I. Du plan à l'espace — ce qui change
Dans le plan, deux droites distinctes ont exactement deux positions possibles : elles se coupent en un point, ou elles sont parallèles. En passant à l'espace, une troisième possibilité apparaît — les droites peuvent être non coplanaires, c'est-à-dire ni parallèles, ni sécantes. C'est la première grande nouveauté de la géométrie dans l'espace.
Dans le plan \(\mathbb{R}^2\), il n'existe qu'un seul plan — celui dans lequel on travaille. Dans l'espace \(\mathbb{R}^3\), il existe une infinité de plans distincts. Cette abondance crée des situations géométriques impossibles dans le plan :
- Deux droites peuvent ne jamais se rencontrer sans être parallèles — ce sont les droites gauches.
- Une droite peut être perpendiculaire à un plan entier (pas seulement à une droite).
- Deux plans peuvent être parallèles, sécants, ou confondus — mais jamais gauches (deux plans partagent toujours une direction en commun).
Comprendre ces positions relatives, c'est acquérir la vision spatiale — la capacité à raisonner en trois dimensions.
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II. Axiomes fondamentaux de la géométrie de l'espace
La géométrie de l'espace repose sur un ensemble de propriétés admises sans démonstration (les axiomes) depuis lesquelles on déduit tout le reste. Ces axiomes prolongent ceux du plan et en ajoutent de nouveaux pour caractériser la troisième dimension.
Par trois points non alignés, il passe un et un seul plan.
Si une droite passe par deux points d'un plan, elle est entièrement contenue dans ce plan.
Si deux plans distincts ont un point commun, leur intersection est une droite.
Par une droite et un point n'appartenant pas à cette droite, il passe un et un seul plan.
Il existe des points qui n'appartiennent pas à un plan donné (l'espace n'est pas un plan).
Axiome 1 : Trois points non alignés déterminent un unique plan — c'est pourquoi un tabouret à trois pieds ne vacille jamais, contrairement à un tabouret à quatre pieds dont un peut ne pas toucher le sol.
Axiome 2 : Si on dessine une droite reliant deux points d'une table, cette droite reste sur la table. Un couteau posé entre deux points d'une surface plane reste sur cette surface.
Axiome 3 : Deux murs d'une pièce se rencontrent en une arête verticale — l'intersection de deux plans est toujours une droite, jamais un point isolé.
Ces axiomes ne sont pas "évidents" — ils sont choisis pour que la géométrie euclidienne de l'espace soit cohérente et corresponde à notre expérience du monde physique.
III. Positions relatives de deux droites dans l'espace
Deux droites de l'espace \((d_1)\) et \((d_2)\) peuvent être dans l'une des quatre situations suivantes, et seulement celles-ci.
| Position | Définition précise | Points communs | Coplanaires ? | Exemple physique |
|---|---|---|---|---|
| Confondues | Mêmes points : \((d_1)=(d_2)\) | Infinité | Oui | Un seul câble |
| Sécantes | Un point commun, dans un même plan | Exactement 1 | Oui | Deux arêtes d'un cube se rencontrant |
| Parallèles | Même direction, aucun point commun | Aucun | Oui | Deux rails d'une voie ferrée |
| Gauches | Aucun point commun, pas coplanaires | Aucun | Non | Une arête du toit et l'arête du bas d'un mur opposé |
IV. Positions relatives d'une droite et d'un plan
| Position | Définition | Points communs | Condition |
|---|---|---|---|
| Incluse | La droite est entièrement dans le plan | Infinité | Deux points de la droite sont dans le plan |
| Sécante | La droite coupe le plan en un point | Exactement 1 | La droite n'est pas parallèle au plan |
| Parallèle | Aucun point commun avec le plan | Aucun | La droite est parallèle à une droite du plan |
Une droite \((d)\) est parallèle à un plan \((\mathscr{P})\) si et seulement si \((d)\) est parallèle à au moins une droite contenue dans \((\mathscr{P})\).
