Leçon 2 — Repère dans l'espace et coordonnées

Le repère orthonormé en 3D — coordonnées, distance, milieu, vecteurs, équation de plan, droites paramétriques

I. Du repère du plan au repère de l'espace

Dans le plan, deux axes suffisent à repérer tout point par deux coordonnées \((x, y)\). Dans l'espace, il en faut trois — un troisième axe, perpendiculaire aux deux premiers, encode la profondeur ou la hauteur. Chaque point de l'espace est alors repéré par un triplet unique \((x, y, z)\).

Un repère orthonormé de l'espace est \((O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j}\,;\,\vec{k})\) où : \[|\vec{i}|=|\vec{j}|=|\vec{k}|=1, \quad \vec{i}\perp\vec{j}, \quad \vec{i}\perp\vec{k}, \quad \vec{j}\perp\vec{k}\] Tout point \(M\) s'écrit de façon unique : \(\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\) Les trois vecteurs de base sont deux à deux perpendiculaires et de longueur 1

🔍 La règle de la main droite — orientation du repère

Un repère orthonormé direct (ou positif) est celui où les vecteurs \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) forment un trièdre direct : si les doigts de la main droite pointent de \(\vec{i}\) vers \(\vec{j}\), le pouce pointe dans la direction de \(\vec{k}\).

Concrètement : l'axe \(x\) pointe vers la droite, l'axe \(y\) vers l'avant (ou le haut dans le plan), et l'axe \(z\) vers le haut. C'est la convention standard en mathématiques, physique et informatique 3D.

Dans un repère indirect, les mêmes formules s'appliquent mais certains signes changent dans le produit vectoriel. Dans ce cours, on travaille toujours en repère direct.

Nerveux explique : Les pilotes de l'aéroport international de Ouagadougou utilisent trois coordonnées pour situer un avion : la longitude (axe Est-Ouest, comme \(x\)), la latitude (axe Nord-Sud, comme \(y\)) et l'altitude (axe vertical, comme \(z\)). Ce sont exactement les trois axes du repère orthonormé de l'espace. Sans la troisième coordonnée, deux avions pourraient avoir les mêmes coordonnées \((x,y)\) mais voler à des altitudes différentes — sans le \(z\), on ne sait pas s'ils vont se croiser ou passer l'un au-dessus de l'autre. La troisième dimension est indispensable.

II. Représentation du repère orthonormé de l'espace

Repère orthonormé 3D en perspective cavalière — les trois axes sont deux à deux perpendiculaires

III. Coordonnées d'un point et d'un vecteur

Dans le repère \((O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j}\,;\,\vec{k})\), chaque point \(M\) et chaque vecteur \(\vec{u}\) s'expriment par un triplet de réels. Les formules du plan se généralisent naturellement en ajoutant la troisième composante.

Coordonnées d'un point

\(M(x\,;\,y\,;\,z)\) signifie : \[\overrightarrow{OM} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\]

\(M = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3\)

Coordonnées d'un vecteur

Si \(A(x_A,y_A,z_A)\) et \(B(x_B,y_B,z_B)\) : \[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}\]

Arrivée \(-\) Départ

Distance entre deux points

\[AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\]

Pythagore en 3D

Milieu d'un segment

\[M_0 = \left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\,;\,\frac{z_A+z_B}{2}\right)\]

Moyenne des coordonnées

📐 Preuve de la formule de distance en 3D — deux applications de Pythagore

Soient \(A(x_A,y_A,z_A)\) et \(B(x_B,y_B,z_B)\). On définit le point auxiliaire \(H(x_B,y_B,z_A)\), qui est dans le même plan horizontal que \(A\).

Étape 1 : dans le plan horizontal (\(z = z_A\)), le triangle \(AH'H\) est rectangle (où \(H' = (x_B,y_A,z_A)\)) :

\(AH^2 = (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\)

Étape 2 : le triangle \(AHB\) est rectangle en \(H\) car \(HB\) est vertical (\(HB \perp\) plan horizontal) :

\(AB^2 = AH^2 + HB^2 = (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2 \quad \square\)

C'est la même idée que Pythagore en 2D, appliqué deux fois — d'abord dans le plan horizontal, puis dans le plan vertical. La troisième dimension ajoute juste un terme carré supplémentaire.

