Leçon 5 — Somme des termes d'une suite géométrique

Formule, preuve, formes équivalentes, série géométrique et applications financières

I. La formule centrale

Pour une suite géométrique \((u_n)\) de raison \(q\) et de premier terme \(u_0\), la somme des \(n\) premiers termes (de l'indice 0 à l'indice \(n-1\)) est notée \(S_n\). C'est une des formules les plus utilisées en mathématiques financières, en probabilités et en analyse numérique.

\[S_n = \sum_{k=0}^{n-1} u_k = u_0 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{si } q \neq 1\] Si \(q = 1\) : tous les termes sont égaux à \(u_0\), donc \(S_n = n \cdot u_0\)

Cette formule s'écrit aussi sous la forme équivalente, souvent plus pratique quand les deux membres extrêmes de la somme sont connus :

\[S_n = \frac{u_n \cdot q - u_0}{q - 1} \quad \text{si } q \neq 1\] Ici \(u_n = u_0 q^n\) est le terme qui suit le dernier terme de la somme

🔍 Pourquoi deux formes ? Quelle différence ?

Les deux formules sont rigoureusement équivalentes — elles donnent exactement le même résultat. La première, \(\dfrac{u_0(1-q^n)}{1-q}\), est utile quand on connaît \(u_0\), \(q\) et \(n\). La seconde, \(\dfrac{u_n q - u_0}{q-1}\), est utile quand on connaît le premier et le dernier terme de la somme, sans avoir à calculer \(n\) explicitement.

En pratique, la première est la plus couramment utilisée. Mais la seconde est particulièrement élégante : elle rappelle la formule arithmétique \(S = \dfrac{N(u_p+u_q)}{2}\), mais pour la géométrique c'est un quotient, pas une moyenne.

Nerveux explique : Imagine le Musée National du Burkina Faso qui lance une campagne de dons. Le premier donateur donne 1 000 FCFA, le deuxième donne le double soit 2 000 FCFA, le troisième 4 000 FCFA, et ainsi de suite. Si 10 donateurs participent, combien le musée reçoit-il en tout ? Calculer \(1000 + 2000 + 4000 + \cdots\) terme par terme prendrait du temps. La formule de la somme géométrique donne la réponse en deux lignes : \(S_{10} = 1000 \times \dfrac{1-2^{10}}{1-2} = 1000 \times 1023 = 1\,023\,000\) FCFA. C'est la puissance de la formule.

II. Démonstration complète

La preuve de cette formule repose sur une idée simple mais élégante : multiplier la somme par \(q\) crée un décalage qui permet d'éliminer tous les termes intermédiaires par soustraction.

📐 Démonstration par la technique du décalage

On pose \(S = u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{n-1}\), c'est-à-dire :

\(S = u_0 + u_0 q + u_0 q^2 + \cdots + u_0 q^{n-1} = u_0(1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1})\)

On multiplie les deux membres par \(q\) :

\(qS = u_0(q + q^2 + q^3 + \cdots + q^n)\)

On soustrait \(qS\) de \(S\) — tous les termes intermédiaires \(q, q^2, \ldots, q^{n-1}\) s'annulent :

\(S - qS = u_0(1 + \cancel{q} + \cancel{q^2} + \cdots + \cancel{q^{n-1}}) - u_0(\cancel{q} + \cancel{q^2} + \cdots + \cancel{q^{n-1}} + q^n)\)

\(S(1 - q) = u_0(1 - q^n)\)

Si \(q \neq 1\), on peut diviser par \((1-q) \neq 0\) :

\(S = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q} \quad \square\)

Remarque : si \(q = 1\), la soustraction \(S - qS = S - S = 0\) donne \(0 = 0\), ce qui est inutile. Dans ce cas, tous les termes valent \(u_0\) et \(S = n \cdot u_0\) directement.

