Leçon 3 — Produit scalaire dans l'espace

Extension naturelle du produit scalaire à \(\mathbb{R}^3\) — angles, distances, projection orthogonale, distance point-plan et droites perpendiculaires

I. Rappel et extension — le même objet en trois dimensions

Le produit scalaire en 3D est la même opération qu'en 2D : il associe à deux vecteurs un réel qui encode à la fois leurs longueurs et l'angle entre eux. Seule la formule en coordonnées gagne un troisième terme. Toutes les propriétés algébriques — symétrie, bilinéarité, carré scalaire — restent identiques.

Produit scalaire dans \(\mathbb{R}^3\) — trois formules équivalentes : \[\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta \;=\; x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 \;=\; \frac{|\vec{u}+\vec{v}|^2-|\vec{u}|^2-|\vec{v}|^2}{2}\] \(\vec{u}=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\), \(\vec{v}=\begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}\), \(\theta\in[0\,;\,\pi]\) angle entre les vecteurs

🔍 Pourquoi les mêmes propriétés algébriques fonctionnent en 3D

Les propriétés du produit scalaire (symétrie, bilinéarité, etc.) sont des propriétés algébriques qui ne dépendent pas du nombre de dimensions. Elles découlent uniquement de la structure d'espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\), valable pour tout \(n\geq1\).

Ce qui change géométriquement en passant de 2D à 3D : en 2D, deux vecteurs non nuls déterminent un angle unique \(\theta\in[0°;180°]\). En 3D, c'est toujours vrai — l'angle entre deux vecteurs de l'espace est bien défini dans le plan qu'ils engendrent. L'angle \(\theta\) est l'angle dans ce plan.

Ce qui n'existe plus en 3D comme en 2D : la perpendicularité entre un vecteur et tout l'espace. En 3D, la perpendicularité à une direction laisse un plan entier de vecteurs perpendiculaires — d'où le vecteur normal à un plan, qui n'a pas d'équivalent en 2D.

Nerveux explique : Les ingénieurs qui conçoivent les tours des nouvelles constructions de Ouaga 2000 utilisent le produit scalaire en 3D en permanence. Pour vérifier qu'une poutre est bien perpendiculaire à un mur (un plan), ils calculent le produit scalaire de la direction de la poutre avec le vecteur normal au mur — si c'est zéro, la poutre est dans le mur ; si c'est maximal, la poutre est bien perpendiculaire. Pour calculer l'angle d'un câble de stabilisation, ils utilisent \(\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\). La même formule qu'en 2D, avec juste un terme de plus.

II. Propriétés algébriques — identiques au cas 2D

Symétrie

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\)

Le produit scalaire est commutatif.

\(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 = x_2x_1+y_2y_1+z_2z_1\)

Bilinéarité

\((\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}\)
\((\lambda\vec{u})\cdot\vec{v} = \lambda(\vec{u}\cdot\vec{v})\)

Distributif et homogène dans chaque argument.

Carré scalaire

\(\vec{u}\cdot\vec{u} = |\vec{u}|^2 = x^2+y^2+z^2\)

La norme au carré est le produit scalaire du vecteur avec lui-même.

\(|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}\)

Perpendicularité

\(\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0\) \[\iff x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0\]

Valable aussi pour : droite ⊥ plan si \(\vec{d}\cdot\vec{n}=|\vec{d}||\vec{n}|\) (\(\theta=0°\)).

Les vecteurs de base sont orthonormés : Dans le repère orthonormé standard, \(\vec{i}\cdot\vec{i}=1\), \(\vec{j}\cdot\vec{j}=1\), \(\vec{k}\cdot\vec{k}=1\) et \(\vec{i}\cdot\vec{j}=0\), \(\vec{i}\cdot\vec{k}=0\), \(\vec{j}\cdot\vec{k}=0\). C'est précisément de là que vient la formule en coordonnées : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=(x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+z_1\vec{k})\cdot(x_2\vec{i}+y_2\vec{j}+z_2\vec{k}) = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\) (les termes croisés \(\vec{i}\cdot\vec{j}\) etc. sont nuls).

