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Leçon 1 — Vecteurs du plan

Définition rigoureuse, opérations, norme, colinéarité et applications géométriques

I. Notion de vecteur — translation et déplacement

Un vecteur est un objet mathématique qui possède deux caractéristiques : une direction (et un sens) et une norme (grandeur). Contrairement à un point qui a une position fixe, un vecteur représente un déplacement — il peut être appliqué depuis n'importe quel point du plan.

🔍 Définition formelle — vecteur \(\overrightarrow{AB}\)

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est la translation qui envoie le point \(A\) sur le point \(B\). Il est caractérisé par :

  • Sa direction : la droite \((AB)\) et le sens de \(A\) vers \(B\)
  • Sa norme (ou module) : la longueur \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\|\)

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme — même si leurs points d'application sont différents. Ainsi, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) si et seulement si \(ABDC\) est un parallélogramme (ou si \(A=C\) et \(B=D\)).

mascotte Nerveux
Nerveux explique : Imagine un vendeur qui se déplace au marché Rood Woko de Ouagadougou. Il fait 30 mètres vers le nord pour aller chercher du tissu, puis 30 mètres vers le nord pour rejoindre un autre commerçant. Ces deux déplacements sont représentés par le même vecteur, même si les positions de départ sont différentes. Un vecteur, c'est la consigne de déplacement — pas la position. "Avance de 30 m vers le nord" est le même ordre, que tu sois au fond du marché ou à l'entrée.
\(\overrightarrow{AB}\)→Vecteur de A vers B
\(\|\overrightarrow{u}\|\)→Norme (longueur)
\(\overrightarrow{0}\)→Vecteur nul
Égaux→Même sens, dir., norme

II. Coordonnées d'un vecteur dans un repère

Dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j})\), tout vecteur \(\vec{u}\) se décompose de façon unique sur les deux vecteurs de base : \(\vec{u} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j}\). On note \(\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et on appelle \(x\) et \(y\) les coordonnées du vecteur.

Si \(A = (x_A\,;\,y_A)\) et \(B = (x_B\,;\,y_B)\), alors : \[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\] Les coordonnées d'un vecteur = coordonnées de l'arrivée moins coordonnées du départ
Piège fréquent : \(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}\). On a \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_A-x_B \\ y_A-y_B \end{pmatrix}\). L'ordre des lettres compte — toujours : arrivée − départ.

III. Opérations sur les vecteurs

Addition
\(\vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix}x_u+x_v\\y_u+y_v\end{pmatrix}\)

Géométriquement : règle du parallélogramme ou méthode "bout à bout" (règle de Chasles).
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
Multiplication par un scalaire
\(k\,\vec{u} = \begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}\)

Allonge ou raccourcit le vecteur d'un facteur \(|k|\). Si \(k < 0\), le sens est inversé.
\(k\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}\) avec \(AC=|k|\cdot AB\)
Soustraction
\(\vec{u}-\vec{v} = \vec{u}+(-\vec{v}) = \begin{pmatrix}x_u-x_v\\y_u-y_v\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)
Vecteur nul
\(\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}\)
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}\)
Norme = 0, direction indéterminée
📐 Relation de Chasles — preuve

Pour trois points quelconques \(A\), \(B\), \(C\) dans le plan :

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)

En coordonnées :

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_C-x_B\\y_C-y_B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_C-x_A\\y_C-y_A\end{pmatrix} = \overrightarrow{AC}\quad\square\)

La relation de Chasles se généralise : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\cdots+\overrightarrow{YZ} = \overrightarrow{AZ}\). Les lettres "intermédiaires" s'annulent par paires.

IV. Représentations graphiques

Vecteurs égaux A B C D \(\vec{u}\) \(\vec{u}\) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) Addition — règle du parallélogramme A \(\vec{u}\) \(\vec{v}\) D \(\vec{u}+\vec{v}\) Multiplication par scalaire \(\vec{u}\) \(2\vec{u}\) \(-\vec{u}\)

Gauche : vecteurs égaux (même déplacement depuis des points différents). Centre : addition par la règle du parallélogramme. Droite : multiplication par un scalaire.

