I. La notion de limite — définition rigoureuse
Intuitivement, une suite "converge" vers \(\ell\) si ses termes se rapprochent indéfiniment de \(\ell\) quand \(n\) grandit. La définition rigoureuse formalise cette idée avec la notion de voisinage \(\varepsilon\).
En langage clair : quel que soit l'intervalle ouvert \(]\ell - \varepsilon\,;\,\ell + \varepsilon[\) qu'on trace autour de \(\ell\), tous les termes à partir d'un certain rang \(N\) se trouvent dans cet intervalle. La limite est unique si elle existe.
L'idée de "se rapprocher" est intuitive mais insuffisante. Par exemple, \(u_n = \sin(n)\) "oscille" sans vraiment s'approcher d'une valeur fixe. Et la suite \(u_n = 1 + \frac{1}{n}\) semble "approcher 1" — mais à quelle vitesse ?
La définition \(\varepsilon\)-\(N\) répond à ces questions avec précision : elle dit que la convergence est une propriété universelle — vraie pour tout \(\varepsilon > 0\), même \(\varepsilon = 10^{-100}\). Dès qu'on fixe la précision voulue, on peut trouver le rang à partir duquel tous les termes sont dans cette fenêtre. C'est la base de toute l'analyse.
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II. Limites des suites usuelles
| Suite | Limite | Condition | Comportement |
|---|---|---|---|
| \(u_n = c\) (constante) | \(\ell = c\) | Toujours | Triviale — déjà à la limite |
| \(u_n = q^n\) | \(0\) | \(|q| < 1\) | Décroissance géométrique vers 0 |
| \(u_n = q^n\) | \(+\infty\) | \(q > 1\) | Croissance exponentielle |
| \(u_n = q^n\) | Pas de limite | \(q \leq -1\) | Oscille ou diverge en alternant |
| \(u_n = \dfrac{1}{n^\alpha}\) | \(0\) | \(\alpha > 0\) | Décroissance algébrique vers 0 |
| \(u_n = n^\alpha\) | \(+\infty\) | \(\alpha > 0\) | Croissance polynomiale |
| \(u_n = \dfrac{a_k n^k + \cdots}{b_k n^k + \cdots}\) | \(\dfrac{a_k}{b_k}\) | Même degré | Rapport des coefficients dominants |
III. Théorèmes fondamentaux de convergence
Trois théorèmes constituent la boîte à outils principale pour prouver la convergence d'une suite sans nécessairement calculer sa limite explicitement.
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Ce théorème garantit l'existence de la limite sans la calculer. C'est un des résultats les plus profonds de l'analyse réelle — il dit que \(\mathbb{R}\) est "complet".
Si \(a_n \leq u_n \leq b_n\) pour tout \(n \geq N_0\), et si \(\lim a_n = \lim b_n = \ell\), alors \(\lim u_n = \ell\).
Utile quand on ne sait pas calculer \(\lim u_n\) directement, mais qu'on peut encadrer \(u_n\) par deux suites de même limite.
Toute suite convergente est bornée.
La contraposée est très utile : si une suite est non bornée, alors elle est divergente.
Soit \((u_n)\) croissante et majorée par \(M\). L'ensemble \(\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}\) est non vide et majoré. Par la propriété de la borne supérieure dans \(\mathbb{R}\), cet ensemble admet une borne supérieure \(\ell = \sup\{u_n\}.\)
Montrons que \(u_n \to \ell\). Soit \(\varepsilon > 0\). Par définition de la borne supérieure, \(\ell - \varepsilon\) n'est pas un majorant, donc il existe \(N\) tel que \(u_N > \ell - \varepsilon\). Or \((u_n)\) est croissante, donc pour tout \(n \geq N\) :
\(\ell - \varepsilon < u_N \leq u_n \leq \ell\) (car \(\ell\) est majorant)
Donc \(|u_n - \ell| = \ell - u_n < \varepsilon\) pour tout \(n \geq N\). \(\square\)
IV. Étude de convergence par point fixe
Beaucoup de suites définies par récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\) convergent vers un point fixe de \(f\), c'est-à-dire une valeur \(\ell\) telle que \(f(\ell) = \ell\). Cette approche permet de trouver la limite avant même de prouver la convergence.