III. Angle entre deux droites de l'espace

En 3D, l'angle entre deux droites est défini comme l'angle aigu entre leurs directions — on prend toujours un angle dans \([0°\,;\,90°]\), que les droites se croisent ou non (même si elles sont gauches, leurs directions définissent un angle).

Angle \(\theta\) entre deux droites de vecteurs directeurs \(\vec{d_1}\) et \(\vec{d_2}\) : \[\cos\theta = \frac{|\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}|}{|\vec{d_1}||\vec{d_2}|}\] La valeur absolue garantit \(\theta\in[0°\,;\,90°]\) — on prend toujours l'angle aigu

🔍 Pourquoi prendre la valeur absolue ?

Une droite a deux directions possibles : \(\vec{d}\) et \(-\vec{d}\). L'angle entre \(\vec{d_1}\) et \(\vec{d_2}\) peut être \(\theta\) ou \(\pi-\theta\) selon le sens choisi. Pour que l'angle entre deux droites soit unique et bien défini, on prend le plus petit des deux, qui est dans \([0°\,;\,90°]\). La valeur absolue au numérateur réalise exactement cela : si \(\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}<0\), le vrai angle serait obtus, mais on prend l'angle aigu complémentaire.

Cas particuliers : si \(\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}=0\), les droites sont perpendiculaires (\(\theta=90°\)). Si \(|\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}|=|\vec{d_1}||\vec{d_2}|\), les droites sont parallèles (\(\theta=0°\)).

IV. Angle entre une droite et un plan

L'angle entre une droite et un plan est l'angle entre la droite et sa projection orthogonale sur le plan. C'est le complément de l'angle entre la droite et la normale au plan.

Angle \(\alpha\) entre la droite de vecteur directeur \(\vec{d}\) et le plan de vecteur normal \(\vec{n}\) : \[\sin\alpha = \frac{|\vec{d}\cdot\vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|}\] Attention : c'est le \(\sin\) de l'angle droite-plan, pas le \(\cos\). Si \(\vec{d}\perp\vec{n}\) alors \(\alpha=0°\) (droite parallèle au plan). Si \(\vec{d}\parallel\vec{n}\) alors \(\alpha=90°\) (droite perpendiculaire au plan).

📐 Preuve de la formule angle droite-plan

Soit \(\phi\) l'angle entre \(\vec{d}\) et \(\vec{n}\). L'angle droite-plan est \(\alpha = 90° - \phi\) (la droite et sa projection forment un angle avec le plan, tandis que la normale est perpendiculaire au plan).

\(\sin\alpha = \sin(90°-\phi) = \cos\phi = \frac{|\vec{d}\cdot\vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|} \quad \square\)

La valeur absolue est nécessaire car on veut l'angle dans \([0°;90°]\).

V. Angle entre deux plans — angle dièdre

L'angle dièdre entre deux plans est l'angle entre leurs vecteurs normaux (ou son supplément, selon les conventions — on prend l'angle dans \([0°\,;\,180°]\)). C'est l'angle qu'on mesure en "ouvrant" les deux plans comme un livre.

Angle dièdre \(\theta\) entre les plans \(a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\) et \(a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\) : \[\cos\theta = \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = \frac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\,\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\] Cas particuliers : \(\theta=0°\) plans parallèles ; \(\theta=90°\) plans perpendiculaires (\(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0\))

VI. Distance d'un point à un plan

La distance d'un point à un plan est la longueur du segment perpendiculaire reliant le point au plan. La formule est la généralisation directe de la formule de distance point-droite en 2D.

Distance du point \(P(x_0,y_0,z_0)\) au plan \(\mathscr{P}\,:\,ax+by+cz+d=0\) : \[d(P,\mathscr{P}) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Le dénominateur est la norme du vecteur normal — exactement comme en 2D avec \(\sqrt{a^2+b^2}\)

📐 Preuve de la formule de distance point-plan

Soit \(H\) la projection orthogonale de \(P\) sur \(\mathscr{P}\). Alors \(\overrightarrow{HP}\) est parallèle à \(\vec{n}\binom{a}{b}_{c}\) : on peut écrire \(\overrightarrow{HP}=\lambda\vec{n}\) pour un certain \(\lambda\in\mathbb{R}\).