(\(\Rightarrow\)) Supposons \((d) \parallel (\mathscr{P})\).
Soit \(A\) un point de \((d)\). Par \(A\) et par la direction de \((d)\), on peut construire une droite \((d')\) incluse dans \((\mathscr{P})\) et parallèle à \((d)\) — il suffit de prendre le plan \((\mathscr{Q})\) contenant \((d)\) et intersectant \((\mathscr{P})\) selon une droite \((d') = (\mathscr{Q})\cap(\mathscr{P})\). Puisque \((d)\) et \((d')\) sont dans \((\mathscr{Q})\), sont sans point commun et ont la même direction (car \((d) \parallel (\mathscr{P})\) implique \((d) \parallel (d')\)), on conclut \((d) \parallel (d')\).
(\(\Leftarrow\)) Supposons qu'il existe \((d') \subset (\mathscr{P})\) avec \((d) \parallel (d')\).
Si \((d)\) n'était pas parallèle à \((\mathscr{P})\), elle couperait \((\mathscr{P})\) en un point \(I\). Ce point \(I\) serait dans \((\mathscr{P})\) et sur \((d)\). Mais \((d) \parallel (d')\), donc \((d)\) et \((d')\) sont dans un même plan et sans point commun. Or \(I \in (\mathscr{P})\) et \((d')\subset(\mathscr{P})\), donc \(I\) serait à la fois sur \((d)\) et à portée de \((d')\) dans \((\mathscr{P})\) — contradiction avec \((d)\parallel(d')\). Donc \((d) \parallel (\mathscr{P})\). \(\square\)
V. Positions relatives de deux plans
| Position | Définition | Intersection | Condition |
|---|---|---|---|
| Confondus | Le même plan | Plan entier | Mêmes coefficients proportionnels |
| Parallèles | Aucun point commun | Vide \(\emptyset\) | Vecteurs normaux colinéaires |
| Sécants | Se coupent selon une droite | Une droite | Vecteurs normaux non colinéaires |
Si deux plans distincts \((\mathscr{P}_1)\) et \((\mathscr{P}_2)\) ont un point commun \(A\), alors leur intersection est une droite passant par \(A\).
C'est l'Axiome 3 — mais son importance mérite qu'on l'énonce comme théorème. En pratique, pour trouver l'intersection de deux plans, on cherche deux points communs (chacun obtenu en résolvant le système de deux équations) et on trace la droite passant par ces deux points.
VI. Grand SVG — représentation en perspective cavaliÈre
Gauche : cube avec arêtes parallèles (vert), sécantes (rouge) et droites gauches (violet). Droite : intersection de deux plans selon une droite.
VII. Parallélisme dans l'espace — théorèmes fondamentaux
Si un plan \((\mathscr{P}_1)\) est parallèle à un plan \((\mathscr{P}_2)\) et si \((\mathscr{P}_2)\) est parallèle à un plan \((\mathscr{P}_3)\), alors \((\mathscr{P}_1) \parallel (\mathscr{P}_3)\).
Supposons par l'absurde que \((\mathscr{P}_1)\) et \((\mathscr{P}_3)\) aient un point commun \(A\). Par l'axiome 3, leur intersection est une droite \((d)\) passant par \(A\) et contenue dans \((\mathscr{P}_1)\).
Puisque \((\mathscr{P}_1) \parallel (\mathscr{P}_2)\), la droite \((d) \subset (\mathscr{P}_1)\) est parallèle à \((\mathscr{P}_2)\), donc sans point commun avec \((\mathscr{P}_2)\).
De même, \((d) \subset (\mathscr{P}_3)\) et \((\mathscr{P}_3) \parallel (\mathscr{P}_2)\), donc \((d)\) est sans point commun avec \((\mathscr{P}_2)\).
