\) :
\(u_n = \underbrace{q \cdot q \cdots q}_{n \text{ fois}} \cdot u_0 = q^n \cdot u_0\)
Pour la formule générale : si on part de \(u_p\), il faut multiplier par \(q\) exactement \((n-p)\) fois pour atteindre \(u_n\), d'où \(u_n = u_p \cdot q^{n-p}\). \(\square\)
III. Comportement selon la raison \(q\)
| Valeur de \(q\) | Signe des termes | Comportement | Exemple (\(u_0 = 1\)) |
|---|---|---|---|
| \(q > 1\) | Tous positifs (si \(u_0 > 0\)) | Strictement croissante, tend vers \(+\infty\) | \(q=2\) : \(1, 2, 4, 8, 16, \ldots\) |
| \(q = 1\) | Tous égaux à \(u_0\) | Constante | \(1, 1, 1, 1, \ldots\) |
| \(0 < q < 1\) | Tous positifs (si \(u_0 > 0\)) | Strictement décroissante, tend vers 0 | \(q=\frac{1}{2}\) : \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots\) |
| \(-1 < q < 0\) | Alternés, \(|u_n| \to 0\) | Oscillations amorties vers 0 | \(q=-\frac{1}{2}\) : \(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, \ldots\) |
| \(q = -1\) | Alternés \(\pm u_0\) | Oscillations permanentes | \(1, -1, 1, -1, \ldots\) |
| \(q < -1\) | Alternés, \(|u_n| \to +\infty\) | Oscillations divergentes | \(q=-2\) : \(1, -2, 4, -8, \ldots\) |
IV. Propriétés importantes
Analogue à la moyenne arithmétique \(u_n = \frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}\).
En particulier : \(u_0 \cdot u_n = u_1 \cdot u_{n-1} = \cdots = u_k \cdot u_{n-k}\).
V. Somme des termes consécutifs
Calculer la somme \(S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1}\) (somme des \(n\) premiers termes) est une question fondamentale, avec une formule remarquable qui exploite la structure multiplicative de la suite.
On note \(S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0(1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1})\).
On multiplie \(S\) par \(q\) :
\(qS = u_0(q + q^2 + \cdots + q^{n-1} + q^n)\)
On soustrait \(qS\) de \(S\) — tous les termes intermédiaires s'annulent :
\(S - qS = u_0(1 - q^n)\)
\(S(1 - q) = u_0(1 - q^n)\)
Si \(q \neq 1\), on peut diviser par \((1-q) \neq 0\) :
\(S = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}\) \(\square\)
Remarque : cette même technique donne la formule de la somme géométrique \(1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1} = \dfrac{1-q^n}{1-q}\), fondamentale en algèbre.
VI. Représentation graphique — comparaison arithmétique vs géométrique
La croissance géométrique (exponentielle) dépasse rapidement la croissance arithmétique (linéaire) — ici dès \(n = 3\)
VII. Exemples travaillés
Les suites suivantes sont-elles géométriques ? Si oui, donner la raison.
a) \(3,\; 6,\; 12,\; 24,\; 48, \ldots\)
Quotients : \(\frac{6}{3}=2\), \(\frac{12}{6}=2\), \(\frac{24}{12}=2\), \(\frac{48}{24}=2\).
Quotient constant \(= 2\) → géométrique, \(q = 2\).
b) \(u_n = 5 \times 3^n\)
\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{5 \times 3^{n+1}}{5 \times 3^n} = 3\) pour tout \(n\).
Quotient constant → géométrique, \(q = 3\).
c) \(1,\; 2,\; 4,\; 7,\; 11, \ldots\)
Quotients : \(\frac{2}{1}=2\), \(\frac{4}{2}=2\), \(\frac{7}{4}=1{,}75\). La raison change → non géométrique.
Soit une suite géométrique telle que \(u_2 = 12\) et \(u_5 = 96\).
Étape 1 — Trouver la raison :
\(u_5 = u_2 \cdot q^{5-2} \implies 96 = 12 \cdot q^3 \implies q^3 = 8 \implies q = 2\)
Étape 2 — Trouver \(u_0\) :
\(u_2 = u_0 \cdot q^2 \implies 12 = u_0 \cdot 4 \implies u_0 = 3\)
Étape 3 — Formule générale :
\(u_n = 3 \times 2^n\)
Vérification : \(u_2 = 3 \times 4 = 12\) ✓ \(u_5 = 3 \times 32 = 96\) ✓
Calculer \(S = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{10}\).
Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1\), raison \(q = 2\), avec \(n = 11\) termes (de l'indice 0 à l'indice 10).
\(S = 1 \times \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 2048}{-1} = \dfrac{-2047}{-1} = 2047\)
Vérification rapide : \(S = 2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047\) ✓
En général : \(1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1}\) pour \(q \neq 1\).
VIII. Application concrète — Situations réelles ⭐
Les biologistes estiment que la population de caïmans sacrés de Sabou croît de 15 % par an. En 2020, on dénombre 80 caïmans.