IV. Opérations sur les vecteurs en 3D

Addition

\(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}+\vec{v}\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+d\\b+e\\c+f\end{pmatrix}\)

Multiplication scalaire

\(\lambda\vec{u} = \begin{pmatrix}\lambda a\\\lambda b\\\lambda c\end{pmatrix}\)

Si \(\lambda=0\) : vecteur nul. Si \(\lambda<0\) : sens contraire.

Norme

\(|\vec{u}| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

Vecteur unitaire : \(\hat{u}=\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\)

\(|\vec{u}|^2=a^2+b^2+c^2\)

Colinéarité

\(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}\) colinéaires \(\iff\) \(\exists\lambda:\vec{v}=\lambda\vec{u}\)

Équivalent : \(\frac{d}{a}=\frac{e}{b}=\frac{f}{c}\) (si \(a,b,c\neq0\)).

V. Produit scalaire en 3D

Le produit scalaire s'étend naturellement à l'espace en ajoutant le produit des troisièmes composantes. Toutes les propriétés algébriques du plan restent valables.

Produit scalaire de \(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}\) : \[\vec{u}\cdot\vec{v} = ad+be+cf = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\] Perpendicularité : \(\vec{u}\perp\vec{v} \iff ad+be+cf=0\) La formule en coordonnées est identique au cas 2D avec un terme de plus

🔍 Pourquoi le produit scalaire en 3D a-t-il la même formule qu'en 2D ?

La preuve est identique à celle du cas 2D (via la loi des cosinus). Dans l'espace :

\(|\vec{u}-\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\)

En développant avec les coordonnées :

\(|\vec{u}-\vec{v}|^2 = (a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2 = |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2(ad+be+cf)\)

Par égalité : \(|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta = ad+be+cf\). La formule en coordonnées est la même en 2D et en 3D, c'est pourquoi elle est si élégante.

VI. Équation d'un plan dans l'espace

Dans le plan 2D, une droite est définie par une équation linéaire en \(x\) et \(y\). Dans l'espace 3D, un plan est défini par une équation linéaire en \(x\), \(y\) et \(z\). C'est la généralisation directe.

Tout plan de l'espace a une équation de la forme : \[ax + by + cz + d = 0 \quad \text{avec } (a,b,c)\neq(0,0,0)\] Le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan. Deux plans sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux sont colinéaires — perpendiculaires ssi \(a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0\)

📐 Preuve — construction de l'équation d'un plan depuis un point et un vecteur normal

Soit \(\Omega(x_0,y_0,z_0)\) un point du plan et \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) le vecteur normal.

Un point \(M(x,y,z)\) est dans le plan si et seulement si \(\overrightarrow{\Omega M} \perp \vec{n}\) :

\(\overrightarrow{\Omega M}\cdot\vec{n} = a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0) = 0\)

\(ax+by+cz+\underbrace{(-ax_0-by_0-cz_0)}_{=d}=0 \quad \square\)

C'est exactement la même construction que pour l'équation d'une droite en 2D depuis un point et un vecteur normal — le passage en 3D n'ajoute qu'une variable.

Plan \(xOy\)

Contient \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\), perpendiculaire à \(\vec{k}=(0,0,1)\)

\(z = 0\)

Plan \(xOz\)

Contient \(\vec{i}\) et \(\vec{k}\), perpendiculaire à \(\vec{j}=(0,1,0)\)

\(y = 0\)

Plan \(yOz\)

Contient \(\vec{j}\) et \(\vec{k}\), perpendiculaire à \(\vec{i}=(1,0,0)\)

\(x = 0\)

Plan horizontal à hauteur \(h\)

Perpendiculaire à \(\vec{k}\), passe par \((0,0,h)\)

\(z = h\)

VII. Équation paramétrique d'une droite dans l'espace

En 3D, une droite ne peut pas être représentée par une seule équation cartésienne (une équation en \(x,y,z\) définit un plan, pas une droite). On utilise la représentation paramétrique.