III. La somme géométrique pure \(1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1}\)

Un cas particulier fondamental est la somme géométrique avec \(u_0 = 1\). Elle est si fréquente qu'elle mérite sa propre formule, notée souvent \(G_n\).

\[G_n = \sum_{k=0}^{n-1} q^k = 1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1} = \frac{1-q^n}{1-q} \quad (q \neq 1)\] La somme géométrique de base — tous les calculs géométriques s'y ramènent

Identité de factorisation : La formule \(G_n = \dfrac{1-q^n}{1-q}\) implique que : \[(1-q)(1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1}) = 1 - q^n\] C'est une identité algébrique remarquable, valable pour tout \(q\). En particulier pour \(q = -1\) : \(1 - 1 + 1 - 1 + \cdots\) — alternances qui s'annulent. Pour \(n = 2\) : \((1-q)(1+q) = 1-q^2\), la différence de carrés bien connue. Pour \(n = 3\) : \((1-q)(1+q+q^2) = 1-q^3\), qui donne \(a^3 - b^3\) en substituant \(q = b/a\).

IV. Formes équivalentes et astuces de calcul

SituationFormule recommandéeRemarque On connaît \(u_0\), \(q\), \(n\) \(S = u_0 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}\) Forme standard — la plus utilisée On connaît le premier et dernier terme \(S = \dfrac{u_n q - u_0}{q-1}\) Pratique sans calculer \(n\) explicitement \(q > 1\), pour éviter les fractions négatives \(S = u_0 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}\) Même formule, numérateur et dénominateur multipliés par \(-1\) Somme de \(u_p\) à \(u_q\) \(S = u_p \cdot \dfrac{1-q^{q-p+1}}{1-q}\) On part de \(u_p\), il y a \((q-p+1)\) termes \(q = 1\) \(S = n \cdot u_0\) Suite constante — tous les termes valent \(u_0\)

⚠ Piège fréquent — compter le nombre de termes : La somme \(u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1}\) contient \(n\) termes (de l'indice 0 à \(n-1\)). La somme \(u_0 + u_1 + \cdots + u_n\) contient \(n+1\) termes. Toujours écrire la somme en notation sigma avant d'appliquer la formule, et identifier clairement la borne supérieure.

V. Méthode de calcul systématique

Identifier que la suite est géométrique : vérifier que le quotient de deux termes consécutifs est constant, relever \(u_0\) et \(q\).
Écrire la somme en notation sigma et identifier clairement les bornes \(p\) et \(q_{\text{borne}}\), puis calculer le nombre de termes \(N\).
Vérifier que \(q \neq 1\) ; si \(q = 1\), appliquer \(S = N \cdot u_0\) directement.
Appliquer la formule \(S = u_p \cdot \dfrac{1-q^N}{1-q}\) où \(u_p\) est le premier terme de la somme.
Simplifier et vérifier le résultat par un ordre de grandeur : \(S\) doit être du même ordre que \(N \times u_{\text{moyen}}\).

VI. Visualisation — la croissance exponentielle de la somme

Pour une suite géométrique de raison \(q > 1\), la somme cumulée \(S_n\) croît elle-même exponentiellement. Plus la raison est grande, plus la somme est dominée par le dernier terme — un fait crucial en finance et en épidémiologie.

Somme cumulée \(S_n = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1}\) — chaque couche colorée représente un terme \(u_k = 2^k\)

VII. Exemples travaillés

Exemple 1 — Calcul direct

Calculer \(S = 3 + 6 + 12 + 24 + \cdots + 3 \times 2^9\).

Suite géométrique : \(u_0 = 3\), \(q = 2\). Le dernier terme est \(u_9 = 3 \times 2^9\), donc il y a \(N = 10\) termes (de l'indice 0 à 9).