- a) Modéliser la population \(u_n\) après \(n\) années sous forme de suite géométrique. Donner \(u_0\), \(q\) et la formule explicite.
- b) Quelle sera la population en 2030 ? En 2040 ?
- c) À partir de quelle année la population dépassera-t-elle 200 caïmans ?
- d) Quelle est la croissance totale cumulée sur 10 ans (somme des populations annuelles) ?
a) Une croissance de 15 % par an signifie que chaque année la population est multipliée par \(1 + 0{,}15 = 1{,}15\).
\(u_0 = 80\), raison \(q = 1{,}15\)
\(u_n = 80 \times 1{,}15^n\)
b) En 2030 : \(n = 10\) ans après 2020.
\(u_{10} = 80 \times 1{,}15^{10} \approx 80 \times 4{,}046 \approx \mathbf{324}\) caïmans
En 2040 : \(n = 20\).
\(u_{20} = 80 \times 1{,}15^{20} \approx 80 \times 16{,}37 \approx \mathbf{1\,310}\) caïmans
c) On cherche le plus petit \(n\) tel que \(u_n > 200\) :
\(80 \times 1{,}15^n > 200 \implies 1{,}15^n > 2{,}5\)
On prend le logarithme (croissant, le sens est conservé) :
\(n \ln(1{,}15) > \ln(2{,}5) \implies n > \dfrac{\ln(2{,}5)}{\ln(1{,}15)} \approx \dfrac{0{,}916}{0{,}140} \approx 6{,}54\)
Donc à partir de \(n = 7\), soit en 2027.
Vérification : \(u_7 = 80 \times 1{,}15^7 \approx 80 \times 2{,}660 \approx 213 > 200\) ✓
d) Somme des populations sur 10 ans (\(n = 0\) à \(n = 9\), soit 10 termes) :
\(S = 80 \times \dfrac{1 - 1{,}15^{10}}{1 - 1{,}15} = 80 \times \dfrac{1 - 4{,}046}{-0{,}15} = 80 \times \dfrac{-3{,}046}{-0{,}15} \approx 80 \times 20{,}3 \approx \mathbf{1\,624}\)
✏️ Exercices d'application
Soit la suite géométrique \((u_n)\) avec \(u_0 = 5\) et \(q = 3\).
- a) Écrire la formule explicite de \(u_n\).
- b) Calculer \(u_4\), \(u_6\), \(u_{10}\).
- c) Résoudre \(u_n = 5 \times 3^8\).
- d) Calculer \(S = u_0 + u_1 + \cdots + u_7\).
b) \(u_4 = 5 \times 81 = 405\) ; \(u_6 = 5 \times 729 = 3645\) ; \(u_{10} = 5 \times 59049 = 295\,245\)
c) \(5 \times 3^n = 5 \times 3^8 \implies 3^n = 3^8 \implies n = 8\)
d) \(S = 5 \times \dfrac{1-3^8}{1-3} = 5 \times \dfrac{1-6561}{-2} = 5 \times \dfrac{6560}{2} = 5 \times 3280 = \mathbf{16\,400}\)
Déterminer la raison \(q\) et le terme général \(u_n\) sachant que :
- a) \(u_1 = 6\) et \(u_4 = 48\)
- b) \(u_2 = 9\) et \(u_5 = \dfrac{1}{3}\)
\(u_0 = u_1 / q = 6/2 = 3\). \(u_n = 3 \times 2^n\)
b) \(u_5 = u_2 \cdot q^3 \implies \frac{1}{3} = 9q^3 \implies q^3 = \frac{1}{27} \implies q = \frac{1}{3}\).
\(u_0 = u_2 / q^2 = 9 / \frac{1}{9} = 81\). \(u_n = 81 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{81}{3^n} = 3^{4-n}\)
Koffi place 100 000 FCFA sur un compte rémunéré à 6 % par an (intérêts composés) à la BCEAO. On note \(u_n\) le capital après \(n\) années.
- a) Montrer que \((u_n)\) est géométrique et préciser \(u_0\) et \(q\).
- b) Exprimer \(u_n\) puis calculer le capital après 5 ans, 10 ans et 20 ans.
- c) En combien d'années le capital double-t-il ? (Utiliser \(\ln 2 \approx 0{,}693\) et \(\ln 1{,}06 \approx 0{,}0583\).)
Quotient constant \(q = 1{,}06\) → géométrique. \(u_0 = 100\,000\).
b) \(u_n = 100\,000 \times 1{,}06^n\)
\(u_5 = 100\,000 \times 1{,}06^5 \approx 100\,000 \times 1{,}3382 \approx \mathbf{133\,820}\) FCFA
\(u_{10} \approx 100\,000 \times 1{,}7908 \approx \mathbf{179\,080}\) FCFA
\(u_{20} \approx 100\,000 \times 3{,}2071 \approx \mathbf{320\,710}\) FCFA
c) \(u_n = 2u_0 \implies 1{,}06^n = 2 \implies n \ln 1{,}06 = \ln 2\)
\(n = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}0583} \approx 11{,}9\)
Le capital double en 12 ans. (Règle des 72 : \(72 / 6 = 12\) ✓)
Grâce à un nouveau métier à tisser, un artisan de Saponé double sa production de chapeaux tressés chaque mois. Le premier mois il produit 5 chapeaux.