Droite passant par \(A(x_A,y_A,z_A)\) avec vecteur directeur \(\vec{d}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) : \[\begin{cases}x = x_A + at\\y = y_A + bt \\ z = z_A + ct\end{cases}, \quad t\in\mathbb{R}\] Ou sous forme vectorielle : \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + t\vec{d}\) On obtient \(A\) pour \(t=0\) — toute la droite est parcourue quand \(t\) varie dans \(\mathbb{R}\)

🔍 Pourquoi on ne peut pas décrire une droite 3D par une seule équation ?

Une équation \(ax+by+cz+d=0\) contraint le point \((x,y,z)\) à rester sur un plan (une surface à deux dimensions dans l'espace à trois dimensions). Pour isoler une droite (objet à une dimension), il faut l'intersection de deux plans, soit deux équations cartésiennes simultanées :

\(\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases}\)

La représentation paramétrique est souvent plus pratique car elle donne directement les coordonnées de n'importe quel point de la droite en fonction du paramètre \(t\), sans avoir à résoudre un système.

VIII. Coplanéité de points et de vecteurs

En 3D, la notion de coplanéité est nouvelle — trois points sont toujours dans un même plan (ils déterminent un plan unique), mais quatre points ne le sont pas forcément.

📘 Critère de coplanéité de quatre points

Quatre points \(A, B, C, D\) sont coplanaires si et seulement si \(\overrightarrow{AD}\) peut s'écrire comme combinaison linéaire de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :

\[\overrightarrow{AD} = \alpha\,\overrightarrow{AB} + \beta\,\overrightarrow{AC}\]

En termes de déterminants : les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\) sont coplanaires ssi leur déterminant \(3\times3\) est nul.

📐 Justification du critère de coplanéité

Le plan \((ABC)\) est défini par les deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) (non colinéaires). Tout point de ce plan s'écrit \(A + s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}\) pour \(s,t\in\mathbb{R}\).

Le point \(D\) est dans le plan \((ABC)\) si et seulement si il existe \(\alpha,\beta\) tels que \(\overrightarrow{AD} = \alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\), ce qui donne un système de 3 équations (une par coordonnée) en 2 inconnues \((\alpha,\beta)\). Ce système est compatible si et seulement si les 3 vecteurs sont coplanaires. \(\square\)

IX. Exemples travaillés

Exemple 1 — Calculs fondamentaux en 3D

Soient \(A(1,2,-1)\), \(B(3,-1,4)\) et \(C(-1,0,2)\).

Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) :

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3-1\\-1-2\\4-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\)

Distance \(AB\) :

\(AB=\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}\approx6{,}16\)

Milieu \(M\) de \([BC]\) :

\(M=\left(\frac{3+(-1)}{2}\,;\,\frac{-1+0}{2}\,;\,\frac{4+2}{2}\right)=\left(1\,;\,-\frac{1}{2}\,;\,3\right)\)

Produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) :

\(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\3\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times(-2)+(-3)\times(-2)+5\times3=-4+6+15=17\)

Angle \(\hat{A}\) dans le triangle \(ABC\) :

\(\cos\hat{A}=\dfrac{17}{\sqrt{38}\,\sqrt{17}}=\dfrac{17}{\sqrt{646}}\approx\dfrac{17}{25{,}42}\approx0{,}669\implies\hat{A}\approx48{,}0°\)

\(AB=\sqrt{38}\) | Milieu \(M(1\,;\,-\frac{1}{2}\,;\,3)\) | \(\hat{A}\approx48°\)

Exemple 2 — Équation d'un plan

Trouver l'équation du plan passant par \(A(2,1,0)\), \(B(1,0,3)\) et \(C(0,2,1)\).

On calcule deux vecteurs du plan :

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\)

Le vecteur normal \(\vec{n}\) est perpendiculaire aux deux : \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) et \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\).

Si \(\vec{n}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) :

\(-a-b+3c=0\) et \(-2a+b+c=0\)

De la 2ème : \(b=2a-c\). Dans la 1ère : \(-a-(2a-c)+3c=0\implies-3a+4c=0\implies c=\frac{3a}{4}\).