Puisque \(H\) est dans \(\mathscr{P}\) : \(ax_H+by_H+cz_H+d=0\).

Les coordonnées de \(P = H+\lambda\vec{n}\) donnent :

\(x_0=x_H+\lambda a,\quad y_0=y_H+\lambda b,\quad z_0=z_H+\lambda c\)

On substitue dans l'équation du plan évaluée en \(P\) :

\(ax_0+by_0+cz_0+d = a(x_H+\lambda a)+b(y_H+\lambda b)+c(z_H+\lambda c)+d\)

\(= (ax_H+by_H+cz_H+d)+\lambda(a^2+b^2+c^2) = 0+\lambda|\vec{n}|^2\)

Donc \(\lambda=\dfrac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}\). La distance est :

\(d(P,\mathscr{P})=|PH|=|\lambda||\vec{n}|=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{|\vec{n}|^2}\times|\vec{n}|=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \quad \square\)

VII. Projection orthogonale et pied de perpendiculaire

La projection orthogonale d'un point \(P\) sur un plan \(\mathscr{P}\) est le point \(H\) de \(\mathscr{P}\) le plus proche de \(P\). On le calcule en paramétrant la droite perpendiculaire au plan passant par \(P\), puis en trouvant son intersection avec le plan.

📘 Méthode — Calculer la projection orthogonale de \(P\) sur \(\mathscr{P}\,:\,ax+by+cz+d=0\)

Étape 1 : La perpendiculaire à \(\mathscr{P}\) par \(P(x_0,y_0,z_0)\) a pour équations paramétriques :

\(\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\) (vecteur directeur = vecteur normal \(\vec{n}=(a,b,c)\))

Étape 2 : Substituer dans l'équation du plan pour trouver \(t\) :

\(a(x_0+at)+b(y_0+bt)+c(z_0+ct)+d=0 \implies t=-\dfrac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}\)

Étape 3 : Substituer \(t\) dans les équations paramétriques pour obtenir \(H\).

VIII. Visualisation — distance point-plan et projection

Gauche : distance du point \(P\) au plan \(\mathscr{P}\) via la perpendiculaire \(PH\). Droite : angle \(\alpha\) entre la droite \((d)\) et le plan — complémentaire de l'angle avec la normale.

IX. Identités vectorielles en 3D

Les identités de développement du produit scalaire restent valables mot pour mot en 3D. On les utilise constamment pour simplifier des expressions géométriques.

\[|\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + |\vec{v}|^2\] \[|\vec{u}-\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + |\vec{v}|^2\] \[(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) = |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2\] Loi des cosinus 3D : \(|\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{BA}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2-2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\cos\hat{B}\)

🔍 La loi des cosinus en 3D — même formule qu'en 2D

La loi des cosinus \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat{A}\) est un résultat sur les triangles, qui vivent dans un plan. En 3D, un triangle \(ABC\) détermine un plan unique, et dans ce plan, la loi des cosinus s'applique exactement comme en 2D.

Ce n'est pas une coïncidence — la preuve par le produit scalaire (\(BC^2 = |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}|^2 = \ldots\)) fonctionne identiquement en 2D et en 3D, car elle n'utilise que les propriétés algébriques du produit scalaire, pas le nombre de dimensions.

X. Exemples travaillés

Exemple 1 — Angle entre deux vecteurs et deux droites

Soient \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}\). Calculer l'angle entre les droites de directions \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=3-2-4=-3\)

\(|\vec{u}|=\sqrt{1+4+4}=3\) ; \(|\vec{v}|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}\)

\(\cos\theta=\frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{3}{3\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{14}}\approx0{,}267\)

\(\theta=\arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)\approx74{,}5°\)

On a pris la valeur absolue de \(-3\) pour obtenir l'angle aigu entre les droites.

\(\theta \approx 74{,}5°\) entre les deux droites

Exemple 2 — Distance d'un point à un plan

Calculer la distance du point \(P(1,-2,3)\) au plan \(\mathscr{P}\,:\,2x-y+2z-5=0\).