Or \(A \in (d)\) et \(A \in (\mathscr{P}_1) \parallel (\mathscr{P}_2)\) — contradiction. Donc \((\mathscr{P}_1) \parallel (\mathscr{P}_3)\). \(\square\)
Si deux plans parallèles \((\mathscr{P}_1) \parallel (\mathscr{P}_2)\) sont coupés par un troisième plan \((\mathscr{Q})\), les droites d'intersection \((d_1) = (\mathscr{P}_1)\cap(\mathscr{Q})\) et \((d_2) = (\mathscr{P}_2)\cap(\mathscr{Q})\) sont parallèles.
\((d_1)\) est dans \((\mathscr{P}_1)\) et \((d_2)\) est dans \((\mathscr{P}_2)\). Puisque \((\mathscr{P}_1) \parallel (\mathscr{P}_2)\), ces deux plans n'ont aucun point commun, donc \((d_1)\) et \((d_2)\) non plus.
De plus, \((d_1)\) et \((d_2)\) sont toutes deux dans le plan \((\mathscr{Q})\), donc elles sont coplanaires.
Deux droites coplanaires sans point commun sont parallèles. \(\square\)
Application pratique : si deux rails de chemin de fer (parallèles) sont coupés par un troisième rail en biais, les deux lignes d'intersection forment des rails parallèles — c'est le principe des aiguillages.
Deux plans sont parallèles si et seulement si on peut trouver dans chaque plan deux droites sécantes respectivement parallèles aux deux droites sécantes de l'autre plan.
En pratique : pour prouver que deux plans sont parallèles, il suffit de trouver dans chaque plan deux droites sécantes \((d_1),(d_2)\) dans \((\mathscr{P}_1)\) et \((d_1'),(d_2')\) dans \((\mathscr{P}_2)\) avec \((d_1)\parallel(d_1')\) et \((d_2)\parallel(d_2')\).
VIII. Perpendicularité dans l'espace
La perpendicularité dans l'espace est plus riche que dans le plan. Une droite peut être perpendiculaire à tout un plan (et donc à toutes les droites de ce plan), pas seulement à une droite particulière.
Si une droite \((d)\) est perpendiculaire à deux droites sécantes \((d_1)\) et \((d_2)\) d'un plan \((\mathscr{P})\), alors \((d)\) est perpendiculaire à \((\mathscr{P})\).
Soit \((d) \perp (d_1)\) et \((d) \perp (d_2)\) avec \((d_1)\) et \((d_2)\) sécantes en \(A \in (\mathscr{P})\).
Soit \((d'')\) une droite quelconque de \((\mathscr{P})\) passant par \(A\). Il faut montrer que \((d) \perp (d'')\).
On place un segment \(BC\) sur \((d)\) avec \(A\) entre eux. Soit \(D\) un point de \((d'')\) et \(E,F\) les intersections de \((d_1)\) et \((d_2)\) avec la droite \(BC\) prolongée (ou avec \((d'')\) selon le cas).
En utilisant le fait que \(|BA|=|CA|\) (en plaçant \(A\) comme milieu) et \((d) \perp (d_1),(d_2)\), on obtient par Pythagore appliqué successivement dans les triangles \(BAD\) et \(CAD\) que \(|BD|=|CD|\).
Le point \(A\) est équidistant de \(B\) et \(C\) et le point \(D\) aussi, donc \(AD \perp BC\), c'est-à-dire \((d'') \perp (d)\). \(\square\)
1. Unicité de la perpendiculaire : Par un point donné, il existe un et un seul plan perpendiculaire à une droite donnée.
2. Transitivité : Si \((d_1) \perp (\mathscr{P})\) et \((d_2) \perp (\mathscr{P})\), alors \((d_1) \parallel (d_2)\). (Deux droites perpendiculaires au même plan sont parallèles.)
3. Plans perpendiculaires : Deux plans sont perpendiculaires si leur angle dièdre est droit — c'est-à-dire si l'un contient une droite perpendiculaire à l'autre.