On choisit \(a=4\) : \(c=3\), \(b=2(4)-3=5\). Vecteur normal : \(\vec{n}\begin{pmatrix}4\\5\\3\end{pmatrix}\).

Équation (passant par \(A(2,1,0)\)) :

\(4(x-2)+5(y-1)+3(z-0)=0\implies 4x+5y+3z-13=0\)

Vérification : \(B\) : \(4+0+9-13=0\) ✓ \(C\) : \(0+10+3-13=0\) ✓

\(4x+5y+3z-13=0\)

Exemple 3 — Droite paramétrique et intersection avec un plan

La droite \((d)\) passe par \(P(1,2,1)\) avec vecteur directeur \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). Elle coupe le plan \(\mathscr{P}\,:\,x+2y-z+1=0\) en quel point ?

Paramétration de \((d)\) :

\(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=1+3t\end{cases}\)

On substitue dans l'équation du plan :

\((1+2t)+2(2-t)-(1+3t)+1=0\)

\(1+2t+4-2t-1-3t+1=0\)

\(5-3t=0\implies t=\frac{5}{3}\)

Point d'intersection :

\(x=1+\frac{10}{3}=\frac{13}{3}\,;\quad y=2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3}\,;\quad z=1+5=6\)

Point d'intersection : \(I\!\left(\dfrac{13}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,6\right)\)

Exemple 4 — Vérifier la coplanéité de quatre points

Les points \(A(0,0,0)\), \(B(1,2,1)\), \(C(2,1,3)\), \(D(3,3,4)\) sont-ils coplanaires ?

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix}\)

On cherche \(\alpha,\beta\) tels que \(\overrightarrow{AD}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\) :

\(\begin{cases}\alpha+2\beta=3\\\2\alpha+\beta=3\\\alpha+3\beta=4\end{cases}\)

Des deux premières : \(\alpha+2\beta=3\) et \(2\alpha+\beta=3\). De la 1ère \(\alpha=3-2\beta\), dans la 2ème : \(6-4\beta+\beta=3\implies\beta=1\), \(\alpha=1\).

Vérification dans la 3ème : \(1+3(1)=4\) ✓

Les quatre points sont coplanaires avec \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).

\(A, B, C, D\) sont coplanaires — \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)

X. Application concrète ⭐

⭐ Situation concrète Architecture du siège de l'UEMOA à Ouagadougou

On modélise le bâtiment du siège de l'UEMOA (Union Économique et Monétaire Ouest-Africaine) à Ouagadougou par un parallélépipède rectangle dans un repère orthonormé (unité = 1 mètre). Les coordonnées des sommets de la base sont :

\(O(0,0,0)\), \(A(30,0,0)\), \(B(30,20,0)\), \(C(0,20,0)\)

et le bâtiment s'élève jusqu'à \(z=25\) m.

a) Écrire les coordonnées des 4 sommets du toit \(O'\), \(A'\), \(B'\), \(C'\).
b) Calculer la longueur de la grande diagonale \(OB'\) du bâtiment.
c) Une antenne est fixée au milieu \(M\) de l'arête \([A'B']\). Calculer ses coordonnées.
d) Un câble relie le point bas \(O(0,0,0)\) à l'antenne \(M\). Donner l'équation paramétrique de ce câble.
e) Un plan de coupe horizontal à mi-hauteur (\(z=12{,}5\)) coupe ce câble en un point \(I\). Trouver les coordonnées de \(I\).

Exemple 5 — Siège de l'UEMOA

a) Sommets du toit :

\(O'(0,0,25)\), \(A'(30,0,25)\), \(B'(30,20,25)\), \(C'(0,20,25)\)

b) Grande diagonale \(OB'\) :

\(OB' = \sqrt{30^2+20^2+25^2}=\sqrt{900+400+625}=\sqrt{1925}=5\sqrt{77}\approx43{,}9\) m

c) Milieu \(M\) de \([A'B']\) :

\(M=\left(\frac{30+30}{2}\,;\,\frac{0+20}{2}\,;\,\frac{25+25}{2}\right)=(30\,;\,10\,;\,25)\)

d) Équation paramétrique du câble \(OM\) :