- a) Modéliser la production mensuelle \(u_n\) par une suite géométrique.
- b) Combien de chapeaux produit-il le 8ème mois ?
- c) Quelle est la production totale sur les 8 premiers mois ?
- d) À partir de quel mois la production mensuelle dépasse-t-elle 1 000 chapeaux ?
b) \(u_8 = 5 \times 2^7 = 5 \times 128 = \mathbf{640}\) chapeaux.
c) \(S = 5 \times \dfrac{1 - 2^8}{1 - 2} = 5 \times \dfrac{1-256}{-1} = 5 \times 255 = \mathbf{1\,275}\) chapeaux.
d) \(5 \times 2^{n-1} > 1000 \implies 2^{n-1} > 200\).
\(2^7 = 128 < 200\) et \(2^8 = 256 > 200\), donc \(n-1 \geq 8 \implies n \geq 9\).
À partir du 9ème mois. Vérif. : \(u_9 = 5 \times 256 = 1280 > 1000\) ✓
La surface forestière d'une zone du Sahel burkinabè diminue de 8 % par an en raison de la déforestation. En 2015, la surface est de 50 000 hectares.
- a) Exprimer la surface \(u_n\) (en hectares) après \(n\) années. Quelle est la raison ?
- b) Quelle sera la surface en 2025 ? En 2035 ?
- c) En quelle année la surface sera-t-elle inférieure à la moitié de la surface initiale ? (Utiliser \(\ln(0{,}5) \approx -0{,}693\) et \(\ln(0{,}92) \approx -0{,}0834\).)
- d) Si des mesures de reboisement augmentent la surface de 3 % par an à partir de 2025, modéliser la surface pour \(n \geq 10\). La forêt se rétablit-elle ?
\(u_0 = 50\,000\), \(q = 0{,}92\). \(u_n = 50\,000 \times 0{,}92^n\)
b) En 2025 : \(n = 10\). \(u_{10} = 50\,000 \times 0{,}92^{10} \approx 50\,000 \times 0{,}4344 \approx \mathbf{21\,720}\) ha
En 2035 : \(n = 20\). \(u_{20} \approx 50\,000 \times 0{,}1887 \approx \mathbf{9\,435}\) ha
c) \(0{,}92^n < 0{,}5 \implies n \ln(0{,}92) < \ln(0{,}5) \implies n \times (-0{,}0834) < -0{,}693\)
En divisant par un négatif, le sens s'inverse : \(n > \dfrac{0{,}693}{0{,}0834} \approx 8{,}31\)
Donc à partir de \(n = 9\), soit en 2024. Vérif. : \(u_9 \approx 50000 \times 0{,}472 \approx 23\,600\) ha > 25000 ✗... attendons : \(u_9 \approx 0{,}92^9 \approx 0{,}472 \times 50000 = 23{,}600\) — recalculons : \(0{,}92^9 \approx 0{,}4722\), donc \(u_9 \approx 23\,610\) < 25000 ✓ — la surface est inférieure à la moitié dès 2024.
d) À partir de \(n = 10\) (2025), la surface croît de 3 % par an. En partant de \(u_{10} \approx 21\,720\) ha :
\(v_k = 21\,720 \times 1{,}03^k\) pour \(k \geq 0\).
La raison est \(1{,}03 > 1\) → la suite est croissante, la forêt se rétablit progressivement. Mais elle repart de 21 720 ha, soit déjà moins de la moitié de la surface initiale. La forêt se rétablit en tendance, mais le déficit initial est irréversible à court terme.
À retenir
- Définition : \(u_{n+1} = q \cdot u_n\) avec \(q \neq 0\) et \(u_0 \neq 0\).
- Terme général : \(u_n = u_0 \cdot q^n\) ou \(u_n = u_p \cdot q^{n-p}\).
- Raison : \(q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) — constante pour tout \(n\) ; si \(q > 1\) croissance exponentielle, si \(0 < q < 1\) décroissance vers 0, si \(q < 0\) termes alternés en signe.
- Somme : \(S_n = u_0 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}\) pour \(q \neq 1\) ; \(S_n = n \cdot u_0\) si \(q = 1\).
- Propriété clé : \(u_n^2 = u_{n-1} \cdot u_{n+1}\) — tout terme est la moyenne géométrique de ses voisins.
- Croissance géométrique vs arithmétique : la géométrique finit toujours par dominer la linéaire pour \(q > 1\).
- Applications : intérêts composés, démographie, déforestation — tout phénomène à taux de croissance (ou décroissance) constant.