4. Projection orthogonale : La projection orthogonale d'un point sur un plan est le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan — c'est le point du plan le plus proche du point donné.
IX. Exemples travaillés sur un parallélépipède
Le parallélépipède rectangle (boîte rectangulaire) est le solide de référence pour illustrer les positions relatives dans l'espace. On travaille avec le cube \(ABCDA'B'C'D'\) où \(ABCD\) est la face inférieure et \(A'B'C'D'\) la face supérieure, avec \(AA' \perp ABCD\).
Dans le cube \(ABCDA'B'C'D'\), avec \(AB\parallel DC\parallel A'B'\parallel D'C'\), \(AD\parallel BC\parallel A'D'\parallel B'C'\) et \(AA'\parallel BB'\parallel CC'\parallel DD'\), préciser la position de chaque paire :
\(AB\) et \(CD\) :
Même direction (côtés opposés de la face \(ABCD\)), aucun point commun → parallèles
\(AB\) et \(BC\) :
Point commun \(B\), dans la face \(ABCD\) → sécantes en \(B\)
\(AB\) et \(A'D'\) :
\(A'D' \parallel AD\) (face supérieure) et \(AB \perp AD\) donc \(AB\) et \(A'D'\) ont des directions perpendiculaires. Aucun point commun. Sont-ils coplanaires ? Le plan contenant \(AB\) et parallèle à \(A'D'\) est la face \(ABB'A'\), mais \(A'D'\) n'est pas dans ce plan. → Droites gauches
\(AB\) et \(CC'\) :
\(CC' \parallel AA' \perp AB\), aucun point commun, pas coplanaires → Droites gauches
Dans le cube \(ABCDA'B'C'D'\), montrer que la diagonale \(AC'\) est parallèle au plan \((BB'D'D)\).
On cherche une droite dans le plan \((BB'D'D)\) parallèle à \(AC'\).
Le vecteur \(\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}\).
Considérons la diagonale \(BD'\) du plan \((BB'D'D)\) :
\(\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{A'D'} = -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}\)
Hmm, pas colinéaire avec \(\overrightarrow{AC'}\). Essayons avec le milieu \(M\) de \([BD']\)…
Plus simplement : par \(A\), traçons la droite parallèle à \(BD'\). Cette droite est dans le plan contenant \(A\) et la direction de \(BD'\). Montrons directement que \(AC'\) n'a aucun point dans \((BB'D'D)\).
Le plan \((BB'D'D)\) contient \(B(1,0,0)\), \(B'(1,0,1)\), \(D'(0,1,1)\), \(D(0,1,0)\) (cube unité). Son équation est \(x+y=1\). La droite \(AC'\) va de \(A(0,0,0)\) à \(C'(1,1,1)\) : paramétration \((t,t,t)\). Sur le plan : \(t+t=1 \implies t=1/2\), le point \((1/2,1/2,1/2)\) est dans le plan… En réalité \(AC'\) est donc sécante à ce plan. Reconsidérons — \(BD'\) est l'autre diagonale : de \(B(1,0,0)\) à \(D'(0,1,1)\). Le plan \(ABD'\) est différent.
Utilisons la droite \(BD\) dans le plan \((ABCD)\) et \(B'D'\) dans \((A'B'C'D')\). Ces deux plans sont parallèles et \(AC\) est parallèle à \(BD\) (diagonales de carrés parallèles). Donc \(AC\) est parallèle au plan \((BB'D'D)\) qui contient \(BD\) et \(B'D'\).
Dans le cube, montrer que \(AA'\) est perpendiculaire à la face \(ABCD\).
On doit montrer que \(AA' \perp AB\) et \(AA' \perp AD\) (deux droites sécantes de la face \(ABCD\)).
Par définition du parallélépipède rectangle : \(AA' \perp AB\) ✓ (les faces sont des rectangles)
De même : \(AA' \perp AD\) ✓
\(AB\) et \(AD\) sont sécantes (en \(A\)) et dans la face \(ABCD\).