On identifie \(a=2\), \(b=-1\), \(c=2\), \(d=-5\) et on applique la formule :

\(d(P,\mathscr{P}) = \dfrac{|2(1)+(-1)(-2)+2(3)-5|}{\sqrt{4+1+4}}\)

\(= \dfrac{|2+2+6-5|}{\sqrt{9}} = \dfrac{|5|}{3} = \dfrac{5}{3}\)

Vérification : \(P\) donne \(2-(-2)+6-5=5\neq0\) — il n'est pas dans le plan, ce qui est cohérent.

\(d(P,\mathscr{P}) = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\) unités

Exemple 3 — Projection orthogonale d'un point sur un plan

Trouver la projection orthogonale \(H\) de \(P(2,3,1)\) sur le plan \(\mathscr{P}\,:\,x+2y-2z+3=0\).

La perpendiculaire au plan par \(P\) a pour vecteur directeur \(\vec{n}=(1,2,-2)\) :

\(\begin{cases}x=2+t\\y=3+2t\\z=1-2t\end{cases}\)

On substitue dans l'équation du plan pour trouver \(t\) :

\((2+t)+2(3+2t)-2(1-2t)+3=0\)

\(2+t+6+4t-2+4t+3=0\implies 9+9t=0\implies t=-1\)

Coordonnées de \(H\) :

\(H=(2-1\,;\,3-2\,;\,1+2)=(1\,;\,1\,;\,3)\)

Vérification : \(H\) dans \(\mathscr{P}\) : \(1+2-6+3=0\) ✓

Distance : \(PH=\sqrt{1+4+4}=3\). Formule directe : \(\frac{|2+6-2+3|}{3}=\frac{9}{3}=3\) ✓

Projection \(H(1\,;\,1\,;\,3)\) — distance \(PH=3\)

Exemple 4 — Angle entre deux plans

Calculer l'angle entre les plans \(\mathscr{P}_1\,:\,x+y-z+1=0\) et \(\mathscr{P}_2\,:\,2x-y+z-3=0\).

Vecteurs normaux : \(\vec{n_1}=(1,1,-1)\) et \(\vec{n_2}=(2,-1,1)\).

\(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=2-1-1=0\)

Le produit scalaire est nul → les vecteurs normaux sont perpendiculaires → les plans sont perpendiculaires !

Angle : \(\theta=90°\).

Exemple non perpendiculaire : \(\mathscr{P}_3\,:\,x+2y+2z+1=0\).

\(\vec{n_1}\cdot\vec{n_3}=1+2-2=1\)

\(|\vec{n_1}|=\sqrt{3}\) ; \(|\vec{n_3}|=3\)

\(\cos\theta=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}\approx0{,}192\implies\theta\approx78{,}9°\)

\(\mathscr{P}_1\perp\mathscr{P}_2\) (angle 90°) | Angle \(\mathscr{P}_1\)/\(\mathscr{P}_3\approx78{,}9°\)

XI. Application concrète ⭐

⭐ Situation concrète Antenne satellite au dessus du barrage de Bagré

Une antenne satellite sur la crête du barrage de Bagré est positionnée en \(A(4,3,6)\) (coordonnées en dizaines de mètres). Le mur principal du barrage est modélisé par le plan \(\mathscr{P}\,:\,2x+y-2z+1=0\).

a) Calculer la distance de l'antenne au mur du barrage.
b) Trouver le pied de la perpendiculaire \(H\) de l'antenne sur le mur (point du mur le plus proche de l'antenne).
c) Un câble de sécurité va de l'antenne \(A\) à un point d'ancrage \(B(0,0,3)\). Calculer l'angle que ce câble fait avec le plan du mur.
d) Un drone survole le barrage en suivant la droite paramétrique \(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). À quelle distance minimale du mur le drone passe-t-il ?

Exemple 5 — Barrage de Bagré

a) Distance de \(A(4,3,6)\) au plan \(2x+y-2z+1=0\) :

\(d=\dfrac{|2(4)+3-2(6)+1|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{|8+3-12+1|}{3}=\dfrac{0}{3}=\mathbf{0}\)

L'antenne est sur le plan du mur ! Vérifions : \(8+3-12+1=0\) ✓.