V. Norme d'un vecteur

La norme (ou module) d'un vecteur est sa longueur. Elle se calcule par la formule de la distance euclidienne.

\[\left\|\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\right\| = \sqrt{x^2+y^2} \qquad \left\|\overrightarrow{AB}\right\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} = AB\] La norme est toujours positive ou nulle — elle vaut 0 si et seulement si le vecteur est nul
Propriétés de la norme
\(\|\vec{u}\| \geq 0\), et \(\|\vec{u}\|=0 \iff \vec{u}=\overrightarrow{0}\)
\(\|k\vec{u}\| = |k|\,\|\vec{u}\|\)
\(\|\vec{u}+\vec{v}\| \leq \|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|\) (inégalité triangulaire)
Norme = distance géométrique
Vecteur unitaire
Un vecteur de norme 1 s'appelle un vecteur unitaire. Tout vecteur non nul peut être normalisé :
\(\hat{u} = \dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}\) est le vecteur unitaire de même direction que \(\vec{u}\).
\(\|\hat{u}\| = 1\)

VI. Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires (ou parallèles) si l'un est multiple scalaire de l'autre. Géométriquement, leurs supports sont parallèles ou confondus.

\(\vec{u} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\) sont colinéaires \(\iff\) \(xy' - yx' = 0\) Le déterminant \(xy' - yx'\) est nul — cette quantité s'appelle aussi le "produit vectoriel" en 2D
📐 Preuve de la condition de colinéarité \(xy' - yx' = 0\)

Supposons \(\vec{v} \neq \overrightarrow{0}\). \(\vec{u}\) est colinéaire à \(\vec{v}\) si et seulement si il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\), soit \(x = kx'\) et \(y = ky'\).

Si \(x' \neq 0\) et \(y' \neq 0\) : \(k = x/x' = y/y'\), soit \(xy' = x'y\), soit \(xy'-yx'=0\). \(\square\)

Le déterminant \(\det(\vec{u},\vec{v}) = xy'-yx'\) mesure l'aire du parallélogramme formé par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Il est nul précisément quand ce parallélogramme est aplati — c'est-à-dire quand les vecteurs sont colinéaires.

Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, c'est-à-dire si \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = 0\).

VII. Milieu et barycentre — formules vectorielles

Milieu
Le milieu \(I\) de \([AB]\) est le point tel que \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\).
En coordonnées :
\(I = \left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\)
\(\overrightarrow{OI}=\dfrac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}\)
Centre de gravité
Le centre de gravité (centroïde) \(G\) d'un triangle \(ABC\) vérifie :
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
En coordonnées :
\(G = \left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\,;\,\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)\)
\(\overrightarrow{OG}=\dfrac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}\)

VIII. Exemples travaillés

Exemple 1 — Calcul de coordonnées de vecteurs et opérations

Soient \(A(2\,;\,1)\), \(B(5\,;\,4)\), \(C(-1\,;\,3)\).

Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) et \(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).


\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}5-2\\4-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-1-2\\3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}3+(-3)\\3+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}\)

\(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{AB}=\binom{3}{3}\), \(\overrightarrow{AC}=\binom{-3}{2}\), somme \(=\binom{0}{5}\), combinaison \(=\binom{9}{4}\)
Exemple 2 — Norme et vecteur unitaire

Calculer la norme de \(\overrightarrow{AB}\) pour \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,6)\), puis le vecteur unitaire associé.


\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)

\(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)

\(\hat{u} = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix}\)

Vérification : \(\|\hat{u}\| = \sqrt{9/25+16/25} = \sqrt{25/25} = 1\) ✓

\(\|\overrightarrow{AB}\| = 5\)  |  Vecteur unitaire : \(\begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix}\)
Exemple 3 — Colinéarité et alignement de trois points

Les points \(A(1\,;\,2)\), \(B(3\,;\,5)\), \(C(5\,;\,8)\) sont-ils alignés ?


\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\)

Déterminant : \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = 2\times6 - 3\times4 = 12 - 12 = 0\)

Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires : les trois points sont alignés.

On observe d'ailleurs que \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\), donc \(C\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(B\)... non, on vérifie : \(B\) est le milieu de \(AC\) car \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\).