\(S = 3 \times \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 3 \times \dfrac{1 - 1024}{-1} = 3 \times 1023 = 3069\)

Vérification alternative : \(S = \dfrac{u_{10} \cdot q - u_0}{q-1} = \dfrac{3 \times 2^{10} - 3}{1} = 3(1024-1) = 3069\) ✓

\(S = 3069\)

Exemple 2 — Somme à bornes non standard

Calculer \(\displaystyle\sum_{k=3}^{8} 2^k\).

Il s'agit de \(2^3 + 2^4 + \cdots + 2^8\). On peut utiliser la relation de Chasles :

\(\sum_{k=3}^{8} 2^k = \sum_{k=0}^{8} 2^k - \sum_{k=0}^{2} 2^k\)

\(= \dfrac{1 - 2^9}{1-2} - \dfrac{1 - 2^3}{1-2} = (2^9 - 1) - (2^3 - 1) = 511 - 7 = 504\)

Méthode directe : \(u_0 = 2^3 = 8\), raison \(q=2\), \(N = 8-3+1 = 6\) termes.

\(S = 8 \times \dfrac{1-2^6}{1-2} = 8 \times 63 = 504\) ✓

\(\displaystyle\sum_{k=3}^{8} 2^k = 504\)

Exemple 3 — Trouver \(n\) à partir de la somme

Pour quelle valeur de \(n\) a-t-on \(2 + 6 + 18 + \cdots + 2 \times 3^{n-1} = 728\) ?

Suite géométrique : \(u_1 = 2\), \(q = 3\), \(n\) termes.

\(S = 2 \times \dfrac{1-3^n}{1-3} = 2 \times \dfrac{1-3^n}{-2} = 3^n - 1\)

On résout \(3^n - 1 = 728\) :

\(3^n = 729 = 3^6 \implies n = 6\)

Vérification : \(S = 3^6 - 1 = 729 - 1 = 728\) ✓

\(n = 6\)

Exemple 4 — Utilisation de la factorisation \(1-q^n\)

Calculer \(S = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{8} + \cdots + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{9}\).

Suite géométrique : \(u_0 = 1\), \(q = -\dfrac{1}{2}\), \(N = 10\) termes (indices 0 à 9).

\(S = 1 \times \dfrac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{10}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \dfrac{1 - \frac{1}{1024}}{\frac{3}{2}} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1023}{1024} = \dfrac{2046}{3072} = \dfrac{341}{512}\)

\(S = \dfrac{341}{512} \approx 0{,}666\)

VIII. Introduction à la série géométrique — limite quand \(n \to \infty\)

Pour une suite géométrique de raison \(|q| < 1\), les termes tendent vers 0 quand \(n\) croît. Une question naturelle est : vers quelle valeur la somme \(S_n\) tend-elle quand \(n \to \infty\) ?

📐 Limite de \(S_n\) quand \(|q| < 1\) et \(n \to \infty\)

On part de \(S_n = u_0 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}\).

Si \(|q| < 1\), alors \(q^n \to 0\) quand \(n \to +\infty\) (les puissances d'un nombre de valeur absolue inférieure à 1 tendent vers 0). Donc :

\(\lim_{n \to +\infty} S_n = u_0 \cdot \dfrac{1 - 0}{1 - q} = \dfrac{u_0}{1-q}\)

Cette limite, notée \(S_\infty\), est la somme de la série géométrique. Elle représente la somme de tous les termes de la suite jusqu'à l'infini.

\[S_\infty = \sum_{k=0}^{+\infty} u_0 q^k = \frac{u_0}{1-q} \quad \text{si } |q| < 1\] La série diverge (pas de limite finie) si \(|q| \geq 1\)

Exemple fondamental : \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots = \dfrac{1/2}{1 - 1/2} = 1\). La somme de tous ces fractions, aussi infiniment petites qu'elles deviennent, est exactement 1. C'est le paradoxe de Zénon résolu : Achille finit bien par rattraper la tortue, car la somme infinie des distances parcourues converge.