\(\vec{OM}=\begin{pmatrix}30\\10\\25\end{pmatrix}\). Paramétration depuis \(O(0,0,0)\) :

\(\begin{cases}x=30t\\y=10t\\z=25t\end{cases},\quad t\in[0\,;\,1]\)

Pour \(t=0\) on est en \(O\), pour \(t=1\) en \(M\). ✓

e) Intersection avec \(z=12{,}5\) :

\(25t=12{,}5\implies t=\frac{1}{2}\)

\(I=\left(30\times\frac{1}{2}\,;\,10\times\frac{1}{2}\,;\,12{,}5\right)=(15\,;\,5\,;\,12{,}5)\)

Le câble passe exactement par le centre de la section horizontale à mi-hauteur ✓

\(OB' = 5\sqrt{77}\approx43{,}9\) m | Antenne \(M(30\,;\,10\,;\,25)\) | Section \(I(15\,;\,5\,;\,12{,}5)\)

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Calculs fondamentaux en 3D

Soient \(A(2,-1,3)\), \(B(0,4,-1)\) et \(C(1,1,2)\).

a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
b) Calculer les longueurs \(AB\), \(AC\) et \(BC\).
c) Vérifier la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).
d) Le triangle \(ABC\) est-il isocèle ? Rectangle ?

a) \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\5\\-4\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\-3\\3\end{pmatrix}\)

b) \(AB=\sqrt{4+25+16}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) ; \(AC=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}\) ; \(BC=\sqrt{1+9+9}=\sqrt{19}\)

c) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}=\overrightarrow{AC}\) ✓

d) Tous différents → pas isocèle. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2-10+4=-4\neq0\) ; \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-2-15-12=-29\neq0\) ; \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=-1-6-3=-10\neq0\). Pas rectangle.

Exercice 2 — Équation de plan

a) Trouver l'équation du plan passant par \(A(1,0,2)\) et perpendiculaire au vecteur \(\vec{n}=(3,-1,2)\).
b) Trouver l'équation du plan passant par \(A(2,1,0)\), \(B(0,0,1)\) et \(C(1,3,-1)\).
c) Quel est le plan parallèle à \(2x-y+3z+5=0\) passant par l'origine ?

a) \(3(x-1)-(y-0)+2(z-2)=0 \implies 3x-y+2z-7=0\)

b) \(\overrightarrow{AB}=(-2,-1,1)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1,2,-1)\). Normal : système \(-2a-b+c=0\) et \(-a+2b-c=0\). Addition : \(-3a+b=0 \implies b=3a\). Dans 1ère : \(-2a-3a+c=0 \implies c=5a\). Avec \(a=1\) : \(\vec{n}=(1,3,5)\). Équation via \(A(2,1,0)\) : \((x-2)+3(y-1)+5z=0 \implies x+3y+5z-5=0\). Vérif: \(B\): \(0+0+5-5=0\)✓ \(C\): \(1+9-5-5=0\)✓

c) Même vecteur normal → \(2x-y+3z=0\) (constante nulle car passe par \(O\)).

Exercice 3 — Droite paramétrique

La droite \((d)\) passe par \(P(2,1,-1)\) et \(Q(4,3,2)\).

a) Écrire l'équation paramétrique de \((d)\).
b) Le point \(R(6,5,5)\) est-il sur \((d)\) ?
c) Trouver le point de \((d)\) qui a pour ordonnée \(y=0\).
d) En quel point la droite coupe-t-elle le plan \(z=0\) ?

a) \(\overrightarrow{PQ}=(2,2,3)\). Paramétration depuis \(P\) : \(\begin{cases}x=2+2t\\y=1+2t\\z=-1+3t\end{cases}\)

b) \(R(6,5,5)\) : \(6=2+2t\implies t=2\). Vérif : \(y=1+4=5\)✓, \(z=-1+6=5\)✓. \(R\) est sur \((d)\) (pour \(t=2\)).

c) \(y=0 \implies 1+2t=0 \implies t=-1/2\). Point : \((2-1\,;\,0\,;\,-1-3/2)=(1\,;\,0\,;\,-5/2)\).

d) \(z=0 \implies -1+3t=0 \implies t=1/3\). Point : \((2+2/3\,;\,1+2/3\,;\,0)=(8/3\,;\,5/3\,;\,0)\).

