I. Les trois formes d'une équation de droite
Une droite du plan peut être décrite de plusieurs façons équivalentes. Chaque forme a ses avantages selon le contexte : la forme réduite est pratique pour lire la pente, la forme cartésienne est universelle (y compris pour les droites verticales), et la forme paramétrique est indispensable pour les applications vectorielles et la géométrie dans l'espace.
\(m\) = pente (coefficient directeur)
\(p\) = ordonnée à l'origine
⚠ Inapplicable pour les droites verticales
\((a, b) \neq (0,0)\) — vecteur normal \(\vec{n}\binom{a}{b}\)
Universelle : fonctionne pour toutes les droites.
\(M_0(x_0\,;\,y_0)\) = point de la droite
\(\vec{d}\binom{a}{b}\) = vecteur directeur
Réduite \(\to\) cartésienne : \(mx - y + p = 0\).
Paramétrique \(\to\) cartésienne : éliminer \(t\).
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II. Vecteur directeur et vecteur normal
Une droite est caractérisée par sa direction. Le vecteur directeur est un vecteur non nul parallèle à la droite. Le vecteur normal est perpendiculaire à la droite. Ces deux vecteurs sont eux-mêmes perpendiculaires l'un à l'autre.
Soit \(A(x_A\,;\,y_A)\) un point fixe de la droite et \(M(x\,;\,y)\) un point quelconque. \(M\) est sur la droite si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) est parallèle à la droite, c'est-à-dire perpendiculaire à \(\vec{n}\binom{a}{b}\).
La condition de perpendicularité \(\overrightarrow{AM} \perp \vec{n}\) s'écrit :
\(a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0\)
\(ax + by + \underbrace{(-ax_A - by_A)}_{= c} = 0\)
Donc l'équation \(ax + by + c = 0\) est bien la condition pour que \(M\) soit sur la droite perpendiculaire à \(\vec{n}\) passant par \(A\). \(\square\)
III. Construire l'équation d'une droite
| Données | Méthode | Formule |
|---|---|---|
| Un point \(A(x_A\,;\,y_A)\) et la pente \(m\) | Forme point-pente | \(y - y_A = m(x - x_A)\) |
| Deux points \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) | Calculer \(m = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\), puis point-pente | \(\frac{y - y_A}{x - x_A} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\) |
| Un point \(A\) et un vecteur directeur \(\vec{d}\binom{a}{b}\) | Le vecteur normal est \(\binom{-b}{a}\) ou \(\binom{b}{-a}\) | \(-b(x-x_A) + a(y-y_A) = 0\) |
| Un point \(A\) et un vecteur normal \(\vec{n}\binom{a}{b}\) | Produit scalaire nul avec \(\overrightarrow{AM}\) | \(a(x-x_A) + b(y-y_A) = 0\) |
| Droite verticale passant par \(x = k\) | Équation spéciale (pas de pente) | \(x = k\) |
IV. Pente et coefficient directeur
La pente \(m\) d'une droite non verticale mesure son inclinaison : c'est le rapport de la variation verticale sur la variation horizontale quand on se déplace le long de la droite.
\(m > 0\) : droite croissante (monte de gauche à droite). Plus \(m\) est grand, plus la droite est "raide".
\(m < 0\) : droite décroissante (descend de gauche à droite).
\(m = 0\) : droite horizontale.
\(m \to \pm\infty\) : droite tend vers la verticale (non définie pour les droites verticales).
La pente est aussi la tangente de l'angle d'inclinaison : \(m = \tan\alpha\). Une pente de 1 correspond à un angle de 45°, une pente de \(\sqrt{3}\) à un angle de 60°.
V. Positions relatives de deux droites
| Position relative | Condition (forme réduite) | Condition (form cartésienne) |
|---|---|---|
| Confondues | Même pente, même ordonnée à l'origine | \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\) |
| Parallèles (distinctes) | Même pente, ordonnées différentes : \(m_1 = m_2\) et \(p_1 \neq p_2\) |
\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) |
| Sécantes (se coupent en un point) | Pentes différentes : \(m_1 \neq m_2\) | \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) |
| Perpendiculaires | \(m_1 \times m_2 = -1\) | \(a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0\) (vecteurs normaux ⊥) |
Deux droites non verticales de pentes \(m_1\) et \(m_2\) ont pour vecteurs directeurs \(\vec{d_1}\binom{1}{m_1}\) et \(\vec{d_2}\binom{1}{m_2}\).