IX. Application concrète — Situations réelles ⭐

⭐ Situation concrète Capital et intérêts composés — Banque à Ouagadougou

Kofi dépose 100 000 FCFA chaque début d'année dans un compte rémunéré à 5 % par an (intérêts composés) à une banque de Ouagadougou. Il fait cela pendant 10 ans. On note \(C_n\) le capital total (dépôts + intérêts accumulés) après \(n\) années.

a) Montrer que le capital total après \(n\) versements est une somme géométrique. Exprimer \(C_n\) en fonction de \(n\).
b) Calculer \(C_{10}\) et interpréter la part des intérêts.
c) Après combien d'années le capital dépasse-t-il 1 500 000 FCFA ?

Exemple 5 — Intérêts composés à Ouagadougou

a) Chaque versement de 100 000 FCFA en début d'année \(k\) (pour \(k = 1, 2, \ldots, n\)) est capitalisé pendant \((n - k + 1)\) années au taux \(r = 0{,}05\). Sa valeur au bout de \(n\) ans est :

\(100\,000 \times 1{,}05^{n-k+1}\)

Le capital total est donc la somme pour \(k\) allant de 1 à \(n\) :

\(C_n = 100\,000 \sum_{k=1}^{n} 1{,}05^{n-k+1} = 100\,000 \times 1{,}05 \sum_{j=0}^{n-1} 1{,}05^j\)

où on a posé \(j = n - k\). C'est une somme géométrique de raison \(q = 1{,}05\) :

\(C_n = 105\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}05^n}{1 - 1{,}05} = 105\,000 \times \dfrac{1{,}05^n - 1}{0{,}05} = 2\,100\,000 \times (1{,}05^n - 1)\)

b) \(C_{10} = 2\,100\,000 \times (1{,}05^{10} - 1)\).

\(1{,}05^{10} \approx 1{,}6289\)

\(C_{10} \approx 2\,100\,000 \times 0{,}6289 \approx \mathbf{1\,320\,690}\) FCFA

Kofi a versé \(10 \times 100\,000 = 1\,000\,000\) FCFA en tout. Les intérêts représentent donc environ \(320\,690\) FCFA, soit 32 % du capital final.

c) On cherche le plus petit \(n\) tel que \(C_n \geq 1\,500\,000\) :

\(2\,100\,000(1{,}05^n - 1) \geq 1\,500\,000 \implies 1{,}05^n \geq \dfrac{1\,500\,000}{2\,100\,000} + 1 = 1{,}7143\)

\(n \geq \dfrac{\ln(1{,}7143)}{\ln(1{,}05)} \approx \dfrac{0{,}538}{0{,}0488} \approx 11{,}02\)

À partir de \(n = 12\) ans (après 12 versements annuels).

\(C_{10} \approx \mathbf{1\,320\,690}\) FCFA | Intérêts : ≈ 32 % | 1,5 M FCFA dépassé à partir de la 12ème année

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Calcul de sommes géométriques

Calculer les sommes suivantes :

a) \(1 + 3 + 9 + \cdots + 3^{10}\)
b) \(\displaystyle\sum_{k=0}^{7} 5 \times 2^k\)
c) \(2 - 4 + 8 - 16 + \cdots + (-1)^9 \times 2^{10}\)

a) \(u_0=1\), \(q=3\), \(N=11\) termes (de \(3^0\) à \(3^{10}\)).
\(S = \dfrac{1-3^{11}}{1-3} = \dfrac{1-177147}{-2} = \dfrac{177146}{2} = \mathbf{88\,573}\)

b) \(u_0=5\), \(q=2\), \(N=8\) termes.
\(S = 5 \times \dfrac{1-2^8}{1-2} = 5 \times 255 = \mathbf{1275}\)

c) Suite : \(u_0=2\), \(q=-2\), \(N=10\) termes (de \((-2)^1\) à \((-2)^{10}\), soit \(k=1\) à \(k=10\)).
En fait \(u_k = (-1)^{k+1} \times 2^k\) pour \(k=1\ldots 10\), donc \(u_1=2\), raison \(q=-2\).
\(S = 2 \times \dfrac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)} = 2 \times \dfrac{1-1024}{3} = 2 \times \dfrac{-1023}{3} = \dfrac{-2046}{3} = \mathbf{-682}\)