V. Suites adjacentes
Deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont dites adjacentes si elles vérifient simultanément trois conditions : l'une croît, l'autre décroît, et elles se rapprochent de plus en plus. Ce concept est fondamental pour approcher les nombres réels — notamment \(e\), \(\pi\) ou \(\sqrt{2}\) — par des suites calculables.
Deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes si :
- \((a_n)\) est croissante
- \((b_n)\) est décroissante
- \(\lim_{n\to\infty}(b_n - a_n) = 0\)
Alors \((a_n)\) et \((b_n)\) convergent toutes les deux vers la même limite \(\ell\), et pour tout \(n\) : \(a_n \leq \ell \leq b_n\).
VI. Visualisation — convergence et non-convergence
Gauche : suite convergente vers \(\ell = 1\) — les termes restent dans la bande \(\varepsilon\) à partir du rang \(N\). Droite : suite oscillante divergente — elle ne reste dans aucune bande.
VII. Exemples travaillés
Calculer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{4n^3 - 2n + 1}{n^3 + 5n^2}\).
On factorise par \(n^3\) au numérateur et au dénominateur :
\(\dfrac{4n^3 - 2n + 1}{n^3 + 5n^2} = \dfrac{n^3\left(4 - \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}\right)}{n^3\left(1 + \frac{5}{n}\right)} = \dfrac{4 - \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{5}{n}}\)
Quand \(n \to +\infty\), \(\frac{1}{n} \to 0\), \(\frac{1}{n^2} \to 0\), \(\frac{1}{n^3} \to 0\), donc :
\(\lim_{n \to +\infty} \dfrac{4 - \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{5}{n}} = \dfrac{4 - 0 + 0}{1 + 0} = 4\)
Montrer que \(u_n = \dfrac{\sin n}{n}\) converge et trouver sa limite.
On sait que \(-1 \leq \sin n \leq 1\) pour tout \(n\). En divisant par \(n > 0\) :
\(-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\sin n}{n} \leq \dfrac{1}{n}\)
Or \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{n}\right) = 0\) et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\).
Les deux suites encadrantes ont la même limite 0. Par le théorème des gendarmes :
\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n} = 0\)
Soit \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\). Montrer que \((u_n)\) converge et trouver sa limite.
Étape 1 — Point fixe : Si \(u_n \to \ell\), alors \(\ell = \sqrt{\ell + 2}\), soit \(\ell^2 = \ell + 2\), soit \(\ell^2 - \ell - 2 = 0\).
\((\ell - 2)(\ell + 1) = 0 \implies \ell = 2\) ou \(\ell = -1\)
Comme \(u_n \geq 0\) pour tout \(n\), la limite ne peut être que \(\ell = 2\).
Étape 2 — Montrons par récurrence que \(u_n \leq 2\) pour tout \(n\) :
\(u_0 = 0 \leq 2\) ✓. Si \(u_n \leq 2\), alors \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2} \leq \sqrt{2+2} = 2\) ✓.
La suite est majorée par 2.
Étape 3 — Montrons que \((u_n)\) est croissante :
\(u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n\). Étudions le signe de \(\sqrt{x+2} - x\) pour \(x \in [0,2]\).
\(\sqrt{x+2} \geq x \iff x+2 \geq x^2 \iff x^2 - x - 2 \leq 0 \iff (x-2)(x+1) \leq 0\)
Ce qui est vrai pour \(x \in [-1, 2]\), donc en particulier pour \(u_n \in [0, 2]\) ✓.
La suite est croissante.
Conclusion : Par le TMB, \((u_n)\) converge. Sa limite est le seul point fixe compatible : \(\ell = 2\).
VIII. Application concrète — Situations réelles ⭐
Le niveau de l'eau au barrage de Bagré (en mètres) est modélisé chaque mois par la suite définie par \(u_0 = 4\) et :
\(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 3\)
- a) Calculer \(u_1, u_2, u_3\). La suite semble-t-elle converger ?
- b) Trouver le point fixe \(\ell\) de la relation de récurrence.
- c) Montrer que la suite est bornée : \(4 \leq u_n \leq 6\) pour tout \(n\).