Elles sont perpendiculaires si et seulement si \(\vec{d_1} \perp \vec{d_2}\), c'est-à-dire si leur produit scalaire est nul :
\(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 1 \times 1 + m_1 \times m_2 = 1 + m_1 m_2 = 0 \iff m_1 m_2 = -1 \quad \square\)
VI. Représentations graphiques — droites et positions relatives
Gauche : différentes pentes. Droite : droites parallèles (même pente) et perpendiculaires (pentes opposées et inverses)
VII. Distance d'un point à une droite
La distance d'un point à une droite est la longueur du segment perpendiculaire abaissé du point sur la droite. En coordonnées, elle se calcule par une formule directe à partir de l'équation cartésienne.
Soit \(H\) le pied de la perpendiculaire issue de \(P\) sur la droite \((d)\). Le vecteur \(\overrightarrow{HP}\) est parallèle à \(\vec{n}\binom{a}{b}\) (car \(PH \perp d\)). On peut écrire \(\overrightarrow{HP} = \lambda\vec{n}\) pour un certain \(\lambda\).
Comme \(H\) est sur \((d)\), on a \(ax_H + by_H + c = 0\). D'autre part \(P = H + \lambda\vec{n}\) donne :
\(x_0 = x_H + \lambda a\) et \(y_0 = y_H + \lambda b\)
On substitue dans l'équation de \((d)\) pour \(P\) :
\(ax_0 + by_0 + c = a(x_H+\lambda a) + b(y_H+\lambda b) + c = (ax_H+by_H+c) + \lambda(a^2+b^2) = \lambda(a^2+b^2)\)
Donc \(\lambda = \dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}\). La distance cherchée est :
\(d(P,(d)) = |PH| = |\lambda||\vec{n}| = \left|\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}\right|\sqrt{a^2+b^2} = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad \square\)
VIII. Exemples travaillés
Trouver l'équation de la droite passant par \(A(1\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,-1)\).
Pente : \(m = \dfrac{-1-3}{4-1} = \dfrac{-4}{3}\)
Forme point-pente :
\(y - 3 = -\dfrac{4}{3}(x - 1)\)
\(3(y-3) = -4(x-1)\)
\(3y - 9 = -4x + 4\)
\(4x + 3y - 13 = 0\) (forme cartésienne)
Vérification : \(4(1)+3(3)-13 = 4+9-13=0\) ✓ \(4(4)+3(-1)-13=16-3-13=0\) ✓
Soit la droite \((d)\,:\,2x - 3y + 5 = 0\). Donner :
a) L'équation de la parallèle à \((d)\) passant par \(P(1\,;\,2)\).
b) L'équation de la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(P(1\,;\,2)\).
Pente de \((d)\) : \(2x - 3y + 5 = 0 \implies y = \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}\), donc \(m = \frac{2}{3}\).
a) Parallèle : même pente \(m = \frac{2}{3}\), passe par \(P(1\,;\,2)\) :
\(y - 2 = \frac{2}{3}(x-1) \implies 3y-6 = 2x-2 \implies 2x-3y+4=0\) (même vecteur normal)
b) Perpendiculaire : pente opposée et inverse : \(m' = -\frac{3}{2}\) :
\(y - 2 = -\frac{3}{2}(x-1) \implies 2y-4=-3x+3 \implies 3x+2y-7=0\)
Vérification : produit des pentes \(\frac{2}{3} \times (-\frac{3}{2}) = -1\) ✓
Trouver le point d'intersection de \((d_1)\,:\,x + 2y - 8 = 0\) et \((d_2)\,:\,3x - y - 1 = 0\).
Les pentes : \((d_1)\) a \(m_1 = -\frac{1}{2}\) et \((d_2)\) a \(m_2 = 3\). Comme \(m_1 \neq m_2\), les droites sont sécantes.
On résout le système :
\(\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 1 \end{cases}\)
On multiplie la 2ème équation par 2 et on additionne :
\(x + 2y + 6x - 2y = 8 + 2 \implies 7x = 10 \implies x = \frac{10}{7}\)
\(y = \frac{8 - x}{2} = \frac{8 - 10/7}{2} = \frac{46/7}{2} = \frac{23}{7}\)
Calculer la distance du point \(P(3\,;\,4)\) à la droite \((d)\,:\,4x - 3y + 1 = 0\).
\(d(P,(d)) = \dfrac{|4(3) - 3(4) + 1|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \dfrac{|12-12+1|}{\sqrt{16+9}} = \dfrac{1}{\sqrt{25}} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\)
IX. Application concrète ⭐
Dans un plan centré sur le carrefour de la Nation à Ouagadougou, deux grandes avenues sont modélisées par :
- Avenue Kwame N'Krumah : \((d_1)\,:\,x - 2y + 6 = 0\)
- Boulevard Charles-de-Gaulle : \((d_2)\,:\,2x + y - 8 = 0\)
Une station-service est à la position \(S(4\,;\,1)\).
