I. Le repère cartésien — définition et vocabulaire
Un repère cartésien du plan est la donnée d'un point \(O\) appelé origine et de deux vecteurs \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) appelés vecteurs de base. Le repère est noté \((O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j})\). Il est dit orthonormé si \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) sont perpendiculaires et ont tous les deux la norme 1.
On peut travailler dans n'importe quel repère, mais le repère orthonormé est particulièrement commode parce que :
- La formule de distance est \(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\) — simple et symétrique.
- Les droites perpendiculaires ont des pentes dont le produit vaut \(-1\).
- Le produit scalaire s'écrit simplement \(\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'\).
- Les angles se lisent directement sur les coordonnées.
Dans un repère non orthonormé, toutes ces formules se compliquent. C'est pourquoi on travaille presque toujours dans un repère orthonormé, sauf mention contraire explicite.
II. Coordonnées d'un point
Dans un repère \((O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j})\), tout point \(M\) du plan s'écrit de façon unique \(\overrightarrow{OM} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j}\). Le réel \(x\) s'appelle l'abscisse de \(M\) et le réel \(y\) s'appelle son ordonnée. On note \(M(x\,;\,y)\).
Repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j})\) avec quatre points dans les quatre quadrants — les projections sur les axes donnent directement les coordonnées
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III. Distance entre deux points
Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) se calcule par le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les projections sur les axes.
Soient \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\). On trace le point \(H(x_B\,;\,y_A)\), pied de la perpendiculaire issue de \(B\) sur la droite horizontale passant par \(A\).
Le triangle \(AHB\) est rectangle en \(H\) :
\(AH = |x_B - x_A|\) (distance horizontale)
\(HB = |y_B - y_A|\) (distance verticale)
Par Pythagore : \(AB^2 = AH^2 + HB^2 = (x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2\), d'où \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\,}\). \(\square\)
IV. Milieu d'un segment
Le milieu d'un segment \([AB]\) est le point \(I\) équidistant de \(A\) et de \(B\), c'est-à-dire \(IA = IB\). Vectoriellement, \(I\) est le seul point tel que \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\).
\(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\).
En coordonnées, en notant \(I(x_I\,;\,y_I)\) :
\(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \iff \begin{cases}(x_A-x_I)+(x_B-x_I)=0 \\ (y_A-y_I)+(y_B-y_I)=0\end{cases}\)
\(\iff \begin{cases}x_A+x_B = 2x_I \\ y_A+y_B = 2y_I\end{cases} \iff \begin{cases}x_I = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\ y_I = \dfrac{y_A+y_B}{2}\end{cases} \quad\square\)
V. Barycentre de plusieurs points pondérés
Le barycentre généralise la notion de milieu. C'est le "centre de masse" d'un système de points affectés de coefficients (poids). Le milieu est le cas particulier où deux points ont le même poids.
\(G = \left(\frac{x_1+x_2}{2}\,;\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(G = \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\,;\,\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)\)
\(\alpha_A = 1,\ \alpha_B = k\)
\(G = \left(\frac{x_A+kx_B}{1+k}\,;\,\frac{y_A+ky_B}{1+k}\right)\)
VI. Équations liant les coordonnées — lieu géométrique simple
Une condition géométrique (être sur un cercle, être équidistant de deux points, etc.) se traduit en une équation algébrique reliant \(x\) et \(y\). C'est le principe fondamental de la géométrie analytique : remplacer les propriétés géométriques par des équations calculables.
| Condition géométrique | Équation cartésienne |
|---|---|
| Appartenir au cercle de centre \(\Omega(a,b)\) et rayon \(r\) | \((x-a)^2+(y-b)^2 = r^2\) |
| Être équidistant de \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\) (médiatrice de AB) | \((x-x_A)^2+(y-y_A)^2 = (x-x_B)^2+(y-y_B)^2\), qui se simplifie en une droite |
| Être à distance \(d\) de l'origine | \(x^2+y^2 = d^2\) |
| Avoir une abscisse égale à son ordonnée | \(y = x\) (première bissectrice) |
VII. Exemples travaillés
Soient \(A(2\,;\,-1)\) et \(B(-4\,;\,5)\). Calculer \(AB\), le milieu \(I\) de \([AB]\) et vérifier que \(I\) est équidistant de \(A\) et \(B\).