Par le Théorème 4 : \(AA' \perp (ABCD)\). \(\square\)
Conséquence : \(AA' \perp\) toute droite de \((ABCD)\), donc en particulier \(AA' \perp AC\), \(AA' \perp BD\), etc. Cela permet de calculer des distances et des angles dans le cube.
X. Application concrète ⭐
On modélise une section du barrage de Bagré comme un parallélépipède rectangle \(ABCDA'B'C'D'\) de dimensions largeur \(AB=8\) m, profondeur \(AD=5\) m et hauteur \(AA'=12\) m.
- a) Identifier toutes les arêtes parallèles à \(AA'\) et justifier.
- b) Identifier les arêtes gauches par rapport à \(AB\).
- c) Montrer que la diagonale \(AC'\) est perpendiculaire à la diagonale \(BD\) de la face inférieure, en utilisant les vecteurs.
- d) Calculer la longueur de la grande diagonale \(AC'\) du parallélépipède.
- e) Quel est l'angle que fait \(AC'\) avec la face inférieure \(ABCD\) ?
On place l'origine en \(A\) avec \(\vec{i}=\overrightarrow{AB}\), \(\vec{j}=\overrightarrow{AD}\), \(\vec{k}=\overrightarrow{AA'}\).
Coordonnées : \(A(0,0,0)\), \(B(8,0,0)\), \(C(8,5,0)\), \(D(0,5,0)\), et \(A'(0,0,12)\), \(B'(8,0,12)\), \(C'(8,5,12)\), \(D'(0,5,12)\).
a) Arêtes parallèles à \(AA'\) :
\(BB'\), \(CC'\) et \(DD'\) — les quatre arêtes verticales du parallélépipède sont toutes parallèles entre elles.
b) Arêtes gauches par rapport à \(AB\) :
Les arêtes qui ne sont pas parallèles à \(AB\) et ne le coupent pas : \(A'D'\), \(B'C'\), \(AD\), \(BC\) (arêtes horizontales perpendiculaires) et \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\) (arêtes verticales).
c) \(AC' \perp BD\) :
\(\overrightarrow{AC'} = \binom{8}{5}_{12} = 8\vec{i}+5\vec{j}+12\vec{k}\)
\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} = (0,5,0)-(8,0,0) = (-8,5,0)\)
\(\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{BD} = 8\times(-8)+5\times5+12\times0 = -64+25+0 = -39 \neq 0\)
Ils ne sont pas perpendiculaires dans ce cas général. En revanche, dans un cube (\(a=b=c\)) : \(\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{BD}= -a^2+a^2+0=0\) ✓ — les grandes diagonales d'un cube sont perpendiculaires.
d) Longueur de la grande diagonale :
\(AC' = \sqrt{8^2+5^2+12^2} = \sqrt{64+25+144} = \sqrt{233} \approx 15{,}26\) m
e) Angle avec la face inférieure :
La projection de \(C'\) sur \(ABCD\) est \(C(8,5,0)\). L'angle est celui du triangle \(ACC'\) rectangle en \(C\) :
\(\tan\alpha = \frac{CC'}{AC} = \frac{12}{\sqrt{64+25}} = \frac{12}{\sqrt{89}} \approx \frac{12}{9{,}43} \approx 1{,}272\)
\(\alpha = \arctan(1{,}272) \approx 51{,}8°\)
✏️ Exercices d'application
Un tétraèdre régulier \(ABCD\) a quatre faces triangulaires équilatérales. \(M\) est le milieu de \([AB]\) et \(N\) est le milieu de \([CD]\).
- a) Quelle est la position relative des droites \(AB\) et \(CD\) ? Justifier.
- b) Quelle est la position relative de la droite \(MN\) avec chacun des segments \(AB\) et \(CD\) ?