A, B, C sont alignés (det = 0) et B est le milieu de [AC].
Exemple 4 — Centre de gravité d'un triangle

Calculer le centre de gravité \(G\) du triangle \(A(0\,;\,0)\), \(B(6\,;\,0)\), \(C(3\,;\,6)\).


\(G = \left(\dfrac{0+6+3}{3}\,;\,\dfrac{0+0+6}{3}\right) = (3\,;\,2)\)

Vérification : \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} = \overrightarrow{0}\) ✓

\(G = (3\,;\,2)\)

IX. Application concrète ⭐

⭐ Situation concrète Navigation dans les rues de Ouagadougou

Un livreur part du marché Rood Woko (point R), se déplace de \(\vec{u} = \begin{pmatrix}300\\200\end{pmatrix}\) mètres pour rejoindre une boutique B, puis de \(\vec{v} = \begin{pmatrix}-100\\400\end{pmatrix}\) mètres pour livrer au Centre culturel Georges Méliès (point M).

  • a) Calculer le vecteur déplacement total \(\overrightarrow{RM}\).
  • b) Quelle distance directe sépare R de M (en ligne droite) ?
  • c) Si R est à la position \((0\,;\,0)\), quelle est la position exacte de M ?
  • d) Le livreur souhaite rentrer directement de M à R. Quel vecteur décrit ce trajet retour ?
Exemple 5 — Navigation à Ouagadougou

a) Déplacement total :

\(\overrightarrow{RM} = \vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix}300\\200\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-100\\400\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}200\\600\end{pmatrix}\)


b) Distance directe R à M :

\(\|\overrightarrow{RM}\| = \sqrt{200^2+600^2} = \sqrt{40\,000+360\,000} = \sqrt{400\,000} = 200\sqrt{10} \approx 632\) m


c) Position de M :

\(M = R + \overrightarrow{RM} = (0,0) + (200,600) = \mathbf{(200\,;\,600)}\)


d) Trajet retour :

\(\overrightarrow{MR} = -\overrightarrow{RM} = \begin{pmatrix}-200\\-600\end{pmatrix}\)

Déplacement total : \(\binom{200}{600}\)  |  Distance directe : \(200\sqrt{10} \approx 632\) m  |  M = (200 ; 600)

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Coordonnées et opérations

Soient \(A(-1\,;\,3)\), \(B(4\,;\,-2)\), \(C(2\,;\,5)\). Calculer :

  • a) Les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CA}\).
  • b) Vérifier la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}\).
  • c) Le vecteur \(\vec{u} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{BC}\).
a) \(\overrightarrow{AB}=\binom{5}{-5}\), \(\overrightarrow{BA}=\binom{-5}{5}\), \(\overrightarrow{BC}=\binom{-2}{7}\), \(\overrightarrow{CA}=\binom{-3}{-2}\)

b) \(\binom{5}{-5}+\binom{-2}{7}+\binom{-3}{-2}=\binom{0}{0}=\overrightarrow{0}\) ✓

c) \(\vec{u}=2\binom{5}{-5}-3\binom{-2}{7}=\binom{10}{-10}-\binom{-6}{21}=\binom{16}{-31}\)
Exercice 2 — Norme et distance

Calculer la norme de chaque vecteur et la distance entre les deux points :

  • a) \(A(3\,;\,4)\) et \(B(6\,;\,8)\)
  • b) \(A(-2\,;\,1)\) et \(B(3\,;\,-11)\)
  • c) \(\vec{u} = \begin{pmatrix}\sqrt{3}\\ -1\end{pmatrix}\)
a) \(\overrightarrow{AB}=\binom{3}{4}\), \(\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{9+16}=5\)

b) \(\overrightarrow{AB}=\binom{5}{-12}\), \(\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\)

c) \(\|\vec{u}\|=\sqrt{3+1}=2\)
Exercice 3 — Colinéarité et alignement

Déterminer si les points suivants sont alignés. Si oui, lequel est entre les deux autres ?