- d) Montrer que la suite est monotone et conclure par le TMB.
a) Premiers termes :
\(u_1 = \frac{4}{2}+3 = 5\) ; \(u_2 = \frac{5}{2}+3 = 5{,}5\) ; \(u_3 = \frac{5{,}5}{2}+3 = 5{,}75\)
La suite semble croissante et se rapprocher de 6.
b) Point fixe : \(\ell = \dfrac{\ell}{2} + 3 \implies \dfrac{\ell}{2} = 3 \implies \ell = 6\).
c) Encadrement \(4 \leq u_n \leq 6\) par récurrence :
Initialisation : \(u_0 = 4\) ✓ . Hérédité : si \(4 \leq u_n \leq 6\), alors :
\(u_{n+1} = \frac{u_n}{2}+3 \geq \frac{4}{2}+3 = 5 \geq 4\) ✓ et \(u_{n+1} \leq \frac{6}{2}+3 = 6\) ✓
Donc \(4 \leq u_n \leq 6\) pour tout \(n\). La suite est bornée.
d) Monotonie :
\(u_{n+1} - u_n = \frac{u_n}{2}+3 - u_n = 3 - \frac{u_n}{2} = \frac{6 - u_n}{2}\)
Or \(u_n \leq 6\) pour tout \(n\), donc \(6 - u_n \geq 0\), et \(u_{n+1} - u_n \geq 0\) : la suite est croissante.
Par le TMB : croissante et majorée par 6 → convergente. La limite est le point fixe \(\ell = 6\) m.
✏️ Exercices d'application
Calculer les limites suivantes :
- a) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{3n^2 - n + 2}{2n^2 + 5}\)
- b) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{n^3 - 1}{n^2 + n}\)
- c) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n\)
- d) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{\cos n}{n^2 + 1}\)
b) Terme dominant \(n^3/n^2 = n \to +\infty\). \(\lim = \mathbf{+\infty}\)
c) \(|2/3| < 1\) → \(\lim = \mathbf{0}\)
d) \(-1 \leq \cos n \leq 1\), donc \(\left|\frac{\cos n}{n^2+1}\right| \leq \frac{1}{n^2+1} \to 0\). Par les gendarmes : \(\lim = \mathbf{0}\)
Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{2}\).
- a) Calculer \(u_1, u_2, u_3\). Conjecturer la limite.
- b) Trouver le point fixe.
- c) Montrer par récurrence que \(1 \leq u_n \leq 3\) pour tout \(n\).
- d) Montrer que la suite est croissante. Conclure.
b) \(\ell = \frac{\ell+3}{2} \implies 2\ell = \ell+3 \implies \ell = 3\).
c) \(u_0=1\) ✓. Si \(1 \leq u_n \leq 3\) : \(u_{n+1} = \frac{u_n+3}{2} \geq \frac{1+3}{2} = 2 \geq 1\) ✓ et \(u_{n+1} \leq \frac{3+3}{2} = 3\) ✓.
d) \(u_{n+1} - u_n = \frac{u_n+3}{2} - u_n = \frac{3-u_n}{2} \geq 0\) car \(u_n \leq 3\). Croissante ✓.
Par le TMB : croissante et majorée → converge vers \(\ell = \mathbf{3}\).
Un lac de la région des Cascades est peuplé avec des poissons. Chaque année, la population \(u_n\) (en milliers) évolue selon :
\(u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 8\)
avec \(u_0 = 5\) (milliers de poissons).
- a) Calculer \(u_1, u_2, u_3\). La population croît-elle ?
- b) Trouver l'état d'équilibre (point fixe). Interpréter biologiquement.
- c) Montrer que \(5 \leq u_n \leq 20\) pour tout \(n\) et que la suite est croissante.
- d) Conclure sur la convergence. Vers quelle population le lac tend-il à long terme ?
b) \(\ell = 0{,}6\ell+8 \implies 0{,}4\ell = 8 \implies \ell = 20\) milliers. C'est la capacité de charge du lac — la population qu'il peut soutenir durablement.
c) \(u_0=5\) ✓. Si \(5 \leq u_n \leq 20\) :
\(u_{n+1} = 0{,}6u_n+8 \geq 0{,}6\times5+8 = 11 \geq 5\) ✓ \(u_{n+1} \leq 0{,}6\times20+8 = 20\) ✓
\(u_{n+1}-u_n = 0{,}6u_n+8-u_n = 8-0{,}4u_n = 0{,}4(20-u_n) \geq 0\) car \(u_n \leq 20\) ✓ → croissante.
d) Croissante et majorée par 20 → converge. Limite = \(\ell = \mathbf{20\,000}\) poissons.