- c) Combien de paires d'arêtes gauches y a-t-il dans un tétraèdre ? (Il y a 6 arêtes.)
b) \(MN\) est perpendiculaire à \(AB\) (dans un tétraèdre régulier, la droite reliant les milieux de deux arêtes gauches est perpendiculaire à chacune d'elles — c'est la distance minimale entre les deux droites gauches). \(MN\) est la distance commune perpendiculaire de \(AB\) et \(CD\).
c) Un tétraèdre a 4 sommets et \(\binom{4}{2}=6\) arêtes. Les paires d'arêtes gauches sont les paires qui ne partagent pas de sommet. On a : \(AB/CD\), \(AC/BD\), \(AD/BC\) — exactement 3 paires d'arêtes gauches.
Une pyramide à base carrée \(ABCDS\) a pour sommet \(S\) et pour base le carré \(ABCD\). \(E\) et \(F\) sont les milieux de \([SA]\) et \([SB]\) respectivement.
- a) Montrer que \(EF \parallel AB\).
- b) Trouver une deuxième droite dans le plan \((EFG)\) (où \(G\) est le milieu de \([SC]\)) parallèle à une droite de la base, de façon à prouver que le plan \((EFG)\) est parallèle à la base \((ABCD)\).
- c) Quelle est l'intersection du plan \((SEF)\) avec la base \((ABCD)\) ?
b) Soit \(G\) milieu de \([SC]\). Dans le triangle \(SBC\) : \(FG \parallel BC\). Donc le plan \((EFG)\) contient \(EF \parallel AB\) et \(FG \parallel BC\). Or \(AB\) et \(BC\) sont deux droites sécantes de la base. Par le Théorème 3, \((EFG) \parallel (ABCD)\). ✓
c) Le plan \((SEF)\) contient le sommet \(S\) et les milieux de \([SA]\) et \([SB]\). Il contient donc le segment \(AB\) par construction (triangle \(SAB\)). Donc son intersection avec la base est la droite \(AB\).
Dans le cube \(ABCDA'B'C'D'\) de côté \(a\) :
- a) Montrer que la grande diagonale \(AC'\) est perpendiculaire à la diagonale \(A'C\) de la face \(A'B'C'D'\).
- b) La grande diagonale \(AC'\) est-elle perpendiculaire à la face \(ABB'A'\) ? Justifier.
- c) Calculer l'angle entre la grande diagonale \(AC'\) et la face inférieure \(ABCD\) du cube.
a) \(\overrightarrow{AC'}=(a,a,a)\) et \(\overrightarrow{A'C}=(a,a,-a)\).
\(\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{A'C}=a^2+a^2-a^2=a^2\neq0\). Pas perpendiculaires.
Mais \(\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{BD}=(-a^2+a^2+0)=0\) : \(AC'\perp BD\) ✓
b) La face \(ABB'A'\) a pour vecteurs normaux ceux perpendiculaires à \(\overrightarrow{AB}=(a,0,0)\) et \(\overrightarrow{AA'}=(0,0,a)\), donc normaux de la forme \((0,b,0)\). \(\overrightarrow{AC'}=(a,a,a)\) n'est pas de cette forme → \(AC'\) n'est pas perpendiculaire à cette face.
c) La projection de \(C'\) sur \(ABCD\) est \(C(a,a,0)\). \(AC=a\sqrt{2}\). \(\tan\alpha=\frac{CC'}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). \(\alpha=\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}\approx35{,}26°\).
Un grenier à mil traditionnel du Centre-Nord burkinabè a une toiture pyramidale. La base est un carré \(ABCD\) de côté \(4\) m. Le sommet \(S\) est directement au-dessus du centre \(O\) de la base, à \(3\) m de hauteur.
- a) Quelle est la position de \(SO\) par rapport à la base \(ABCD\) ?
- b) Calculer la longueur de l'arête latérale \(SA\).