Exercice 4 — Distance et projection — Barrage du Nazinon

Sur le barrage du Nazinon, un pylône est placé en \(P(3,4,0)\) (base au niveau du sol) et s'élève jusqu'à \(P'(3,4,12)\) (en mètres). Un câble part du sommet \(P'\) et est ancré en \(A(0,0,0)\) (pied du barrage).

a) Calculer la longueur du câble \(AP'\).
b) Le câble est tendu jusqu'à \(B(6,8,0)\). Quelle est la longueur de \(P'B\) ?
c) L'ingénieur veut un câble supplémentaire de \(A\) à \(B\) passant par un point à mi-chemin en altitude (\(z=6\)). En quel point \(M\) le câble atteint-il cette altitude ?

a) \(AP'=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\) m.

b) \(P'B=\sqrt{(6-3)^2+(8-4)^2+(0-12)^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\) m. (Symétrique !)

c) Droite \(AB\) : \(A=(0,0,0)\), \(\vec{AB}=(6,8,0)\). Paramétration : \((6t,8t,0)\). Cette droite a \(z=0\) partout — elle ne monte jamais. L'énoncé voulait dire le câble de \(A(0,0,0)\) à \(P'(3,4,12)\). Paramétration : \((3t,4t,12t)\). Pour \(z=6\) : \(12t=6 \implies t=1/2\). Point \(M=(3/2\,;\,2\,;\,6)\).

Exercice 5 — Tétraèdre régulier et centroïde ⭐

Un tétraèdre régulier \(ABCD\) de côté 2 est placé dans le repère avec \(A(1,1,0)\), \(B(3,1,0)\), \(C(2,1+\sqrt{3},0)\) et \(D\) au-dessus du centroïde de la base.

a) Calculer les coordonnées du centroïde \(G\) de la base \(ABC\) (barycentre des 3 sommets).
b) La hauteur du tétraèdre régulier de côté \(a\) est \(h=a\sqrt{\frac{2}{3}}\). Calculer \(h\) pour \(a=2\).
c) En déduire les coordonnées de \(D\).
d) Calculer la distance \(AD\) et vérifier que c'est bien 2 (côté du tétraèdre).

a) \(G=\left(\frac{1+3+2}{3}\,;\,\frac{1+1+1+\sqrt{3}}{3}\,;\,0\right)=\left(2\,;\,\frac{3+\sqrt{3}}{3}\,;\,0\right)=\left(2\,;\,1+\frac{\sqrt{3}}{3}\,;\,0\right)\)

b) \(h=2\sqrt{2/3}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx1{,}633\) m.

c) \(D=\left(2\,;\,1+\frac{\sqrt{3}}{3}\,;\,\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)\)

d) \(AD=\sqrt{(2-1)^2+(1+\frac{\sqrt{3}}{3}-1)^2+(\frac{2\sqrt{6}}{3})^2}=\sqrt{1+\frac{1}{3}+\frac{24}{9}}=\sqrt{1+\frac{1}{3}+\frac{8}{3}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\) ✓

À retenir

Repère orthonormé 3D : \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\) avec les trois vecteurs unitaires et deux à deux perpendiculaires.
Distance : \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\) — deux applications de Pythagore.
Milieu : moyenne des trois coordonnées.
Produit scalaire 3D : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=ad+be+cf\) — même formule que le 2D, un terme de plus.
Équation d'un plan : \(ax+by+cz+d=0\), vecteur normal \(\vec{n}=(a,b,c)\). Construction depuis un point et un vecteur normal.
Droite paramétrique : \(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_A\\y_A\\z_A\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) — nécessaire car une équation seule donne un plan.
Coplanéité de 4 points : \(\overrightarrow{AD}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\) — système compatible.
Plans parallèles : vecteurs normaux colinéaires. Plans perpendiculaires : \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0\).

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