- a) Calculer le point d'intersection des deux avenues (le carrefour).
- b) Vérifier que ces deux avenues sont perpendiculaires.
- c) Calculer la distance de la station-service à chacune des deux avenues.
- d) Trouver l'équation de la route reliant la station-service au carrefour.
a) Carrefour (intersection) :
\(\begin{cases} x - 2y + 6 = 0 \\ 2x + y - 8 = 0 \end{cases}\)
On multiplie la 2ème par 2 : \(4x + 2y - 16 = 0\). On additionne avec la 1ère :
\(5x - 10 = 0 \implies x = 2\). Puis \(y = 8 - 2x = 4\).
Vérification : \(2 - 8 + 6 = 0\) ✓ et \(4 + 4 - 8 = 0\) ✓. Carrefour : \(C(2\,;\,4)\).
b) Perpendicularité :
Vecteurs normaux : \(\vec{n_1}\binom{1}{-2}\) et \(\vec{n_2}\binom{2}{1}\).
\(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = 1\times2 + (-2)\times1 = 2-2 = 0\) → vecteurs normaux perpendiculaires → droites perpendiculaires ✓
c) Distances de \(S(4\,;\,1)\) :
\(d(S,(d_1)) = \dfrac{|4-2(1)+6|}{\sqrt{1+4}} = \dfrac{|8|}{\sqrt{5}} = \dfrac{8}{\sqrt{5}} = \dfrac{8\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}58\) unités
\(d(S,(d_2)) = \dfrac{|2(4)+1-8|}{\sqrt{4+1}} = \dfrac{|1|}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5} \approx 0{,}45\) unité
d) Droite \(SC\) : pente \(m = \dfrac{4-1}{2-4} = \dfrac{3}{-2} = -\dfrac{3}{2}\).
\(y - 1 = -\frac{3}{2}(x-4) \implies 2y-2=-3x+12 \implies 3x+2y-14=0\)
✏️ Exercices d'application
Déterminer l'équation cartésienne des droites suivantes :
- a) Passant par \(A(2\,;\,5)\) et \(B(-1\,;\,2)\)
- b) Passant par \(C(0\,;\,-3)\) avec pente \(m = 4\)
- c) Passant par \(D(3\,;\,1)\) et parallèle à \(5x - 2y + 7 = 0\)
- d) Passant par \(E(-1\,;\,4)\) et perpendiculaire à \(3x + y - 2 = 0\)
b) \(y=-3+4x \implies 4x-y-3=0\).
c) Vecteur normal : \(\binom{5}{-2}\). \(5(x-3)-2(y-1)=0 \implies 5x-2y-13=0\).
d) Vecteur normal de la droite donnée : \(\binom{3}{1}\). La perpendiculaire a pour vecteur normal \(\binom{-1}{3}\) (ou directeur de la donnée). Vecteur directeur de la donnée : \(\binom{1}{-3}\). La perpendiculaire a pour normale \(\binom{1}{-3}\) → non, corriger : perpendiculaire à \(\vec{n}=\binom{3}{1}\) a vecteur directeur \(\binom{3}{1}\) et vecteur normal \(\binom{1}{-3}\). Équation : \(1(x+1)-3(y-4)=0 \implies x-3y+13=0\).
Étudier les positions relatives des droites :
- a) \(2x - 4y + 6 = 0\) et \(x - 2y + 3 = 0\)
- b) \(3x - y + 2 = 0\) et \(3x - y - 5 = 0\)
- c) \(x + 3y - 7 = 0\) et \(3x - y + 1 = 0\)
b) Même coefficients pour \(x\) et \(y\), constante différente → parallèles (distinctes).
c) Vecteurs normaux : \(\binom{1}{3}\) et \(\binom{3}{-1}\). Produit scalaire : \(1\times3+3\times(-1)=0\) → perpendiculaires.
Soient \(A(1\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,1)\).
- a) Trouver l'équation de la médiatrice de \([AB]\) (droite perpendiculaire à \([AB]\) passant par son milieu).
- b) Vérifier que tout point de la médiatrice est équidistant de \(A\) et de \(B\).
- c) Calculer la distance du point \(P(0\,;\,0)\) à la droite \(AB\).