Modifions légèrement : \(A(4,3,7)\) (antenne au-dessus du plan) :

\(d=\dfrac{|2(4)+3-2(7)+1|}{3}=\dfrac{|8+3-14+1|}{3}=\dfrac{2}{3}\approx6{,}7\) m

b) Projection \(H\) de \(A(4,3,7)\) :

Droite perpendiculaire : \((x,y,z)=(4+2t,3+t,7-2t)\). Dans le plan :

\(2(4+2t)+(3+t)-2(7-2t)+1=0\implies 8+4t+3+t-14+4t+1=0\implies9t-2=0\implies t=\frac{2}{9}\)

\(H=\left(4+\frac{4}{9}\,;\,3+\frac{2}{9}\,;\,7-\frac{4}{9}\right)=\left(\frac{40}{9}\,;\,\frac{29}{9}\,;\,\frac{59}{9}\right)\)

c) Angle câble \(AB\) avec le plan (\(B=(0,0,3)\)) :

\(\overrightarrow{AB}=(0-4,0-3,3-7)=(-4,-3,-4)\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}=(-4)(2)+(-3)(1)+(-4)(-2)=-8-3+8=-3\)

\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+9+16}=\sqrt{41}\) ; \(|\vec{n}|=3\)

\(\sin\alpha=\dfrac{|-3|}{\sqrt{41}\times3}=\dfrac{3}{3\sqrt{41}}=\dfrac{1}{\sqrt{41}}\implies\alpha\approx8{,}99°\approx9°\)

d) Distance minimale du drone au plan :

Le drone suit \((1+t, t, 2)\). La distance au plan vaut :

\(d(t)=\dfrac{|2(1+t)+t-2(2)+1|}{3}=\dfrac{|2+2t+t-4+1|}{3}=\dfrac{|3t-1|}{3}\)

Cette expression est minimisée quand \(3t-1=0\), soit \(t=1/3\). Distance minimale = \(0\) — le drone passe sur le plan ! En ce point, il est en \(\left(\frac{4}{3},\frac{1}{3},2\right)\), sur le mur du barrage.

Antenne sur le plan ✓ | Angle câble ≈ 9° | Drone passe sur le plan du mur

✏️ Exercices d'application

Exercice 1 — Produits scalaires et angles

Soient \(A(1,0,2)\), \(B(3,1,1)\) et \(C(0,2,3)\).

a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
b) En déduire l'angle \(\hat{A}\) du triangle \(ABC\).
c) Le triangle est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

a) \(\overrightarrow{AB}=(2,1,-1)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1,2,1)\).
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-2+2-1=-1\)

b) \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6}\), \(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{6}\).
\(\cos\hat{A}=\frac{-1}{6}\implies\hat{A}=\arccos(-1/6)\approx99{,}6°\). Angle obtus.

c) Vérifier en B et C : \(\overrightarrow{BA}=(-2,-1,1)\), \(\overrightarrow{BC}=(-3,1,2)\).
\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=6-1+2=7\neq0\). En C : \(\overrightarrow{CA}=(1,-2,-1)\), \(\overrightarrow{CB}=(3,-1,-2)\).
\(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=3+2+2=7\neq0\). Pas rectangle.

Exercice 2 — Distance point-plan

a) Calculer la distance du point \(P(2,-1,3)\) au plan \(x+2y-2z+6=0\).
b) Trouver la projection orthogonale de \(P\) sur ce plan.
c) Calculer la distance entre les plans parallèles \(2x-y+2z+3=0\) et \(2x-y+2z-6=0\) en prenant un point de l'un et calculant sa distance à l'autre.

a) \(d=\frac{|2-2-6+6|}{3}=\frac{0}{3}=0\). \(P\) est dans le plan !
Reprenons : \(P(2,-1,4)\). \(d=\frac{|2-2-8+6|}{3}=\frac{2}{3}\).

b) Pour \(P(2,-1,4)\) : Droite perp : \((2+t,-1+2t,4-2t)\). Dans plan : \((2+t)+2(-1+2t)-2(4-2t)+6=0 \implies 2+t-2+4t-8+4t+6=0 \implies 9t-2=0 \implies t=2/9\).
\(H=(2+2/9,-1+4/9,4-4/9)=(20/9,-5/9,32/9)\).

c) Prendre \(Q(0,0,-3/2)\) sur le 1er plan (vérif: \(0-0+2(-3/2)+3=0\)✓). Distance au 2ème :
\(d=\frac{|0-0+2(-3/2)-6|}{3}=\frac{|-3-6|}{3}=\frac{9}{3}=3\). Distance entre les plans = \(\mathbf{3}\).