On définit \(a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\) et \(b_n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}\).
- a) Calculer \(a_1, a_2, a_3\) et \(b_1, b_2, b_3\) (arrondir à 4 décimales).
- b) Vérifier que \(b_n - a_n = \dfrac{1}{n}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \to 0\).
- c) On admet que \((a_n)\) est croissante et \((b_n)\) décroissante. Conclure que \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes. Vers quelle constante converge-t-on ?
\(b_1=(2)^2=4\) ; \(b_2=(1{,}5)^3=3{,}375\) ; \(b_3=(4/3)^4\approx 3{,}1605\)
b) \(b_n - a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} - \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)-1\right] = \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)
Or \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e \approx 2{,}718\) (fini), donc \(b_n-a_n \approx \frac{e}{n} \to 0\) ✓
c) \((a_n)\) croissante, \((b_n)\) décroissante, \(b_n-a_n \to 0\) → suites adjacentes.
Elles convergent toutes les deux vers le même réel : le nombre \(e \approx 2{,}71828\) (base des logarithmes naturels).
Un épargnant de Ouagadougou place chaque mois 10 000 FCFA sur un compte. Le compte rapporte 0,5 % d'intérêts par mois. On note \(C_n\) le capital après \(n\) mois. La récurrence est \(C_{n+1} = 1{,}005\,C_n + 10\,000\) avec \(C_0 = 0\).
- a) Trouver le point fixe de la récurrence. A-t-il un sens économique ?
- b) Montrer que \(v_n = C_n - \ell\) est une suite géométrique de raison \(1{,}005\). En déduire \(C_n\).
- c) Calculer \(C_{12}\) (capital après 1 an) et \(C_{60}\) (après 5 ans).
- d) La suite \((C_n)\) converge-t-elle ? Justifier.
Ce point fixe est négatif — il n'a pas de sens comme capital, mais il est utilisé mathématiquement.
b) \(v_n = C_n - \ell = C_n + 2\,000\,000\).
\(v_{n+1} = C_{n+1}+2\,000\,000 = 1{,}005C_n+10\,000+2\,000\,000 = 1{,}005(C_n+2\,000\,000) = 1{,}005\,v_n\) ✓
Suite géométrique de raison \(1{,}005\), \(v_0 = C_0+2\,000\,000 = 2\,000\,000\).
\(v_n = 2\,000\,000 \times 1{,}005^n\) → \(C_n = 2\,000\,000(1{,}005^n-1)\)
c) \(C_{12} = 2\,000\,000(1{,}005^{12}-1) \approx 2\,000\,000 \times 0{,}0617 \approx \mathbf{123\,400}\) FCFA
\(C_{60} = 2\,000\,000(1{,}005^{60}-1) \approx 2\,000\,000 \times 0{,}3489 \approx \mathbf{697\,800}\) FCFA
d) \(C_n = 2\,000\,000(1{,}005^n-1)\). Or \(1{,}005 > 1\), donc \(1{,}005^n \to +\infty\).
La suite \((C_n)\) diverge vers \(+\infty\) — le capital croît indéfiniment, ce qui est cohérent : on continue d'épargner sans jamais arrêter.
À retenir
- Limite : \(\lim u_n = \ell\) signifie que pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(N\) tel que \(|u_n - \ell| < \varepsilon\) pour tout \(n \geq N\).
- TMB : toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge.
- Gendarmes : si \(a_n \leq u_n \leq b_n\) et \(\lim a_n = \lim b_n = \ell\), alors \(\lim u_n = \ell\).
- Suite convergente ⟹ suite bornée (la contraposée est utile pour prouver la divergence).
- Point fixe : si \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers \(\ell\), alors \(f(\ell) = \ell\).
- Méthode : point fixe → borne → monotonie → TMB → identifier la limite.
- Suites adjacentes : \((a_n)\) croissante, \((b_n)\) décroissante, \(b_n - a_n \to 0\) → même limite \(\ell\) avec \(a_n \leq \ell \leq b_n\).
- \(q^n \to 0\) si \(|q| < 1\), \(q^n \to +\infty\) si \(q > 1\), pas de limite si \(q \leq -1\).