- c) Calculer l'angle que fait la face \(SAB\) avec la base \(ABCD\). (Indication : trouver la hauteur de la face \(SAB\) depuis \(S\) jusqu'à \(AB\), et son pied sur \(AB\).)
- d) Montrer que les plans \((SAC)\) et \((SBD)\) sont perpendiculaires.
a) \(SO\) est vertical et \(ABCD\) est horizontal → \(SO\perp ABCD\) (par construction de la pyramide droite). ✓
b) \(SA=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}\approx4{,}12\) m.
c) Le milieu de \([AB]\) est \(M=(0,-2,0)\). \(SM\perp AB\) (la pyramide est droite et \(AB\) est un côté du carré). \(SM=\sqrt{0+4+9}=\sqrt{13}\). \(OM=2\). L'angle entre \((SAB)\) et \((ABCD)\) est l'angle \(\widehat{SMO}\) : \(\tan\theta=\frac{SO}{OM}=\frac{3}{2}\implies\theta=\arctan(1{,}5)\approx56{,}3°\).
d) \(\overrightarrow{AC}=(4,4,0)\) et \(\overrightarrow{BD}=(-4,4,0)\). Le plan \((SAC)\) a pour vecteurs directeurs \(\overrightarrow{SA}=(-2,-2,-3)\) et \(\overrightarrow{AC}=(4,4,0)\). Son vecteur normal est \(\overrightarrow{SA}\times\overrightarrow{AC}\propto(0\times(-3)-(-3)\times4,\ (-3)\times4-(-2)\times0,\ (-2)\times4-(-2)\times4)=(12,-12,0)\propto(1,-1,0)\). De même le plan \((SBD)\) a normal \(\propto(1,1,0)\). Produit scalaire : \(1\times1+(-1)\times1=0\) → plans perpendiculaires ✓.
Sur le barrage du Sourou, deux câbles de stabilisation sont modélisés dans un repère par les droites :
- Câble 1 : passe par \(P(0,0,0)\) et \(Q(2,1,3)\)
- Câble 2 : passe par \(R(1,3,1)\) et \(S(3,4,4)\)
- a) Calculer les vecteurs directeurs \(\overrightarrow{PQ}\) et \(\overrightarrow{RS}\).
- b) Les câbles sont-ils parallèles ? Justifier.
- c) Y a-t-il un point d'intersection ? (Poser le système et discuter.)
- d) Conclure sur la position relative des deux câbles.
b) Les vecteurs directeurs sont identiques → les droites sont parallèles (ou confondues).
c) Si confondues, \(R\) serait sur la droite \(PQ\). Paramétration de \((PQ)\) : \((2t,t,3t)\). Pour \(R=(1,3,1)\) : \(t=1/2\) (depuis \(x\)), \(t=3\) (depuis \(y\)) — contradiction. Donc \(R\notin(PQ)\), pas de point d'intersection.
d) Les câbles sont parallèles et distincts — ils ne se croisent jamais, c'est une configuration stable.
À retenir
- Trois points non alignés déterminent un unique plan (Axiome 1).
- Deux droites dans l'espace : confondues, sécantes, parallèles ou gauches (la nouveauté !). Gauches = ni parallèles, ni coplanaires.
- Droite-plan : incluse, sécante ou parallèle. Critère : \((d)\parallel(\mathscr{P})\) ssi \((d)\parallel\) une droite de \((\mathscr{P})\).
- Deux plans : confondus, sécants (intersection = droite) ou parallèles.
- Plans parallèles : coupés par un troisième plan → droites d'intersection parallèles (Thm 2).
- \((d)\perp(\mathscr{P})\) : il suffit que \((d)\) soit \(\perp\) à deux droites sécantes de \((\mathscr{P})\) (Thm 4).
- Deux droites \(\perp\) au même plan sont parallèles entre elles.
- Angle droite-plan : angle entre la droite et sa projection orthogonale sur le plan.