\(AB = \sqrt{(-4-2)^2+(5-(-1))^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)
\(I = \left(\frac{2+(-4)}{2}\,;\,\frac{-1+5}{2}\right) = \left(\frac{-2}{2}\,;\,\frac{4}{2}\right) = (-1\,;\,2)\)
Vérification :
\(IA = \sqrt{(2-(-1))^2+(-1-2)^2} = \sqrt{9+9} = 3\sqrt{2}\)
\(IB = \sqrt{(-4-(-1))^2+(5-2)^2} = \sqrt{9+9} = 3\sqrt{2}\) ✓
Et bien sûr \(IA = IB = AB/2 = 3\sqrt{2}\) ✓
Les points \(A(0\,;\,0)\), \(B(3\,;\,0)\), \(C(0\,;\,4)\) forment-ils un triangle rectangle ?
\(AB = \sqrt{9+0} = 3\)
\(AC = \sqrt{0+16} = 4\)
\(BC = \sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5\)
On vérifie Pythagore : \(AB^2 + AC^2 = 9+16 = 25 = BC^2\) ✓
Le triangle est rectangle en \(A\) (le plus grand côté est \(BC\), l'hypoténuse).
Calculer le barycentre \(G\) de \(A(1\,;\,0)\), \(B(4\,;\,3)\), \(C(-2\,;\,6)\) avec coefficients \(\alpha_A=2\), \(\alpha_B=1\), \(\alpha_C=3\).
Somme des coefficients : \(2+1+3=6\).
\(x_G = \frac{2\times1 + 1\times4 + 3\times(-2)}{6} = \frac{2+4-6}{6} = \frac{0}{6} = 0\)
\(y_G = \frac{2\times0 + 1\times3 + 3\times6}{6} = \frac{0+3+18}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}\)
Vérification : \(2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GC}\) doit être nul.
\(\overrightarrow{GA}=\binom{1}{-7/2}\), \(\overrightarrow{GB}=\binom{4}{-1/2}\), \(\overrightarrow{GC}=\binom{-2}{5/2}\)
\(2\binom{1}{-7/2}+1\binom{4}{-1/2}+3\binom{-2}{5/2}=\binom{2+4-6}{-7-1/2+15/2}=\binom{0}{0}\) ✓
Trouver l'équation de la médiatrice du segment \([AB]\) avec \(A(1\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,1)\).
Un point \(M(x\,;\,y)\) appartient à la médiatrice si et seulement si \(MA = MB\), soit \(MA^2 = MB^2\) :
\((x-1)^2+(y-3)^2 = (x-5)^2+(y-1)^2\)
\(x^2-2x+1+y^2-6y+9 = x^2-10x+25+y^2-2y+1\)
\(-2x+10+{-6y} = -10x+26+{-2y}\)
\(8x-4y = 16 \implies 2x-y = 4 \implies y = 2x-4\)
Vérification : Le milieu \(I = (3\,;\,2)\) appartient-il à la médiatrice ? \(2(3)-2 = 4 = 4\) ✓
VIII. Application concrète ⭐
Dans la région du Centre-Nord, trois villages ont pour coordonnées (en km depuis un point de référence) : Kaya \(K(0\,;\,0)\), Boulsa \(B(8\,;\,4)\) et Tougouri \(T(3\,;\,10)\).
Un forage d'eau doit être implanté de façon à minimiser la somme des distances à parcourir pour les trois villages. La solution optimale est le centroïde (si les populations sont égales) ou le barycentre pondéré (si on tient compte des populations : Kaya 60 000 hab., Boulsa 30 000 hab., Tougouri 20 000 hab.).
- a) Calculer le centroïde (barycentre non pondéré) du triangle KBT.
- b) Calculer le barycentre pondéré par les populations (utiliser des poids \(6:3:2\)).
- c) Calculer les distances de chaque forage à chacun des trois villages.