Exercice 2 — Retrouver le nombre de termes

Déterminer \(n\) dans chaque cas :

a) \(1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} = 1023\)
b) \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} 3^k = 1093\)

a) \(S = \dfrac{1-2^n}{1-2} = 2^n - 1 = 1023 \implies 2^n = 1024 = 2^{10} \implies \mathbf{n=10}\)

b) \(\dfrac{1-3^{n+1}}{1-3} = \dfrac{3^{n+1}-1}{2} = 1093 \implies 3^{n+1} = 2187 = 3^7 \implies n+1 = 7 \implies \mathbf{n=6}\)
Vérif. : \(S_6 = \frac{3^7-1}{2} = \frac{2186}{2} = 1093\) ✓

Exercice 3 — Récolte de karité au Burkina

Une coopérative de femmes productrices de karité dans la région du Centre-Ouest augmente sa production de 20 % par an. La première année, elle produit 500 kg de beurre de karité.

a) Exprimer la production \(u_n\) l'année \(n\) et la production cumulée \(S_n\) sur les \(n\) premières années.
b) Calculer la production cumulée sur 8 ans.
c) À partir de quelle année la production cumulée dépasse-t-elle 10 000 kg ?

a) \(u_1 = 500\), \(q = 1{,}2\). \(u_n = 500 \times 1{,}2^{n-1}\).
\(S_n = 500 \times \dfrac{1-1{,}2^n}{1-1{,}2} = 500 \times \dfrac{1{,}2^n - 1}{0{,}2} = 2500(1{,}2^n - 1)\)

b) \(S_8 = 2500(1{,}2^8 - 1) \approx 2500(4{,}2998 - 1) = 2500 \times 3{,}2998 \approx \mathbf{8\,250}\) kg.

c) \(2500(1{,}2^n-1) \geq 10000 \implies 1{,}2^n \geq 5\)
\(n \geq \dfrac{\ln 5}{\ln 1{,}2} \approx \dfrac{1{,}609}{0{,}182} \approx 8{,}84\)
À partir de l'année 9. Vérif. : \(S_9 = 2500(1{,}2^9-1) \approx 2500 \times 4{,}16 \approx 10\,400 \geq 10\,000\) ✓

Exercice 4 — Série géométrique et taux d'actualisation

Une entreprise de Bobo-Dioulasso prévoit de recevoir des revenus annuels de 200 000 FCFA pendant une durée indéfinie (on dit "à perpétuité"). Le taux d'actualisation annuel est de 8 %, ce qui signifie qu'un revenu de \(R\) reçu dans \(k\) années vaut aujourd'hui \(R \times (1{,}08)^{-k}\).

a) Exprimer la valeur actuelle totale \(V\) de ces revenus comme une série géométrique (somme infinie) de premier terme \(u_1 = 200\,000 \times (1{,}08)^{-1}\) et de raison \(q = (1{,}08)^{-1}\).
b) En utilisant la formule de la série géométrique convergente \(S_\infty = \dfrac{u_1}{1-q}\), calculer \(V\). Commenter.

a) \(V = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} 200\,000 \times (1{,}08)^{-k}\).
Premier terme : \(u_1 = 200\,000 / 1{,}08\). Raison : \(q = 1/1{,}08 \approx 0{,}926 < 1\).
La série converge car \(|q| < 1\). ✓

b) \(V = \dfrac{u_1}{1-q} = \dfrac{200\,000/1{,}08}{1 - 1/1{,}08} = \dfrac{200\,000/1{,}08}{0{,}08/1{,}08} = \dfrac{200\,000}{0{,}08} = \mathbf{2\,500\,000}\) FCFA

Commentaire : une rente perpétuelle de 200 000 FCFA par an, actualisée à 8 %, vaut exactement \(\dfrac{200\,000}{0{,}08} = 2{,}5\) millions de FCFA aujourd'hui. C'est la formule de Gordon — fondamentale en finance : valeur d'une rente perpétuelle = revenu annuel / taux.