Exercice 3 — Angles dans une pyramide

Une pyramide à base carrée \(OABC\) a pour base \(O(0,0,0)\), \(A(4,0,0)\), \(B(4,4,0)\), \(C(0,4,0)\) et pour sommet \(S(2,2,5)\).

a) Calculer l'angle entre la face latérale \((OAS)\) et la base \((OABC)\).
b) Calculer l'angle entre l'arête \(OS\) et la base.
c) Les deux faces latérales \((OAS)\) et \((CBS)\) sont-elles parallèles ? Perpendiculaires ? Calculer leur angle.

a) Vecteur normal à la base : \(\vec{k}=(0,0,1)\). Pour le plan \((OAS)\) : \(\overrightarrow{OA}=(4,0,0)\), \(\overrightarrow{OS}=(2,2,5)\). Normal : résoudre \(\vec{n}\perp\overrightarrow{OA}\) et \(\vec{n}\perp\overrightarrow{OS}\). De \(\vec{n}\perp\overrightarrow{OA}\) : \(4a=0 \implies a=0\). De \(\vec{n}\perp\overrightarrow{OS}\) : \(2b+5c=0 \implies b=-5c/2\). Avec \(c=2\) : \(\vec{n}=(0,-5,2)\). \(\cos\theta=\frac{|(0)(0)+(-5)(0)+(2)(1)|}{\sqrt{29}\times1}=\frac{2}{\sqrt{29}}\). Angle entre normales = angle dièdre. Angle face-base = \(\arccos(2/\sqrt{29})\approx68{,}2°\).

b) \(\overrightarrow{OS}=(2,2,5)\). \(\sin\alpha=\frac{|(2)(0)+(2)(0)+(5)(1)|}{\sqrt{33}\times1}=\frac{5}{\sqrt{33}}\). \(\alpha=\arcsin(5/\sqrt{33})\approx60{,}3°\).

c) Plan \((CBS)\) : \(\overrightarrow{CB}=(4,0,0)\), \(\overrightarrow{CS}=(2,-2,5)\). Même normale que \((OAS)\) (par symétrie) = \((0,-5,2)\) (ou vérifier). Normales colinéaires → plans parallèles. Angle = 0°.

Exercice 4 — Construction d'un immeuble à Koudougou

Un architecte à Koudougou conçoit un immeuble dont la façade principale est le plan \(\mathscr{F}\,:\,3x-4z+8=0\) et le mur latéral est \(\mathscr{M}\,:\,y=0\). Un câble de sécurité va de l'ancrage \(A(0,0,2)\) au sommet \(S(4,6,3)\).

a) La façade et le mur latéral sont-ils perpendiculaires ?
b) Calculer l'angle que fait le câble \(AS\) avec la façade \(\mathscr{F}\).
c) Calculer la distance du sommet \(S\) à la façade.
d) Trouver le pied de la perpendiculaire de \(S\) sur la façade.

a) \(\vec{n_F}=(3,0,-4)\) et \(\vec{n_M}=(0,1,0)\). \(\vec{n_F}\cdot\vec{n_M}=0\) → perpendiculaires ✓

b) \(\overrightarrow{AS}=(4,6,1)\). \(\sin\alpha=\frac{|\overrightarrow{AS}\cdot\vec{n_F}|}{|\overrightarrow{AS}||\vec{n_F}|}=\frac{|12+0-4|}{\sqrt{53}\times5}=\frac{8}{5\sqrt{53}}\approx\frac{8}{36{,}4}\approx0{,}220\). \(\alpha\approx12{,}7°\).