- d) Vérifier que le forage pondéré est plus proche de Kaya (la plus grande ville).
a) Centroïde :
\(G_c = \left(\frac{0+8+3}{3}\,;\,\frac{0+4+10}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}\,;\,\frac{14}{3}\right) \approx (3{,}67\,;\,4{,}67)\) km
b) Barycentre pondéré (poids 6, 3, 2 soit total 11) :
\(x_{G_p} = \frac{6\times0+3\times8+2\times3}{11} = \frac{0+24+6}{11} = \frac{30}{11} \approx 2{,}73\) km
\(y_{G_p} = \frac{6\times0+3\times4+2\times10}{11} = \frac{0+12+20}{11} = \frac{32}{11} \approx 2{,}91\) km
\(G_p \approx (2{,}73\,;\,2{,}91)\) km
c) Distances depuis le forage pondéré \(G_p(30/11\,;\,32/11)\) :
\(G_pK = \sqrt{(30/11)^2+(32/11)^2} = \frac{\sqrt{900+1024}}{11} = \frac{\sqrt{1924}}{11} \approx \frac{43{,}9}{11} \approx \mathbf{3{,}99}\) km
\(G_pB = \sqrt{(8-30/11)^2+(4-32/11)^2} = \sqrt{(58/11)^2+(12/11)^2} \approx \frac{\sqrt{3364+144}}{11} \approx \frac{59{,}2}{11} \approx \mathbf{5{,}38}\) km
\(G_pT = \sqrt{(3-30/11)^2+(10-32/11)^2} = \sqrt{(3/11)^2+(78/11)^2} \approx \frac{\sqrt{9+6084}}{11} \approx \frac{78{,}1}{11} \approx \mathbf{7{,}1}\) km
d) Le forage pondéré est à ≈ 4 km de Kaya (la plus grande ville) alors que le centroïde en est à \(\sqrt{(11/3)^2+(14/3)^2} \approx \frac{\sqrt{317}}{3} \approx 5{,}93\) km. Le barycentre pondéré est bien plus proche de Kaya. ✓
✏️ Exercices d'application
Soient \(A(-3\,;\,2)\), \(B(1\,;\,5)\), \(C(4\,;\,-1)\).
- a) Calculer \(AB\), \(BC\) et \(AC\).
- b) Calculer les milieux de chaque côté du triangle.
- c) Le triangle ABC est-il isocèle ? Justifier.
b) Milieu AB : \((-1\,;\,3{,}5)\) ; Milieu BC : \((2{,}5\,;\,2)\) ; Milieu AC : \((0{,}5\,;\,0{,}5)\)
c) \(AB=5 \approx 5\), \(BC \approx 6{,}71\), \(AC \approx 7{,}62\) — trois côtés différents → triangle scalène (non isocèle).
Soient \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\), \(C(6\,;\,3)\), \(D(2\,;\,3)\). Montrer que ABCD est un parallélogramme, puis déterminer s'il est un rectangle, un losange ou un carré.
Rectangle ? \(AB=4\), \(BC=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\), \(CD=4\), \(DA=\sqrt{13}\). \(AB\neq BC\) → pas carré ni losange.
\(\overrightarrow{AB}=\binom{4}{0}\), \(\overrightarrow{AD}=\binom{2}{3}\). Produit scalaire \(= 4\times2+0\times3=8\neq0\) → pas rectangle.
C'est un parallélogramme simple (aucune propriété spéciale supplémentaire).
Soient \(A(0\,;\,0)\) et \(B(6\,;\,0)\).
- a) Écrire l'équation de la médiatrice de [AB].
- b) Le point \(C(3\,;\,4)\) appartient-il à cette médiatrice ?
- c) Si oui, en déduire que le triangle ABC est isocèle. Calculer le rayon du cercle circonscrit.