Exercice 5 — Propagation d'une épidémie au Sahel ⭐

Dans une modélisation simplifiée, chaque personne malade contamine en moyenne 1,4 personnes par semaine dans une zone rurale du Sahel burkinabè. La première semaine, 10 personnes sont infectées.

a) Modéliser le nombre de nouvelles infections \(u_n\) la semaine \(n\). Quelle est la raison ?
b) Calculer le nombre total de personnes infectées après 6 semaines cumulées.
c) À partir de quelle semaine le nombre cumulé de cas dépasse-t-il 500 personnes ?
d) Si des mesures sanitaires ramènent le taux de contamination à \(q = 0{,}8\), calculer la limite de l'épidémie (nombre total de cas si l'on somme jusqu'à l'infini). Commenter l'effet des mesures.

a) \(u_1 = 10\), \(q = 1{,}4\). \(u_n = 10 \times 1{,}4^{n-1}\). Raison \(q = 1{,}4 > 1\) → épidémie croissante.

b) \(S_6 = 10 \times \dfrac{1-1{,}4^6}{1-1{,}4} = 10 \times \dfrac{1-7{,}530}{-0{,}4} = 10 \times \dfrac{6{,}530}{0{,}4} \approx 10 \times 16{,}33 \approx \mathbf{163}\) cas cumulés.

c) \(S_n = 10 \times \dfrac{1{,}4^n - 1}{0{,}4} = 25(1{,}4^n - 1) \geq 500\)
\(1{,}4^n \geq 21 \implies n \geq \dfrac{\ln 21}{\ln 1{,}4} \approx \dfrac{3{,}045}{0{,}336} \approx 9{,}06\)
À partir de la semaine 10. Vérif. : \(S_{10} = 25(1{,}4^{10}-1) \approx 25 \times 27{,}31 \approx 683 \geq 500\) ✓

d) Avec \(q = 0{,}8 < 1\), la série converge :
\(S_\infty = \dfrac{u_1}{1-q} = \dfrac{10}{1-0{,}8} = \dfrac{10}{0{,}2} = \mathbf{50}\) cas au total.
L'effet est spectaculaire : sans mesures, l'épidémie croît indéfiniment ; avec des mesures ramenant \(q < 1\), le nombre total de cas est borné par 50 personnes. C'est la différence entre une épidémie incontrôlable et une épidémie naturellement éteinte.

À retenir

Formule principale : \(S_n = u_0 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}\) pour \(q \neq 1\) — \(n\) termes de l'indice 0 à \(n-1\).
Forme alternative : \(S = \dfrac{u_n q - u_0}{q-1}\) où \(u_n\) est le terme qui suit le dernier.
Somme géométrique pure : \(1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1} = \dfrac{1-q^n}{1-q}\) — identité algébrique fondamentale.
Si \(q = 1\) : \(S_n = n \cdot u_0\) — tous les termes sont égaux.
Piège : bien compter le nombre de termes \(N = q_{\text{borne}} - p_{\text{borne}} + 1\) avant d'appliquer.
Série géométrique : si \(|q| < 1\), \(S_\infty = \dfrac{u_0}{1-q}\) — la somme converge vers une valeur finie.
Si \(|q| \geq 1\) : la somme infinie diverge — elle n'a pas de limite finie.
Applications : capitalisation financière, épidémies, radioactivité — tout phénomène à taux constant.

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