  • a) \(A(0\,;\,0)\), \(B(2\,;\,3)\), \(C(4\,;\,6)\)
  • b) \(A(1\,;\,1)\), \(B(3\,;\,4)\), \(C(5\,;\,8)\)
a) \(\overrightarrow{AB}=\binom{2}{3}\), \(\overrightarrow{AC}=\binom{4}{6}=2\overrightarrow{AB}\). Det\(=2\times6-3\times4=0\) → alignés.
\(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\) donc B est le milieu de [AC] — B est entre A et C.

b) \(\overrightarrow{AB}=\binom{2}{3}\), \(\overrightarrow{AC}=\binom{4}{7}\). Det\(=2\times7-3\times4=14-12=2\neq0\) → non alignés.
Exercice 4 — Parallélogramme et centre de gravité

Soient \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,1)\), \(C(5\,;\,4)\).

  • a) Trouver le point \(D\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme (dans cet ordre).
  • b) Calculer le centre de gravité \(G\) du triangle \(ABC\).
  • c) Vérifier que les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu.
a) \(ABCD\) parallélogramme \(\iff \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
\(\overrightarrow{AB}=\binom{3}{-1}\). \(D = C - \overrightarrow{AB} = (5-3\,;\,4+1) = (2\,;\,5)\). Ou : \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\binom{1}{3}\) → \(D=(2\,;\,5)\).

b) \(G=(\frac{1+4+5}{3}\,;\,\frac{2+1+4}{3})=(10/3\,;\,7/3)\approx(3{,}33\,;\,2{,}33)\)

c) Milieu de \([AC]\) : \((\frac{1+5}{2}\,;\,\frac{2+4}{2})=(3\,;\,3)\). Milieu de \([BD]\) : \((\frac{4+2}{2}\,;\,\frac{1+5}{2})=(3\,;\,3)\) ✓ — même milieu.
Exercice 5 — Réseau routier du Burkina ⭐

Dans un modèle cartographique (1 unité = 10 km), trois villes burkinabè ont pour coordonnées : Ouagadougou \(O(0\,;\,0)\), Koudougou \(K(-10\,;\,2)\) et Fada N'Gourma \(F(22\,;\,-3)\).

  • a) Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{OK}\), \(\overrightarrow{OF}\) et \(\overrightarrow{KF}\).
  • b) Calculer les distances OK, OF et KF en km.
  • c) Le centre de santé régional doit être placé au centroïde du triangle OKF. Quelles sont ses coordonnées ?
  • d) Une voie directe entre K et F passe-t-elle par O ? (Tester si O, K, F sont alignés.)
a) \(\overrightarrow{OK}=\binom{-10}{2}\), \(\overrightarrow{OF}=\binom{22}{-3}\), \(\overrightarrow{KF}=\binom{32}{-5}\)

b) \(OK=10\sqrt{(-10)^2+2^2}=10\sqrt{104}\approx10\times10{,}2=\mathbf{102}\) km.
\(OF=10\sqrt{484+9}=10\sqrt{493}\approx10\times22{,}2=\mathbf{222}\) km.
\(KF=10\sqrt{1024+25}=10\sqrt{1049}\approx10\times32{,}4=\mathbf{324}\) km.

c) \(G=(\frac{0-10+22}{3}\,;\,\frac{0+2-3}{3})=(\frac{12}{3}\,;\,\frac{-1}{3})=(4\,;\,-1/3)\). En vrai : \((40\text{ km}\,;\,-3{,}3\text{ km})\) depuis Ouaga.

d) \(\det(\overrightarrow{OK},\overrightarrow{OF}) = (-10)(-3)-(2)(22) = 30-44 = -14 \neq 0\) → O, K, F non alignés. La route K→F ne passe pas par O.
mascotte

À retenir

  • Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : translation de A vers B — caractérisé par direction, sens et norme.
  • Coordonnées : \(\overrightarrow{AB} = \binom{x_B-x_A}{y_B-y_A}\) — arrivée moins départ.
  • Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) — les lettres intermédiaires s'annulent.
  • Norme : \(\|\binom{x}{y}\| = \sqrt{x^2+y^2}\) — toujours \(\geq 0\).
  • Colinéarité : \(\vec{u}=\binom{x}{y}\) et \(\vec{v}=\binom{x'}{y'}\) colinéaires \(\iff xy'-yx'=0\).
  • Alignement : A, B, C alignés \(\iff \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\).
  • Milieu : \(I = \left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right)\).
  • Centre de gravité : \(G = \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\,;\,\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)\), et \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).

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