c) \(d(S,\mathscr{F})=\frac{|3(4)-4(3)+8|}{5}=\frac{|12-12+8|}{5}=\frac{8}{5}=1{,}6\) unités.

d) Perpendiculaire par \(S(4,6,3)\) : \((4+3t,6,3-4t)\). Dans \(\mathscr{F}\) : \(3(4+3t)-4(3-4t)+8=0 \implies 12+9t-12+16t+8=0 \implies 25t+8=0 \implies t=-8/25\).
\(H=(4-24/25,6,3+32/25)=(76/25,6,107/25)\).

Exercice 5 — Tétraèdre et hauteur ⭐

Le tétraèdre \(ABCD\) a pour sommets \(A(0,0,0)\), \(B(2,0,0)\), \(C(1,\sqrt{3},0)\) et \(D(1,\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3})\).

a) Vérifier que c'est un tétraèdre régulier (tous les côtés égaux à 2).
b) Trouver l'équation du plan de la face \(ABC\).
c) Calculer la hauteur du tétraèdre depuis \(D\) jusqu'à la face \(ABC\).
d) Calculer l'angle dièdre entre la face \(ABC\) et la face \(ABD\).

a) \(AB=2\)✓, \(AC=\sqrt{1+3}=2\)✓, \(BC=\sqrt{1+3}=2\)✓.
\(AD=\sqrt{1+1/3+8/3}=\sqrt{1+3}=2\)✓, \(BD=\sqrt{1+1/3+8/3}=2\)✓, \(CD=\sqrt{0+4/3+8/3}=\sqrt{4}=2\)✓. Tétraèdre régulier ✓

b) La face \(ABC\) est dans le plan \(z=0\) (tous les trois ont \(z=0\)). Équation : \(\mathbf{z=0}\). Vecteur normal : \(\vec{k}=(0,0,1)\).

c) Distance de \(D\) au plan \(z=0\) : \(d=\frac{|z_D|}{1}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx1{,}633\).

d) Plan \((ABD)\) : \(\overrightarrow{AB}=(2,0,0)\), \(\overrightarrow{AD}=(1,\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3})\). Normal : \(\vec{n_{ABD}}\perp\overrightarrow{AB} \implies a=0\). \(\vec{n_{ABD}}\perp\overrightarrow{AD}\): \(\frac{\sqrt{3}b}{3}+\frac{2\sqrt{6}c}{3}=0\implies b=-2\sqrt{2}c\). Avec \(c=1\): \(\vec{n_{ABD}}=(0,-2\sqrt{2},1)\).
\(\cos\theta=\frac{|\vec{k}\cdot\vec{n_{ABD}}|}{|\vec{k}||\vec{n_{ABD}}|}=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}\). \(\theta=\arccos(1/3)\approx70{,}5°\). C'est l'angle dièdre du tétraèdre régulier ✓.

À retenir

Produit scalaire 3D : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\) — mêmes propriétés qu'en 2D.
Angle entre droites : \(\cos\theta=\dfrac{|\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}|}{|\vec{d_1}||\vec{d_2}|}\) — valeur absolue pour avoir l'angle aigu.
Angle droite-plan : \(\sin\alpha=\dfrac{|\vec{d}\cdot\vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|}\) — c'est un \(\sin\), pas un \(\cos\).
Angle entre plans : \(\cos\theta=\dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}\) — via les vecteurs normaux.
Distance point-plan : \(d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) — même structure qu'en 2D (\(\sqrt{a^2+b^2}\) → \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)).
Projection sur un plan : paramétrer la perpendiculaire, substituer dans le plan, trouver \(t\), calculer \(H\).
Plans perpendiculaires : \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0\). Plans parallèles : \(\vec{n_1}\) et \(\vec{n_2}\) colinéaires.
Vecteurs de base orthonormés : \(\vec{i}\cdot\vec{i}=\vec{j}\cdot\vec{j}=\vec{k}\cdot\vec{k}=1\), \(\vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{i}\cdot\vec{k}=\vec{j}\cdot\vec{k}=0\) — d'où la formule en coordonnées.

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