Équation : \(4(x-3)-2(y-2)=0 \implies 4x-2y-8=0 \implies 2x-y-4=0\).
b) Soit \(Q(x\,;\,y)\) sur la médiatrice : \(y=2x-4\). \(QA^2=(x-1)^2+(2x-4-3)^2=(x-1)^2+(2x-7)^2\). \(QB^2=(x-5)^2+(2x-4-1)^2=(x-5)^2+(2x-5)^2\). Développer et vérifier l'égalité... (résultat identique) ✓
c) Droite \(AB\) : pente \(m=\frac{1-3}{5-1}=-\frac{1}{2}\). Équation : \(y-3=-\frac{1}{2}(x-1) \implies x+2y-7=0\).
\(d(O,(AB))=\frac{|0+0-7|}{\sqrt{1+4}}=\frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}\approx3{,}13\)
Un champ à Bobo-Dioulasso est délimité par deux routes modélisées par :
- Route 1 : \((r_1)\,:\,3x - 4y + 12 = 0\)
- Route 2 : \((r_2)\,:\,3x - 4y - 8 = 0\)
La ferme est au point \(F(2\,;\,3)\).
- a) Montrer que les deux routes sont parallèles.
- b) Calculer la largeur du corridor entre les deux routes (distance entre deux droites parallèles = distance d'un point de l'une à l'autre).
- c) La ferme est-elle entre les deux routes, ou en dehors ?
b) Prendre le point \(A(0\,;\,3)\) sur \((r_1)\) (vérif : \(0-12+12=0\) ✓).
\(d(A,(r_2))=\frac{|3(0)-4(3)-8|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-20|}{5}=4\) unités.
c) Valeur de \(3(2)-4(3)+12=6-12+12=6>0\) pour \((r_1)\) → F est du côté positif de \((r_1)\).
Valeur de \(3(2)-4(3)-8=6-12-8=-14<0\) pour \((r_2)\) → F est du côté négatif de \((r_2)\).
Les signes sont opposés → F est entre les deux routes.
Au site de Laongo, trois sculptures définissent un triangle \(A(0\,;\,0)\), \(B(6\,;\,0)\) et \(C(2\,;\,4)\).
- a) Écrire les équations des trois côtés \(AB\), \(BC\) et \(CA\).
- b) Trouver l'équation de la hauteur issue de \(C\) sur \(AB\).
- c) Trouver l'équation de la hauteur issue de \(A\) sur \(BC\). Calculer le pied de cette hauteur (point d'intersection avec \(BC\)).
- d) L'orthocentre \(H\) est le point d'intersection des hauteurs. Calculer ses coordonnées.
\(BC\) : pente \(=\frac{4-0}{2-6}=-1\). Éq. : \(y=-x+6 \implies x+y-6=0\).
\(CA\) : pente \(=\frac{4-0}{2-0}=2\). Éq. : \(y=2x \implies 2x-y=0\).
b) Hauteur depuis C sur AB : AB est horizontale (équation \(y=0\)), donc la hauteur est verticale : \(x=2\).
c) Hauteur depuis A sur BC : perpendiculaire à \(x+y-6=0\) (vecteur normal \(\binom{1}{1}\)), donc vecteur directeur \(\binom{1}{-1}\), pente \(= 1\) (non, vecteur normal \(\binom{1}{1}\) → vecteur directeur \(\binom{-1}{1}\) → pente \(=-1\)... attendons : perp. à \(BC\) de pente \(-1\) → pente \(=1\)). Hauteur : \(y=x\), équation \(x-y=0\).
Pied = intersection de \(x-y=0\) et \(x+y-6=0\) : \(2x=6 \implies x=3, y=3\). Pied \(H_{BC}(3\,;\,3)\).
d) Orthocentre = intersection des hauteurs \(x=2\) et \(y=x\) : \(x=2, y=2\). \(H(2\,;\,2)\).
Vérif : H sur 3ème hauteur \(x-y=0\) ? \(2-2=0\) ✓
À retenir
- Forme réduite : \(y = mx + p\) — pente \(m\), ordonnée à l'origine \(p\) ; inapplicable aux droites verticales.
- Forme cartésienne : \(ax + by + c = 0\) — vecteur normal \(\vec{n}\binom{a}{b}\), vecteur directeur \(\vec{d}\binom{-b}{a}\).
- Parallèles : même vecteur normal (à un scalaire près) — même pente si non verticales.
- Perpendiculaires : \(m_1 m_2 = -1\) — ou \(a_1a_2 + b_1b_2 = 0\) (vecteurs normaux perpendiculaires).
- Intersection : résoudre le système des deux équations.
- Distance point-droite : \(d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
- Construire l'équation : point-pente \(y-y_A = m(x-x_A)\), ou depuis vecteur normal \(a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\).
- Pente et angle : \(m = \tan\alpha\) où \(\alpha\) est l'angle avec l'axe des \(x\).