Médiatrice : \(x=3\) (droite verticale passant par le milieu (3,0)).
b) \(C=(3\,;\,4)\) → abscisse = 3 ✓ → C est sur la médiatrice → \(CA=CB\) → triangle isocèle.
c) \(CA=CB=\sqrt{9+16}=5\). Le centre du cercle circonscrit est sur la médiatrice de [AB], soit \(x=3\). Aussi sur la médiatrice de [AC]... Or le triangle isocèle en C a son cercle circonscrit de centre \((3\,;\,y_\Omega)\). \(\Omega A = \Omega C : \sqrt{9+y_\Omega^2}=\sqrt{0+(y_\Omega-4)^2} \implies 9+y_\Omega^2=y_\Omega^2-8y_\Omega+16 \implies 8y_\Omega=7 \implies y_\Omega=7/8\). Rayon \(R=\Omega A = \sqrt{9+49/64} = \sqrt{625/64} = 25/8 = 3{,}125\).
Dans le triangle \(A(0\,;\,0)\), \(B(8\,;\,0)\), \(C(4\,;\,6)\) :
- a) Calculer le centroïde \(G\).
- b) Calculer le centre \(\Omega\) du cercle circonscrit (le point équidistant des trois sommets).
- c) Vérifier que \(G\) est sur le segment \([\Omega H]\) (\(H\) est l'orthocentre) à un tiers du chemin depuis \(\Omega\) — c'est la droite d'Euler.
b) \(\Omega(x,y)\) vérifie \(\Omega A^2=\Omega B^2=\Omega C^2\).
\(\Omega A^2=\Omega B^2\) : \(x^2+y^2=(x-8)^2+y^2 \implies 16x=64 \implies x=4\).
\(\Omega A^2=\Omega C^2\) : \(16+y^2=(4-4)^2+(y-6)^2=y^2-12y+36 \implies 12y=20 \implies y=5/3\).
\(\Omega=(4\,;\,5/3)\). Rayon : \(R=\sqrt{16+25/9}=\sqrt{169/9}=13/3\approx4{,}33\).
c) L'orthocentre H vérifie \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} = (12\,;\,6)\) dans de nombreux cas... pour ce triangle : \(H=(4\,;\,8/3)\) (calcul par altitude). On vérifie : \(G = \Omega + \frac{1}{3}(\overrightarrow{\Omega H}) = (4,5/3) + \frac{1}{3}((4,8/3)-(4,5/3)) = (4,5/3)+(0,1/3)=(4,2)\) ✓ — droite d'Euler confirmée.
Quatre villages de la région du Centre-Ouest ont pour coordonnées (en km) : \(A(0\,;\,0)\), \(B(12\,;\,0)\), \(C(12\,;\,8)\), \(D(0\,;\,8)\). Une antenne relais doit être placée équidistante de tous les côtés du quadrilatère (inscrit dans un rectangle).
- a) Vérifier que ABCD est un rectangle et calculer ses dimensions et diagonales.
- b) Trouver le centre du rectangle (intersection des diagonales).
- c) Une antenne doit couvrir une zone circulaire de rayon \(r = 7\) km. Peut-elle couvrir tous les villages simultanément depuis ce centre ?
Diagonales : \(AC=BD=\sqrt{144+64}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}\approx14{,}4\) km.
b) Centre \(= \) milieu des diagonales \(= (\frac{0+12}{2}\,;\,\frac{0+8}{2}) = (6\,;\,4)\).
c) Distance du centre à chaque sommet \(=\) demi-diagonale \(= 2\sqrt{13}\approx7{,}2\) km.
Or \(r = 7\) km \(< 7{,}2\) km → l'antenne ne peut pas couvrir tous les villages simultanément. Il faudrait un rayon d'au moins \(2\sqrt{13}\approx7{,}21\) km.
À retenir
- Repère orthonormé : \((O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j})\) avec \(\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1\) et \(\vec{i}\perp\vec{j}\) — le cadre standard.
- Distance : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\) — preuve par Pythagore.
- Milieu : \(I = \left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right)\) — car \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\).
- Centroïde : \(G = \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\,;\,\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)\) — car \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
- Barycentre pondéré : \(x_G = \frac{\sum\alpha_i x_i}{\sum\alpha_i}\) — le "centre de masse" avec poids.
- Lieu géométrique : une condition sur les distances se traduit en équation sur \(x\) et \(y\) — principe de la géométrie analytique.
- Médiatrice de [AB] : équation obtenue en résolvant \(MA^2=MB^2\) — se simplifie toujours en une droite.